高中数学 平面向量的数量积 新人教A必修4_第1页
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2.4平面向量的数量积.已知两个非零向量a和b

，作OA=a

，

OB=b

，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角。OBAθ向量的夹角当θ＝0°时，a与b同向；OAB当θ＝180°时，a与b反向；OABB当θ＝90°时，称a与b垂直，记为a⊥b.OAab注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的.我们学过功的概念，即一个物体在力的作用下产生位移（如图）θ从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。力所做的功W可用下式计算

W=|

||

|cosθ其中θ是

与

的夹角.定已知两个非零向量

与

，它们的夹角为θ，我们把数量|

||

|cosθ叫做与的数量积（或内积），记作·

·=|

||

|cosθararararararbrbrbrbrbrbr注意：向量的数量积是一个数量（实数）。规定:零向量与任一向量的数量积为0。.注意：

数量积

a·b=|a||b|cos

注意公式变形，知三求一.

“·”不能省略不写，也不能写成“×”一种新的运算.向量的数量积运算与向量的加减及数乘运算的结果有什么不同？影响数量积的大小的因素有哪些？思考1：向量的加减及数乘运算结果还是向量，但向量的数量积结果是一个数量（实数）。（这个数量的大小与两个向量的模及其夹角有关）.向量的数量积是一个实数，那么它什么时候为正，什么时候为负？思考2：

·=|

||

|cosθararbrbr当θ=90°时

为零。arbr·当90°＜θ≤180°时

为负。arbr·当0°≤θ＜

90°时

为正；arbr·.解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）=－10例1已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。.典型例题分析进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角。例2、.方法技巧：(1)求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0°,180°]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ.温馨提示：a∥b时，易漏掉θ＝0°和θ＝180°中的一种情况..小结已知两个非零向量

与

，它们的夹角为θ，我们把数量|

||

|cosθ叫做与的数量积（或内积），记作·

·=|

||

|cosθararararararbrbrbrbrbrbr（1）本节课主要学习了平面向量数量积的定义（2）向量的数量积的物理模型是力做功（3）a•b的结果是一个

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