2021-2022学年上海市南汇区第二中学高一数学理期末试题含解析

2021-2022学年上海市南汇区第二中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.正三棱柱体积为V，则其表面积最小时，底面边长为（）A． B． C． D．2参考答案：B【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设底边边长为a，高为h，利用体积公式V=Sh得出h，再根据表面积公式得S=3ah+2?=+，最后利用导函数即得底面边长．【解答】解：设底边边长为a，高为h，则V=Sh=a2×h，∴h=，则表面积为S=3ah+2?=+，则令S′=a﹣=0，解得a=即为所求边长．故选：B．2.函数f（x）=2x﹣x2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣，0） B．（，） C．（，） D．（4，+∞）参考答案：B【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】将方程2x﹣x2=0的零点问题转化成函数y=x2与函数y=2x图象的交点问题，画出图象可得．【解答】解：∵f（x）=2x﹣x2，∴f（x）的零点问题转化为关于x的方程2x﹣x2=0，可化为2x=x2．

分别画出函数y=x2和y=2x的图象，如图所示：由图可知，它们的交点情况是：恰有3个不同的交点．f（x）的最小零点在A点处，在区间（﹣1，﹣0.75）内，第二个零点是x=2，d在区间（，）内，第三个零点是x=4．故选：B．【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．3.设全集U=Z，集合A={x|1≤x＜7，x∈Z}，B={x=2k﹣1，k∈Z}，则A∩（?UB）=（）A．{1，2，3，4，5，6} B．{1，3，5} C．{2，4，6} D．?参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：全集U=Z，集合A={x|1≤x＜7，x∈Z}={1，2，3，4，5，6}B={x=2k﹣1，k∈Z}，∴?uB={x=2k，k∈Z}，∴A∩（?uB）={2，4，6}，故选：C．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．4.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是（

）A.异面 B.平行 C.相交 D.以上均有可能参考答案：B∵A1B1∥AB，AB?平面ABC，A1B1?平面ABC，∴A1B1∥平面ABC．又A1B1?平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，∴DE∥A1B1.又AB∥A1B1，∴DE∥AB．考点：线面平行的性质.5.在△ABC中，，，E、F分别为BC的三等分点，则（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先由得到，再用表示，最后利用夹角公式计算.【详解】因为，两边平方后可得，所以，故，设，因为、分别为的三等分点则，，所以，而，，所以，故选B.【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的等价条件是.6.已知集合，集合,则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B7.观察如图所示几何体，其中判断正确的是（）A．①是棱台 B．②是圆台 C．③是棱锥 D．④不是棱柱参考答案：C【考点】L3：棱锥的结构特征．【分析】直接利用柱、锥、台的定义判断即可．【解答】解：图形①，不满足棱台的定义，所以①不正确；图形②，不满足圆台的定义，所以②不正确；图形③满足棱锥的定义，所以③正确；图形④是棱柱，所以④的判断不正确．故选：C．8.函数为增函数的区间是（

）（A）（B）（C）（D）参考答案：C9.某学校高一年级有35个班，每个班的56名同学都是从1到56编的号码，为了交流学习经验，要求每班号码为14的同学留下进行交流，这里运用的是()

A．分层抽样

B．抽签抽样C．随机抽样

D．系统抽样参考答案：D略10.如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①点G是BC中点；②FG=FC；③S△FGC=．其中正确的是

（

）

A.①②

B.①③

C.②③

D.①②③参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数与函数在区间上增长较快的一个是

。参考答案：

解析：幂函数的增长比对数函数快12.函数的定义域是．参考答案：（0，1]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由被开方数大于等于0，然后利用对数函数的单调性及真数大于0求出x的范围，写出集合区间形式即为函数的定义域．【解答】解：由logx≥0，解得：0＜x≤1∴函数的定义域是（0，1]．故答案为：（0，1]．13.已知集合A＝，则集合A的子集的个数是________．参考答案：814.设等差数列的前项和为，若，则的通项＝

.参考答案：略15.关于平面向量，，，有下列三个命题：①若?=?，则=、②若=（1，k），=（﹣2，6），∥，则k=﹣3．③非零向量和满足｜｜=｜｜=｜﹣｜，则与+的夹角为60°．其中真命题的序号为

．（写出所有真命题的序号）参考答案：②【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①向量不满足约分运算，但满足分配律，由此我们利用向量的运算性质，可判断平面向量，，的关系；②中，由∥，我们根据两个向量平行，坐标交叉相乘差为0的原则，可以构造一个关于k的方程，解方程即可求出k值；③中，若｜｜=｜｜=｜﹣｜，我们利用向量加减法的平行四边形法则，可以画出满足条件图象，利用图象易得到两个向量的夹角；【解答】解：①若?=?，则?（﹣）=0，此时⊥（﹣），而不一定=，①为假．②由两向量∥的充要条件，知1×6﹣k?（﹣2）=0，解得k=﹣3，②为真．③如图，在△ABC中，设，，，由｜｜=｜｜=｜﹣｜，可知△ABC为等边三角形．由平行四边形法则作出向量+=，此时与+成的角为30°．③为假．综上，只有②是真命题．答案：②16.设A，B是非空集合，定义A*B＝{x|x∈A∪B且x?A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤3}，

B＝{x|x≥1}，则A*B＝

▲

.参考答案：17.直线过点，斜率为，则直线的方程为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(10分)求在两坐标轴上截距相等且与点的距离为的直线方程.参考答案：当直线过原点时,设直线的方程为,即

.由题设知,得或.

故所求直线的方程为或.

当直线不经过原点时,设所求直线的方程为,

即.由题意,有,解得或

所求直线的方程为或

综上所述,所求直线方程为或或

或19.已知向量与向量的夹角为，且，.（1）求;（2）若，求.参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）对等式两边同时平方，利用平面向量数量积的定义以及数量积的运算性质，可以求出；（2）根据两个非零向量互相垂直等价于它们的数量积为零，可以得到方程，解方程可以求出的值.【详解】解：（1）由得，那么；解得或（舍去）∴；（2）由得，那么因此∴.【点睛】本题考查了求平面向量模的问题，考查了两个非零平面向量互相垂直的性质，考查了平面向量数量积的定义及运算性质，考查了数学运算性质.20.已知cos（2π﹣α）=﹣，且α为第三象限角，（1）求cos（+α）的值；（2）求f（α）=的值．参考答案：【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用诱导公式求得cos（+α）的值．（2）利用诱导公式求得所给式子的值．【解答】解：（1）∵cos（2π﹣α）=cosα=﹣，且α为第三象限角，∴sinα=﹣=﹣，∴cos（+α）=﹣sinα=．（2）求f（α）=====﹣．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．21.甲、乙二人参加知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题,那么(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少?(2)甲、乙二人中至少有一个抽到选择题的概率是多少?参考答案：解：(1)甲从选择题中抽到一题的可能结果有6个，乙从判断题中抽到一题的可能结果有4个，又甲、乙依次抽一题的结果共有10×9个，所以甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是：＝

…………5′(2)甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为1-＝.

……………5′或：++＝++