高度、角度问题

第一章 解三角形1.2 应用举例第2课时高度、角度问题A级 基础巩固一、选择题1．某人向正东走了 xkm后向右转了150°，然后沿新方向走了 3km，结果离出发点恰好 3km，那么x的值是( )A. 3 B．23 C．3 D．23或 3解析：由正弦定理，得sinA＝BCsinB3sin30°3AC＝3＝2，因为BC＞AC，所以A＞B，B＝30°，所以A有两解，即A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，∠ACB＝90°，x＝23；当A＝120时°，∠ACB＝30°，x＝3.故选D.答案：D2．在200m高的山顶上，测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为()400400A.3mB.33m“C.203mD.200m33解析：如下图所示，由题意知∠PBC＝60°，所以∠ABP＝90°－60°＝30°，又∠BPA＝60°－30°＝30°，所以AB＝PA.又在Rt△PBC中，BC＝200tan·30°，BC 400所以在Rt△PAD中，PA＝ ＝ .cos30° 3400因为PA＝AB，所以AB＝3.答案：A3．在静水中划船的速度是每分钟 40m，水流的速度是每分钟20m，如果船从岸边 A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为()A.πB.πC.πD.5π43612解析：设水流速度与船速的合速度为 v，方向指向对岸．v水 20 1则由题意知，sinα＝v船＝40＝2，π π又α∈0，2，所以α＝6.“答案：C4．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是( )A．1002米B．400米C．2003米D．500米解析：由题可得右图，其中 AS为塔高，设为h，甲、乙分别在B、C处．则∠ABS＝45°，∠ACS＝30°，BC＝500，∠ABC＝120°，所以在△ABS中，AB＝AS＝h，在△ACS中，AC＝ 3h，在△ABC中，AB＝h，AC＝3h，BC＝500，∠ABC＝120°.“由余弦定理(3h)2＝5002＋h2－2·500h··cos120°，所以h＝500(米)．答案：C5．在△ABC中，A＝60°，且最大边长和最小边长是方程 x2－7x11＝0的两个根，则第三边的长为()A．2B．3C．4D．5解析：因为A＝60°，所以第三边即为a，又b＋c＝7，bc＝11.所以a2＝b2＋c2－2bcosA＝(b＋c)2－3bc＝72－3×11＝16.所以a＝4.答案：C二、填空题6．如图，为测量山高 MN，选择A和另一座山的山顶 C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC100m，则山高MN＝________m.解析：根据图示，AC＝1002.在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得 AC ＝ AM ?AM＝100 3.sin45°sin60°MN在△AMN中，AM＝sin60°，“3所以MN＝1003×2＝150(m)．答案：150一蜘蛛沿东北方向爬行xcm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬得10cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行可回到它的出发点，那么x＝________cm.解析：如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝10，∠ABC＝180°105＝°75°，∠BCA＝180°－135＝°45°，所以∠BAC＝180－°75°－45°＝60°.由正弦定理得：x＝10，sin45°sin60°106所以x＝3(cm)．答案：10638.如图所示，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M位于北偏东α，前进m海里后在B处测得该岛位于北偏东β，已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件__________时，该船没有触礁危险．“解析：在△ABM中，由正弦定理得BM m＝ ，sin（90°－α） sin（α－β）mcosα故BM＝ ，sin（α－β）要使该船没有触礁危险需满足mcosαcosβBMsin(90°－β)＝ >n.sin（α－β）所以当α与β满足mcosαcosβ>nsin(α－β)时，该船没有触礁危险．答案：mcosαcosβ>nsin(α－β)三、解答题9．甲船在A处，乙船在A的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以海里/时的速度行驶，用多少小时能最快追上乙船？解：如图所示，设用 t小时甲船能追上乙船，且在 C处相遇．“在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，∠ABC＝180°－45°－15°＝120°.由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，1即(28t)2＝92＋(20t)2－2×9×20t×－2，128t2－60t－27＝0，3＝－9tt4323所以甲船用4小时能最快追上乙船．10．如下图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD(精确到1m)．解：在△ABC中，∠A＝15°，∠C＝25°－15°＝10°，根据正弦定BCAB理，sinA＝sinC，BC＝ABsinA5sin15°．sinC7.4524(km)sin10°CD＝BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m)．“B级 能力提升1．在某个位置测得某山峰仰角为 θ，对着山峰在地面上前进 600m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进 2003m以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( )A．200m B．300m C．400m D．1003m解析：如下图所示，△BED，△BDC为等腰三角形，BD＝ED＝600，BC＝DC＝2003.在△BCD中，由余弦定理可得cos2θ＝6002＋（2003）2－（2003）232×600×2003＝2，所以2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin4θ＝200332＝300(cm)．答案：B2．一架飞机在海拔 8000m的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是 30°和45°，则这个海岛的宽度为 ________m.8000 8000解析：宽＝ － ＝5856.4(m)．答案：5856.43．我炮兵阵地位于地面 A处，两观察所分别位于地面 C和D处，已知CD＝6km，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面点B处时，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°(如图所示)，求我炮兵阵“地到目标的距离．解：在△ACD中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝60°，∠ACD＝45°，根据正弦定理，有AD＝CDsin45°2CD，＝sin60°3同理：