高中数学人教A版1第一章常用逻辑用语单元测试 精品获奖

第一章1一、选择题1．(2023·蚌埠高二检测)命题“若a、b都是奇数，则ab必为奇数”的等价命题是eq\x(导学号33780068)()A．如果ab是奇数，则a、b都是奇数B．如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数C．如果a、b都是奇数，则ab不是奇数D．如果a、b不都是奇数，则ab不是奇数[答案]B[解析]等价命题即其逆否命题．2．命题“若¬p，则q”是真命题，则下列命题一定是真命题的是eq\x(导学号33780069)()A．若p，则¬q B．若q，则¬pC．若¬q，则p D．若¬q，则¬p[答案]C[解析]原命题与逆否命题互为等价命题，同真同假．3．命题“若a>b，则ac2>bc2(a、b、c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为eq\x(导学号33780070)()A．0 B．2C．3 D．4[答案]B[解析]逆命题与否命题为真．4．(2023·厦门高二检测)给出命题：已知a、b为实数，若a＋b＝1，则ab≤eq\f(1,4).在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是eq\x(导学号33780071)()A．3 B．2C．1 D．0[答案]C[解析]a，b∈R，则ab≤(eq\f(a＋b,2))2＝eq\f(1,4)，∴原命题为真，∴逆否命题为真，而ab≤eq\f(1,4)，a＋b不一定等于1，∴真命题1个．5．(2023·山东济宁高二月考)以下说法错误的是eq\x(导学号33780072)()A．如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题B．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题C．原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数D．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题[答案]B[解析]原命题与其逆否命题有相同的真假性，原命题与其逆命题、否命题的真假性没有关系，故选B.6．(2023·东北师大附中高二检测)有下列四个命题：(1)“若x－y＝0，则x、y为相等的实数”的逆命题；(2)“若a>b，则a2>b2”的逆否命题(3)“若x>5，则x2－3x－10>0”的否命题(4)“若ab是无理数，则a、b是无理数”的逆命题．其中真命题的个数是eq\x(导学号33780073)()A．0 B．1C．2 D．3[答案]B[解析](1)逆命题“x、y为相等的实数，则x－y＝0”是真命题(2)∵原命题为假，∴其逆否命题为假命题．(3)否命题“若x≤5，则x2－3x－10≤0”，假如x＝－3<5，但x2－3x－10＝8>0.为假命题．(4)逆命题“若a，b”是无理数，则ab也是无理数，假如a＝(eq\r(2))eq\r(2)，b＝eq\r(2)，则ab＝2是有理数．二、填空题7．(2023·广州高二检测)已知命题“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是\x(导学号33780074)[答案][1,2][解析]逆命题是“若1<x<2，则m－1<x<m＋1”∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≤1,m＋1≥2))⇒1≤m≤2∴m的取值范围[1,2]．8．设有两个命题：①关于x的不等式mx2＋1≥0的解集是R；②函数f(x)＝logmx是减函数(m>0且m≠1)．如果这两个命题中有且只有一个真命题，则m的取值范围是\x(导学号33780075)[答案]{0}∪[1，＋∞)[解析]①中当m＝0时1≥0恒成立当m≠0时eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0,Δ≤0))⇒m>0∴m≥0②f(x)为减函数0<m<1∵两个命题有且只有一个真命题∴两个命题一真一假eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥0,m≤0或m≥1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0,0<m<1))∴m＝0或m≥1∴m的取值范围{0}∪[1，＋∞)．三、解答题9．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假.eq\x(导学号33780076)(1)如果两圆外切，那么两圆心距等于两圆半径之和；(2)平面内，两条平行直线不相交．[解析](1)逆命题：如果两圆心距等于两圆半径之和，那么两圆外切，真；否命题：如果两圆不外切，那么两圆心距不等于两圆半径之和，真；逆否命题：如果两圆心距不等于两圆半径之和，那么两圆不外切，真．(2)原命题：在同一平面内，若两条直线是平行直线，则它们不相交，真；逆命题：在同一平面内，若两条直线不相交，则它们平行，假；否命题：在同一平面内，若两条直线不是平行直线，则它们相交，假；逆否命题：在同一平面内，若两条直线相交，则它们不平行，真．