2021-2022年高中数学第四章圆的方程2.3直线与圆的方程的应用3作业含解析新人教版必修2202202261117

PAGEPAGE6圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用A组基础巩固1．两圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0，C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线的条数为()A．1B．2C．3D．4解析：∵圆C1的圆心C1(－2,2)，半径为r1＝1，圆C2的圆心C2(2,5)，半径r2＝4，∴C1C2＝eq\r(2＋22＋5－22)＝5＝r1＋r2.∴两圆相外切，∴两圆共有3条公切线．答案：C2．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为()A．x2＋y2＝4B．x2＋y2＝2C．2x＋y－4＝0D．x－y－4＝0解析：数形结合，由平面几何可知△ABP是等边三角形，∴|OP|＝2，则P的轨迹方程为x2＋y2＝4.答案：A3．台风中心从A地以每小时20km的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险地区，城市B在A地正东40km处，B城市处于危险区内的时间为()A．0.5hB．1hC．1.5hD．2h答案：B4．圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为()A.eq\r(5)B.eq\r(6)C．2eq\r(5)D．2eq\r(6)解析：x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x＋y－15＝0，圆x2＋y2＝50的圆心(0,0)到2x＋y－15＝0的距离d＝3eq\r(5)，因此，公共弦长为2eq\r(5\r(2)2－3\r(5)2)＝2eq\r(5).答案：C5．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x±4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x±4)2＋(y－6)2＝36解析：由题意知，半径为6的圆与x轴相切，设所求圆的圆心坐标为(a，b)，则b＝6，再由eq\r(a2＋32)＝5，可以解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.答案：D6．若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是()A．m＜1B．m＞121C．1≤m≤121D．1＜m＜121解析：x2＋y2＋6x－8y－11＝0化成标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝36.圆心距为d＝eq\r(0＋32＋0－42)＝5，若两圆有公共点，则|6－eq\r(m)|≤5≤6＋eq\r(m)，∴1≤m≤121.答案：C7．已知点P在圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是__________．解析：两圆的圆心和半径分别为C1(4,2)，r1＝3，C2(－2，－1)，r2＝2，∴|PQ|min＝|C1C2|－r1－r2＝eq\r(4＋22＋2＋12)－3－2＝3eq\r(5)－5.答案：3eq\r(5)－58．与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4外切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程为________．解析：设所求圆的圆心为P(a，b)，则eq\r(a－42＋b＋12)＝1①由两圆外切，得eq\r(a－22＋b＋12)＝1＋2＝3②联立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1.答案：(x－5)2＋(y＋1)2＝19．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2eq\r(3)，则a＝__________.解析：由已知两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y＝eq\f(1,a)，利用圆心(0,0)到直线的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a))),\r(1))＝eq\r(22－\r(3)2)＝1，解得a＝1.答案：110．求过两圆x2＋y2－x－y－2＝0与x2＋y2＋4x－8y－8＝0的交点和点(3,1)的圆的方程．解析：设所求圆的方程为(x2＋y2－x－y－2)＋λ(x2＋y2＋4x－4y－8)＝0(λ≠－1)，将(3,1)代入得λ＝－eq\f(2,5)，故所求圆的方程为x2＋y2－eq\f(13,3)x＋y＋2＝0.B组能力提升11．两圆x2＋y2－2x＋10y＋1＝0，x2＋y2－2x＋2y－m＝0相交，则m的取值范围是()A．(－2,39)B．(0,81)C．(0,79)D．(－1,79)解析：两圆的方程分别可化为(x－1)2＋(y＋5)2＝25，(x－1)2＋(y＋1)2＝m＋2.两圆相交，得|5－eq\r(m＋2)|＜4＜5＋eq\r(m＋2)，解之得－1＜m＜79.答案：D12．过原点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是()A．y＝eq\r(3)xB．y＝－eq\r(3)xC．y＝eq\f(\r(3),3)xD．y＝－eq\f(\r(3),3)x解析：因为圆心为(－2,0)，半径为1，由图可知直线的斜率为eq\f(r,\r(4－r2))＝eq\f(\r(3),3)，所以直线方程为y＝eq\f(\r(3),3)x.答案：C13．已知半径为5的动圆C的圆心在直线l：x－y＋10＝0上．(1)若动圆C过点(－5,0)，求圆C的方程；(2)是否存在正实数r，使得动圆C中满足与圆O：x2＋y2＝r2相外切的圆有且仅有一个，若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．解析：(1)依题意，可设动圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝25，其中圆心(a，b)满足a－b＋10＝0.又∵动圆过点(－5,0)，∴(－5－a)2＋(0－b)2＝25.解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＋10＝0，,－5－a2＋0－b2＝25，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－10，,b＝0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－5，,b＝5.))故所求圆C的方程为(x＋10)2＋y2＝25或(x＋5)2＋(y－5)2＝25.(2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d＝eq\f(|10|,\r(1＋1))＝5eq\r(2).当r满足r＋5＜d时，动圆C中不存在与圆O：x2＋y2＝r2相外切的圆；当r满足r＋5＞d时，r每取一个数值，动圆C中存在两个圆与圆O：x2＋y2＝r2相外切；当r满足r＋5＝d时，即r＝5eq\r(2)－5时，动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x2＋y2＝r2相外切．14．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．解析：以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的