高中数学苏教版本册总复习总复习 2023版学业分层测评16

学业分层测评(十六)向量的减法(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.在平行四边形ABCD中，eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))的结论正确的是________.①eq\o(AB,\s\up7(→))；②eq\o(BA,\s\up7(→))；③eq\o(CD,\s\up7(→))；④eq\o(DC,\s\up7(→)).【解析】∵eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))，又ABCD为平行四边形，∴eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→)).∴①④正确.【答案】①④2.已知两向量a和b，如果a的方向与b的方向垂直，那么|a＋b|________|a－b|.(填写“＝”“≤”或“≥”)【解析】以a，b为邻边的平行四边形是矩形，矩形的对角线相等.由加减法的几何意义知|a＋b|＝|a－b|.【答案】＝3.化简下列向量式，结果为0的个数是________.①eq\o(RS,\s\up7(→))－eq\o(RT,\s\up7(→))＋eq\o(ST,\s\up7(→))；②eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))；③eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))；④eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→)).【导学号：48582083】【解析】①eq\o(RS,\s\up7(→))－eq\o(RT,\s\up7(→))＋eq\o(ST,\s\up7(→))＝0.②eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))＝0.③eq\o(AB,\s\up7(→))－(eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→)))＝0.④eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))＝0.【答案】44.如图2­2­15所示，在正方形ABCD中，已知eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(BC,\s\up7(→))＝b，eq\o(OD,\s\up7(→))＝c，则图中能表示a－b＋c的向量是________.图2­2­15【解析】由已知得a－b＝eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(DB,\s\up7(→))，c＝eq\o(OD,\s\up7(→))，∴a－b＋c＝eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→)).【答案】eq\o(OB,\s\up7(→))5.如图2­2­16，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，若用a，b表示向量eq\o(BC,\s\up7(→))，则eq\o(BC,\s\up7(→))＝________.图2­2­16【解析】eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(AO,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝－eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝－a－b.【答案】－a－b6.已知|a|＝7，|b|＝2，若a∥b，则|a－b|＝________.【解析】∵a∥b，当a与b同向时，|a－b|＝|7－2|＝5，当a与b反向时，|a－b|＝|7＋2|＝9.【答案】5或97.下列四个式子，不能化简为eq\o(AD,\s\up7(→))的序号是________.①(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→)))－eq\o(CB,\s\up7(→))；②(eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(BM,\s\up7(→)))＋(eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\o(MC,\s\up7(→)))；③eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))；④eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(BM,\s\up7(→)).【解析】①原式＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋(eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→)))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))；②原式＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))－(eq\o(BM,\s\up7(→))＋eq\o(MC,\s\up7(→)))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))；③原式＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))；④原式＝eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(MB,\s\up7(→))≠eq\o(AD,\s\up7(→))，∴只有④不能化为eq\o(AD,\s\up7(→)).【答案】④8.如图2­2­17，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列各式不正确的是________.图2­2­17①eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝0；②eq\o(BD,\s\up7(→))－eq\o(CE,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＝0；③eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(CE,\s\up7(→))－eq\o(CF,\s\up7(→))＝0；④eq\o(BD,\s\up7(→))－eq\o(BE,\s\up7(→))－eq\o(FC,\s\up7(→))＝0.【解析】①eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝－eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝eq\o(DE,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝eq\o(DE,\s\up7(→))＋eq\o(ED,\s\up7(→))＝0；②eq\o(BD,\s\up7(→))－eq\o(CE,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＝(eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→)))－eq\o(CE,\s\up7(→))＝eq\o(BF,\s\up7(→))－eq\o(CE,\s\up7(→))≠0；③eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(CE,\s\up7(→))－eq\o(CF,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋(eq\o(CE,\s\up7(→))－eq\o(CF,\s\up7(→)))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(FE,\s\up7(→))≠0；④eq\o(BD,\s\up7(→))－eq\o(BE,\s\up7(→))－eq\o(FC,\s\up7(→))＝(eq\o(BD,\s\up7(→))－eq\o(BE,\s\up7(→)))－eq\o(FC,\s\up7(→))＝eq\o(ED,\s\up7(→))－eq\o(FC,\s\up7(→))＝eq\o(ED,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))≠0.【答案】②③④二、解答题9.如图2­2­18，已知向量a和向量b，用三角形法则作a－b＋a.图2­2­18【解】作法：作向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，向量eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，则向量eq\o(BA,\s\up7(→))＝a－b.如图所示：作向量eq\o(AC,\s\up7(→))＝a，则eq\o(BC,\s\up7(→))＝a－b＋a.10.已知△OAB中，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积.【导学号：48582084】【解】由已知得|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝|eq\o(OB,\s\up7(→))|，以eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，如图，有eq\o(OC,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(BA,\s\up7(→))＝a－b，由于|a|＝|b|＝|a－b|，即OA＝OB＝BA，∴△OAB为正三角形，|a＋b|＝|eq\o(OC,\s\up7(→))|＝2×eq\r(3)＝2eq\r(3)，∴S△OAB＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3).[能力提升]1.如图2­2­19，在平行四边形ABCD中，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，试用a，b，c表示eq\o(OD,\s\up7(→))，则eq\o(OD,\s\up7(→))＝________.图2­2­19【解析】因为eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，所以eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝c－b，又eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))，所以eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝a＋c－b.【答案】a＋c－b2.在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若eq\o(AC,\s\up7(→))＝λeq\o(AE,\s\up7(→))＋μeq\o(AF,\s\up7(→))，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.【解析】如图.∵四边形ABCD为平行四边形，且E、F分别为CD、BC的中点，∴eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＝(eq\o(AE,\s\up7(→))－eq\o(DE,\s\up7(→)))＋(eq\o(AF,\s\up7(→))－eq\o(BF,\s\up7(→)))＝(eq\o(AE,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＝(eq\o(AE,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→)))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))，∴eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AE,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→)))，∴λ＝μ＝eq\f(2,3)，∴λ＋μ＝eq\f(4,3).【答案】eq\f(4,3)3.边长为1的正三角形ABC中，|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(BC,\s\up7(→))|的值为________.【解析】如图所示，|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(BC,\s\up7(→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC′,\s\up7(→))|＝|eq\o(AC′,\s\up7(→))|，又|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝1，|eq\o(BC′,\s\up7(→))|＝1，∠ABC′＝120°，∴在△ABC′中，|eq\o(AC′,\s\up7(→))|＝2|eq\o(AB,\s\up7(→))|cos30°＝eq\r(3).【答案】eq\r(3)4.已知a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|.【