10．已知a、b∈R，且a2－4b>0.写出命题“若a＋b＋1<0，则方程x2＋ax＋b＝0的两个实根满足x1<1<x2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.eq\x(导学号33780077)[解析]逆命题：已知a、b∈R，且a2－4b>0，若方程x2＋ax＋b＝0的两根满足x1<1<x2，则a＋b＋1<0.否命题：已知a、b∈R，且a2－4b>0，若a＋b＋1≥0，则方程x2＋ax＋b＝0的两个实根不满足x1<1<x2.逆否命题：已知a、b∈R，且a2－4b>0，若x2＋ax＋b＝0的两个实根不满足x1<1<x2，则a＋b＋1≥0.下面对真假进行判断：(1)令f(x)＝x2＋ax＋b.∵f(1)＝a＋b＋1<0，f(x)的图象为开口向上的抛物线，∴x2＋ax＋b＝0的两个实根满足x1<1<x2，故原命题为真命题．(2)∵方程x2＋ax＋b＝0的两实根满足x1<1<x2，∴(x1－1)(x2－1)<0，x1＋x2＝－a，x1x2＝b，∴a＋b＋1<0，故逆命题为真命题．由四种命题的关系可知，否命题和逆命题都是真命题.1.命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是eq\x(导学号33780078)()A．若A∪B≠A，则A∩B≠BB．若A∩B＝B，则A∪B＝AC．若A∩B≠B，则A∪B≠AD．若A∪B≠A，则A∩B＝B[答案]A[解析]否命题是对原命题的条件和结论都否定．2．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为eq\x(导学号33780079)()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1 B．2C．3 D．4[答案]B[解析]由于“M⊆P”为假命题，故M中至少有一个元素不属于P，∴②④正确．M中可能有属于P的元素，也可能都不是P的元素，故①③错误，选B.3．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是t的eq\x(导学号33780080)()A．逆否命题 B．逆命题C．否命题 D．原命题[答案]C[解析]特例：△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.p：若∠A＝∠B，则a＝b，r：若∠A≠∠B，则a≠b，s：若a≠b，则∠A≠∠B，t：若a＝b，则∠A＝∠B.故s是t的否命题．4．已知命题p：“若a>b>0，则logeq\f(1,2)a<logeq\f(1,2)b＋1”，则命题p及它的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为eq\x(导学号33780081)()A．0 B．1C．2 D．4[答案]C[解析]对于命题p，当a>b>0时，有logeq\f(1,2)a<logeq\f(1,2)b，则必有logeq\f(1,2)a<logeq\f(1,2)b＋1，因此原命题正确，逆否命题也正确；但当logeq\f(1,2)a<logeq\f(1,2)b＋1时，得logeq\f(1,2)a<logeq\f(1,2)eq\f(b,2)，即a>eq\f(b,2)>0，此时不一定有a>b>0，因此逆命题不正确，则命题p的否命题也不正确．因此一共有2个正确命题，故选C.二、填空题5．原命题：在空间中，若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线，其逆命题为________(真、假).eq\x(导学号33780082)[答案]假[解析]逆命题为：在空间中，若四个点中任何三点不共线，则这四点不共面，假命题．如：正方形ABCD的四个顶点，任意三点不共线，但这四点共面．6．命题“若实数a满足a≤2，则a2<4”的否命题是________命题．(填“真”或“假”)eq\x(导学号33780083)[答案]真[解析]原命题的否命题为：若实数a满足a>2，则a2≥4，这是一个真命题．三、解答题7．(2023·山东临沂高二月考)已知条件p：|5x－1|>a>0，条件q：eq\f(1,2x2－3x＋1)>0，请选取一个适当的实数a的值，分别利用所给出的两个条件作为A、B，构造命题“若A，则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题．这样的一个原命题可以是什么？eq\x(导学号33780084)[解析]由已知条件p：|5x－1|>a>0，得5x－1<－a或5x－1>a，即x<eq\f(1－a,5)或x>eq\f(1＋a,5).又由已知条件q：eq\f(1,2x2－3x＋1)>0，得2x2－3x＋1>0，解得x<eq\f(1,2)或x>1.为使“若A，则B”为真命题，而其逆命题为假命题，则AB.令a＝4，则得p：x<－eq\f(3,5)或x>1，满足题意，故可以选取实数a＝4，原命题可以是“若|5x－1|>4，则eq\f(1,2x2－3x＋1)>0”．8．判断命题“已知a、x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x