2021-2022学年湖南省郴州市平和学校高三数学理下学期期末试卷

2021-2022学年湖南省郴州市平和学校高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是(A)

(B)

(C)4

(D)

8参考答案：A由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形，,所以，选A.2.已知函数y=5cos（πx﹣）（其中k∈N），对任意实数a，在区间[a，a+3]上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，则k值为（）A．2或3 B．4或3 C．5或3 D．8或3参考答案：A【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】根据题意，可得cos（πx﹣）=，由余弦函数的图象与性质得：当长度为3的区间大于2个周期且小于4个周期时，可使区间[a，a+3]上函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，由此建立关于k的不等式并解之，即可得到整数k的值．【解答】解：令y=5cos（πx﹣）=，得cos（πx﹣）=；∵函数y=cosx在每个周期内出现函数值为的有两次，而区间[a，a+3]长度为3，∴为了使长度为3的区间内出现函数值不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度；即2×≤3且4×≥3，解之得≤k≤；又k∈N，故k值为2或3．故选：A．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．3.如图所示的程序框图，若输入的n的值为1，则输出的k的值为(A)2(B)3(C)4(D)5参考答案：C略4.函数的图象大致是（

）

参考答案：C略5.已知函数f(x)=()x－log2x，正实数a，b，c是公差为负数的等差数列，且满足f（a）?f（b）?f（c）＜0，若实数d是方程f（x）=0的一个解，那么下列四个判断：①d＜a；②d＜b；③d＞c；④d＜c中一定成立的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A【考点】等差数列的通项公式．【分析】由条件和等差数列的性质判断出a、b、c的大小关系，由题意画出的图象，通过方程的根与图象交点问题，由图象可得答案．【解答】解：∵正实数a，b，c是公差为负数的等差数列，∴0＜a＜b＜c，在坐标系中画出的图象：∵f（a）?f（b）?f（c）＜0，且实数d是方程f（x）=0的一个解，∴由图可得，a＜d＜c一定成立，则①d＜a不正确；②d＜b不一定；③d＞c不正确；④d＜c正确，∴一定成立的个数是1个，故选A．【点评】本题考查等差数列的性质，指数函数、对数函数的图象，以及过方程的根与图象交点问题的转化，考查转化思想、数形结合思想．6.甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛，决出了第一名到第四名的四个名次.甲说:“我不是第一名”；乙说:“丁是第一名”；丙说:“乙是第一名”；丁说:“我不是第一名”.成绩公布后，发现这四位同学中只有一位说的是正确的.则获得第一名的同学为（

）A．甲

B．乙

C．丙

D．丁参考答案：A7.右边是一个算法的程序框图，当输入的值为3时，输出的结果恰好是，则？处的关系式是

（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略8.复数（1+2i）2（其中i为虚数单位）的虚部为（）A．4 B．﹣4 C．4i D．﹣4i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数（1+2i）2，则答案可求．【解答】解：复数（1+2i）2=1+4i+4i2=﹣3+4i，则复数（1+2i）2的虚部为：4．故选：A．9.设，满足约束条件，则的取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先根据约束条件画出可行域，设z＝x-y，再利用z的几何意义求最值，从而得到z的取值范围．【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示，

当直线过点时，取得最大值3，故.故选B.【点睛】本题主要考查了线性规划问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解，属中档题．10.已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则的系数为（

）A.14 B.－14 C.240 D.－240参考答案：C【分析】由二项展开式的通项公式为及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：，令展开式通项中的指数为，即可求得，问题得解。【详解】二项展开式的第项的通项公式为由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：.解得：.所以令，解得：，所以的系数为故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.根据如图所示的某算法程序框图，则输出量与输入量之间满足的关系式是

．参考答案：12.二项式的展开式中x3的系数是．参考答案：112【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：通项公式Tr+1==（﹣1）r28﹣r，令=3，解得r=6．∴x3的系数==112．故答案为：112．13.设，∠AOB=60°，，且λ+＝2，则在上的投影的取值范围是

.参考答案：．14.设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于 ．参考答案：

15.已知，则的最小值为

▲

.参考答案：1816.如果执行如图所示的程序框图，输入x=﹣1，n=3，则输出的数S=．参考答案：﹣4略17.若二次函数和使得在上是增函数的条件是__________________．参考答案：且略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）已知函数（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）a为何值时，方程有三个不同的实根．参考答案：解：（Ⅰ）由得由得∴在单调递增；在单调递减……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，……………8分有三个不同的实根，则解得………11分∴当时有三个不同的实根……………12略19.（本题满分12分）已知数列的前项和．（Ⅰ）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）当时，，∴；

………………2分

当时，，两式相减得：，即，又.∴数列是以2为首项，1为公差的等差数列.

……4分∴

，故.

………………6分（Ⅱ）∵，∴

原问题等价于对任意恒成立.

………………7分令，则，∴当时，，∴当时，，∴当时，.10分∴，故.

………………12分20.已知函数的图象经过点，且在处的切线与轴平行.（I）求和的值；参考答案：（I）————————————————1分————————————————————————4分（II）恒成立，即，设——————————————5分因为，（1）当时，，在上单调增，当时，，当时，，所以成立————————————————————8分

（1）当时，，，所以时，，在上单调减，，所以与矛盾，舍——————————11分综上：————————————12分略21.已知点都在直线上，为直线与轴的交点，数列成等差数列，公差为1．（）（1）求数列，的通项公式；（2）求证：

……+

(2,)

参考答案：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，又因为的面积等于，所以，得．····················4分联立方程组解得，．ks5u6分（Ⅱ）由题意得，即，··················································································8分当时，，，，，当时，得，由正弦定理得，联立方程组解得，．所以的面积．ks5u

22.已知等差数列{an}的前三项为a﹣1，4，2a，记前n项和为Sn．（Ⅰ）设Sk=2550，求a和k的值；（Ⅱ）设bn=，求b3+b7+b11+…+b4n﹣1的值．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）由等差数列的前三项可求该数列的首项a1、公差d，再由等差数列的前n项和公式算出Sn，进一步得Sk=2550，解出k的值（Ⅱ）由（Ⅰ）可知数列{bn}为等差数列，利用等差数列的前n项公式求值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得a1=a﹣1，a2=4，a3=2a，又a1+a3=2a2，∴（a﹣1）+2a=8，即a=3．（2分）∴a1=2，公差d=a2﹣a1=2．由Sk=ka1+，得（4分）2k+×2=2550即k2+k﹣2550=0．解得k=50或k=﹣51（舍去）．∴a=3，