高中数学 第三章　函数的应用第1节《用二分法求方程的近似解》参考 新人教必修1

一元二次方程我们可以用公式求出方程的根，但是没有公式来求方程lnx+2x-6=0的根。联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求它的根呢？.如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值。

我们通过取中点的方法逐步缩小零点所在的范围，我们一般把称为区间（a，b）的中点。a+b2x=.求方程lnx+2x-6=0的根区间端点的符号中点的值中点函数值的符号

f(3)>0f(2)<0,2.5f(2.5)<0f(3)>0f(2.5)<0,f(2.5)<0,f(2.75)>0f(2.5)<0,f(2.625)>02.752.6252.5625f(2.5625)>0f(2.625)>0f(2.75)>0(2,3)(2.5,3)(2.5,2.75)(2.5,2.625).求方程lnx+2x-6=0的根区间端点的符号中点的值中点函数值的符号

(2.5,2.5625)(2.53125,2.5625)(2.53125,2.546875)(2.53125,2.5390625)f(2.5)<0,f(2.5625)>0f(2.53125)<0,f(2.5625)>0f(2.53125)<0,f(2.546825)>0f(2.53125)<0,f(2.5390625)>02.531252.5468752.53906252.53515625f(2.53515625)>0f(2.5390625)>0f(2.546825)>0f(2.53125)<0.精确度为0.01时，由于|2.5390625-2.53125|=0.078125<0.01所以我们将x=2.53125作为函数f（x）=lnx+2x-6零点的近似值，即方程lnx+2x-6=0根的近似值。.对于在区间[a，b]上连续不断且f（a）·f（b）<0的函数y=f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）。.给定精确度ε，用二分法求函数f（x）零点近似值的步骤如下：1确定区间[a，b]，验证f（a）·f（b）<0，给定精确度ε。2求区间（a，b）的中点c。3计算f（c）：（1）若f（c）=0，则c就是函数的零点。（2）若f（a）·f（c）<0，则令b=c。（此时零点x0∈（a,c））（3）若f（c）·f（b）<0，则令a=c。（此时零点x0∈（c,b））4判断是否达到精确度ε：即若|a-b|

<ε，则得到零点的近似值a（或b）；否则重复2~4步。.为什么由|a-b|

<ε，就可以判断零点的近似值为a（或b）？设函数的零点为x0，所以0<x0–a<b–a,由于|a–b|

<ε，所以|x0–a|<b–a<ε,ax0b作出数轴，在数轴上标上a，b，x0对应的点：则a<x0<b，a–b<x0-b<0x0–b|<|a–b|<ε即a或b作为函数的零点x0的近似值都达到给定的精确度ε。.借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）解：令f（x）=2x+3x-7用计算器作出函数f（x）=2x+3x-7的对应值表和图象：x０１2345678f(x)273142754021103-2-6函数图象：因为f(1)·f(2)<0，所以这个函数在区间（a，b）内有零点x0

.借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）解：令f（x）=2x+3x-7取区间（1，2）的中点x1=1.5，因为f(1)·f(1.5)<0，取（1，1.5）的中点x2=1.25，因为f(1.25)·f(1.5)<0，用计算器算得f（1.5）≈0.33，所以x0∈(1，1.5)用计算器算得f（1.25）≈-0.87所以x0∈(1.25，1.5).借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）解：令f（x）=2x+3x-7同理可得x0∈（1.375，1.5），x0∈（1.375，1.4375）由于|1.375-

1.4375|所以，原方程的近似解可取为1.4375。=0.0625<0.1.下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是：（）AC(B)(C)(D)(A).动画：二分法求值.借助信息技术求方程的近似解方法一：利用计算器或计算机的代数自动求解功能求方程的近似解（1）将计算器或计算机的浮点数设置为5位（2）选择命令“solve（解方程）”（3）将方程“2x+3x=7”输入计算器或计算机，边可自动求出方程的近似解.借助信息技术求方程的近似解方法二：利用计算器或计算机的