2021-2022学年江苏省连云港市东海县实验中学高三数学理下学期期末试题含解析

2021-2022学年江苏省连云港市东海县实验中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，若函数存在整数零点，则符合条件的m的取值个数为（

）A2 B.3 C.4 D.5参考答案：C令,得,则有,因为,所以当时,,所以可以取,相对应的值为(其中时的值不存在),又当也符合,所以符合条件的的值共有4个,选C.点睛:本题主要考查函数零点与方程根问题,属于中档题.本题注意自变量的范围,不要漏掉这种情况.考查学生分析问题解决问题的能力.2.设是等差数列，项和，令的最小值为（

）

A．6

B．

C．

D．参考答案：C3.已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

A．8

B．

C．

D．参考答案：C略4.函数的定义域为参考答案：A5.已知命题p：lnx＞0，命题q：ex＞1则命题p是命题q的（）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要

D．既不充分也不必要参考答案：A6.奇函数在上为单调递减函数，且，则不等式

的解集为()A、 B、C、 D、参考答案：D略7.函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］的大致图象是参考答案：C略8.已知k∈Z，关于x的不等式k（x+1）＞在（0，+∞）上恒成立，则k的最小值为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】问题转化为k＞?e﹣x对x＞0恒成立，令f（x）=e﹣x?，（x＞0），根据函数的单调性求出f（x）的最大值，求出k的最小值即可．【解答】解：k（x+1）＞在（0，+∞）上恒成立，即k＞?e﹣x对x＞0恒成立，令f（x）=e﹣x?，（x＞0），f′（x）=，∴f′（x）＞0?x2+x﹣1＜0?0＜x＜，f′（x）＜0?x＞，则f（x）max=f（）=，而0＜＜，又k∈Z，故k的最小值是1，故选：B．9.如图是一个几何体的三视图（左视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（）A.20＋3

B.24＋3

C.20＋4

D.24＋4

参考答案：A10.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3+a8=10，则S10=(

) A．20 B．10 C．50 D．100参考答案：C考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．解答： 解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a8=10，∴S10===．故选：C．点评：本题考查等差数列的前10项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设公比不为1的等比数列{an}满足a1a2a3=﹣，且a2，a4，a3成等差数列，则数列{an}的前4项和为．参考答案：

【考点】等比数列的前n项和．【分析】设等比数列{an}的公比为q，根据a2，a4，a3成等差数列，可得=a2+a2q，q≠1，解得q．再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a2，a4，a3成等差数列，∴2a4=a2+a3，∴=a2+a2q，化为：2q2﹣q﹣1=0，q≠1，解得q=﹣．∵，∴=﹣，解得a1=1．则数列{an}的前4项和==．故答案为：．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.三阶行列式中，5的余子式的值是

．参考答案：﹣12【考点】OU：特征向量的意义．【分析】去掉5所在行与列，即得5的余子式，从而求值．【解答】解：由题意，去掉5所在行与列得：=﹣12故答案为﹣12．【点评】本题以三阶行列式为载体，考查余子式，关键是理解余子式的定义．13.（坐标系与参数方程）在极坐标中，圆的圆心到直线的距离为

.参考答案：14.（11）函数y=ln（1+1/x）+的定义域为_____________。参考答案：(0,1]，求交集之后得的取值范围15.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是—______年（参考数据：，，）参考答案：202016.已知命题：“”，命题：“，”，若命题“且”是真命题，则实数的取值范围是

参考答案：17.如图，四面体ABCD的一条棱长为x，其余棱长均为1，记四面体ABCD的体积为，则函数的单调增区间是____；最大值为____.参考答案：(或写成)试题分析：设，取中点则,因此,所以，因为在单调递增，最大值为所以单调增区间是，最大值为考点：函数最值，函数单调区间三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分16分）已知A(,)，B(,)是函数的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线上，且.

（1）求+的值及+的值

（2）已知，当时，+++，求；

（3）在（2）的条件下，设=，为数列{}的前项和，若存在正整数、，

使得不等式成立，求和的值.参考答案：（Ⅰ）∵点M在直线x=上，设M.又＝，即，，∴+=1.

①当=时，=，+=；②当时，，

+=+===综合①②得，+.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当+=1时,+∴，k=.

n≥2时，+++，①

，②①＋②得，2=-2(n-1),则=1-n.

当n=1时，=0满足=1-n.∴=1-n.

（Ⅲ）==，=1++=.

.

=2-，=-2+=2-，∴，、m为正整数，∴c=1，

当c=1时，，∴1<<3，∴m=1.19.已知函数f（x）=x2﹣alnx（常数a＞0）．（1）当a=3时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）讨论函数f（x）在区间（1，ea）上零点的个数（e为自然对数的底数）．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；导数的综合应用．【分析】（1）先求函数的导函数f'（x），然后求出fˊ（1）即为切线的斜率，根据且点（1，f（1））与斜率可求出切线方程；（2）设g（a）=ea﹣a（a≥0），然后利用导数研究函数的单调性可证得ea＞a（a≥0），求出函数的导函数f′（x），然后利用导数研究函数f（x）在区间（1，ea）上的最小值，最后讨论最小值的符号，从而确定函数f（x）的零点情况．【解答】解：（1）当a=3时，f（x）=x2﹣3lnx，∴f'（x）=2x﹣（1分）∴fˊ（1）=﹣1又∵f（1）=1，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1）．即x+y﹣2=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣3分（2）①下面先证明：ea＞a（a≥0）．设g（a）=ea﹣a（a≥0），则g′（a）=ea﹣1≥e0﹣1=0（a≥0），且仅当g′（a）=0?a=0，所以g（a）在[0，+∞）上是增函数，故g（a）≥g（0）=1＞0．所以ea﹣a＞0，即ea＞a（a≥0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分②因为f（x）=x2﹣alnx，所以f′（x）=2x﹣=．因为当0＜x＜时，fˊ（x）＜0，当x＞时，1，fˊ（x）＞0．又＜a＜ea＜e2a（a≥0，a＜2a）?＜ea，所以f（x）在（0，]上是减函数，在[，+∞）是增函数．所以f（x）min=f（）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣9分（3）下面讨论函数f（x）的零点情况．①当＞0，即0＜a＜2e时，函数f（x）在（1，ea）上无零点；②当=0，即a=2e时，=，则1＜＜ea而f（1）=1＞0，f（）=0，f（ea）＞0，∴f（x）在（1，ea）上有一个零点；③当＜0，即a＞2e时，ea＞＞＞1，由于f（1）=1＞0，f（）=＜0．f（ea）=e2a﹣alnea=e2a﹣a2=（ea﹣a）（ea+a）＞0，所以，函数f（x）在（1，ea）上有两个零点．（13分）综上所述，f（x）在（1，ea）上有结论：当0＜a＜2e时，函数f（x）有、无零点；a=2e时，函数f（x）有一个零点；当a＞2e时，函数f（x）有两个零点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14分．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，同时考查了分类讨论的数学思想和计算能力，属于中档题．20.在平面直角坐标系中，曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.

（Ⅰ）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）过点且与直线平行的直线交曲线于两点，求点到两点的距离之和.参考答案：21.已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动．为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取部分学生的分数（满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在[50，100]之内）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60]，[60，70]，[70，80]，[80，90]，[90，100]的分组作出频率分布直方图（图1），并作出样本分数的茎叶图（图2）（茎叶图中仅列出了得分在[50，60]，[90，100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[90，100]内的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由样本容量和频数频率的关系易得答案；（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2，列举法易得．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量，，…x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030．（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90]内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2，抽取2名学生的所有情况有21种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）．其中2名同