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文档简介
2.4平面向量的数量积.已知两个非零向量a和b
,作OA=a
,
OB=b
,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角。OBAθ向量的夹角当θ=0°时,a与b同向;OAB当θ=180°时,a与b反向;OABB当θ=90°时,称a与b垂直,记为a⊥b.OAab注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的.我们学过功的概念,即一个物体在力的作用下产生位移(如图)θ从力所做的功出发,我们引入向量“数量积”的概念。力所做的功W可用下式计算
W=|
||
|cosθ其中θ是
与
的夹角.定已知两个非零向量
与
,它们的夹角为θ,我们把数量|
||
|cosθ叫做与的数量积(或内积),记作·
·=|
||
|cosθararararararbrbrbrbrbrbr注意:向量的数量积是一个数量(实数)。规定:零向量与任一向量的数量积为0。.注意:
数量积
a·b=|a||b|cos
注意公式变形,知三求一.
“·”不能省略不写,也不能写成“×”一种新的运算.向量的数量积运算与向量的加减及数乘运算的结果有什么不同?影响数量积的大小的因素有哪些?思考1:向量的加减及数乘运算结果还是向量,但向量的数量积结果是一个数量(实数)。(这个数量的大小与两个向量的模及其夹角有关).向量的数量积是一个实数,那么它什么时候为正,什么时候为负?思考2:
·=|
||
|cosθararbrbr当θ=90°时
为零。arbr·当90°<θ≤180°时
为负。arbr·当0°≤θ<
90°时
为正;arbr·.解:a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×(-1/2)=-10例1已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°,求a·b。.典型例题分析进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角。例2、.方法技巧:(1)求平面向量数量积的步骤是:①求a与b的夹角θ,θ∈[0°,180°];②分别求|a|和|b|;③求数量积,即a·b=|a||b|cosθ.温馨提示:a∥b时,易漏掉θ=0°和θ=180°中的一种情况..小结已知两个非零向量
与
,它们的夹角为θ,我们把数量|
||
|cosθ叫做与的数量积(或内积),记作·
·=|
||
|cosθararararararbrbrbrbrbrbr(1)本节课主要学习了平面向量数量积的定义(2)向量的数量积的物理模型是力做功(3)a•b的结果是一个
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