第三讲函数的极限无穷小与无穷大

高等数学Ⅰ

函数的极限无穷小与无穷大

2023/2/4函数与极限2/42几何解释:复习：2023/2/4函数与极限3/42

第一章二、自变量趋于有限值时函数的极限第三节自变量变化过程的六种形式:一、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容:函数的极限2023/2/4函数与极限4/42播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限2023/2/4函数与极限5/42通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.2023/2/4函数与极限6/422023/2/4函数与极限7/422.另两种情形:2023/2/4函数与极限8/423.几何解释:2023/2/4函数与极限9/42例1证2023/2/4函数与极限10/42二、自变量趋向有限值时函数的极限2023/2/4函数与极限11/422023/2/4函数与极限12/422.几何解释:注意：2023/2/4函数与极限13/42例2证例3证2023/2/4函数与极限14/42例4证函数在点x=1处没有定义.2023/2/4函数与极限15/42例5证2023/2/4函数与极限16/42例6证2023/2/4函数与极限17/423.单侧极限:例如,2023/2/4函数与极限18/42左极限右极限2023/2/4函数与极限19/42左右极限存在但不相等,例7证2023/2/4函数与极限20/42三、函数极限的性质2.函数极限的局部有界性1.唯一性2023/2/4函数与极限21/42推论

3.函数极限的局部保号性2023/2/4函数与极限22/425.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定理推论4.保序性定理2023/2/4函数与极限23/42证2023/2/4函数与极限24/42例如,函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.2023/2/4函数与极限25/42例8证2023/2/4函数与极限26/42二者不相等,2023/2/4函数与极限27/42

第一章二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系一、无穷小第四节无穷小与无穷大2023/2/4函数与极限28/42四、无穷小1.定义:极限为零的变量称为无穷小.2023/2/4函数与极限29/42例如注意1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数；3.无穷小必须与一极限过程联系起来.2023/2/4函数与极限30/422.无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性2023/2/4函数与极限31/42意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);2023/2/4函数与极限32/42五、无穷大2023/2/4函数与极限33/42特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.2023/2/4函数与极限34/42不是无穷大．无界，2023/2/4函数与极限35/42证2023/2/4函数与极限36/42六、无穷小与无穷大的关系定理2在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;

恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证2023/2/4函数与极限37/42意义

关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.2023/2/4函数与极限38/42七、主要内容1、函数极限的统一定义(见下表)2023/2/4函数与极限39/42过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后2023/2/4函数与极限40/423、无穷小与无穷大主要内容:两个定义;两个定理;4、几点注意:

（1）无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（2）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（3）无界变量未必是无穷大.2、函数极限的性质四个定理;2023/2/4函数与极限41/42思考题2023/2/4函数与极限42/42思考题解答

答不能保证.例有2023/2/4函数与极限43/42作业

活页P84；5活页P93；42023/2/4函数与极限44/42一、自变量趋向无穷大时函数的极限2023/2/4函数与极限45/42一、自变量趋向无穷大时函数的极限2023/2/4函数与极限46/42一、自变量趋向无穷大时函数的极限2023/2/4函数与极限47/42一、自变量趋向无穷大时函数