高中数学苏教版2第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理 学业分层测评12类比推理

学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S＝eq\f(底×高,2)，可推知扇形面积公式S扇＝________.【解析】扇形的弧长类比三角形的底，扇形的半径类比三角形的高，所以S扇形＝eq\f(lr,2).【答案】eq\f(lr,2)2．(2023·晋州模拟)数列{an}是正项等差数列，若bn＝eq\f(a1＋2a2＋3a3＋…＋nan,1＋2＋3＋…＋n)，则数列{bn}也为等差数列，类比上述结论，正项等比数列{cn}，若dn＝________，则数列{dn}也为等比数列．【解析】∵根据等差数列构造的新的等差数列是由原来的等差数列和下标一致的数字倍的和，除以下标的和，∴根据等比数列构造新的等比数列，乘积变化为乘方c1ceq\o\al(2,2)ceq\o\al(3,3)…ceq\o\al(n,n)，原来的除法变为开方(c1ceq\o\al(2,2)ceq\o\al(3,3)…ceq\o\al(n,n))eq\f(1,1＋2＋3＋…＋n).【答案】(c1ceq\o\al(2,2)ceq\o\al(3,3)…ceq\o\al(n,n))eq\f(1,1＋2＋3＋…＋n)3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“|m·n|＝|m|·|n|”类比得“|a·b|＝|a|·|b|”；④“eq\f(ac,bc)＝eq\f(a,b)”类比得“eq\f(a·c,b·c)＝eq\f(a,b)”．以上的式子中，类比得到的结论正确的序号是________．【解析】①②均正确，③④不正确．【答案】①②4．已知正三角形内切圆的半径是高的eq\f(1,3)，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是________.【导学号：01580034】【解析】原问题的解法为等面积法，即正三角形的面积S＝eq\f(1,2)ah＝3×eq\f(1,2)ar⇒r＝eq\f(1,3)h.类比，用等体积法，V＝eq\f(1,3)Sh＝4×eq\f(1,3)r·S⇒r＝eq\f(1,4)h.【答案】正四面体的内切球的半径是高的eq\f(1,4)5．已知双曲正弦函数shx＝eq\f(ex－e－x,2)和双曲余弦函数chx＝eq\f(ex＋e－x,2)与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类比的正确结论________．【解析】类比结论为ch(x－y)＝chxchy－shxshy.证明：右边＝eq\f(ex＋e－x,2)·eq\f(ey＋e－y,2)－eq\f(ex－e－x,2)·eq\f(ey－e－y,2)＝eq\f(1,4)(ex＋y＋ex－y＋e－x＋y＋e－x－y－ex＋y＋ex－y＋e－x＋y－e－x－y)＝eq\f(1,4)[2ex－y＋2e－(x－y)]＝eq\f(ex－y＋e－x－y,2)＝ch(x－y)＝左边．【答案】ch(x－y)＝chxchy－shxshy(答案不惟一)6．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为________．【解析】结合等差数列的特点，类比等比数列中b1b2b3…b9＝29可得，在{an}中，若a5＝2，则有a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.【答案】a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×97．二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝eq\f(4,3)πr3，观察发现V′＝S.已知四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W＝________.【解析】因为V＝8πr3，所以W＝2πr4，满足W′＝V.【答案】2πr48．对于等差数列{an}有如下命题：“若{an}是等差数列，a1＝0，s，t是互不相等的正整数，则有(s－1)at＝(t－1)as”类比此命题，给出等比数列{bn}相应的一个正确命题是：“________”．【解析】首先，需要类比写出b1＝1，然后写出bt＝qt－1，bs＝qs－1，即可发现：beq\o\al(s－1,t)＝beq\o\al(t－1,s).【答案】若{bn}为等比数列，b1＝1，s、t是互不相等的正整数，则有beq\o\al(s－1,t)＝beq\o\al(t－1,s).二、解答题9．如图2­1­10，在三棱锥S—ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分别为α1，α2，α3，三侧面△SBC，△SAC，△SAB的面积分别为S1，S2，S3.类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．图2­1­10【解】在△DEF中，由正弦定理，得eq\f(d,sinD)＝eq\f(e,sinE)＝eq\f(f,sinF).于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体S­ABC中，猜想eq\f(S1,sinα1)＝eq\f(S2,sinα2)＝eq\f(S3,sinα3)成立．10．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．【解】证明：如图所示，由射影定理，AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,BD·DC)＝eq\f(BC2,BD·BC·DC·BC)＝eq\f(BC2,AB2·AC2).又BC2＝AB2＋AC2，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(AB2＋AC2,AB2·AC2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).猜想四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD.则eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.∴AB⊥AF，在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AF2).在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴eq\f(1,AF2)＝eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).[能力提升]1．下面使用类比推理恰当的序号是________．(填序号)①“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“a·c＝b·c，则a＝b”；②“(a·b)·c＝a·(b·c)”类推出“(a·b)·c＝a·(b·c)”；③“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”；④“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn”．【解析】①②④均错．【答案】③2．如图2­1­11所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))时，其离心率为eq\f(\r(5)－1,2)，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于________．图2­1­11【解析】如图所示，设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)，所以eq\o(FB,\s\up6(→))＝(c，b)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－a，b)．又因为eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝b2－ac＝0，所以c2－a2－ac＝0，所以e2－e－1＝0，所以e＝eq\f(1＋\r(5),2)或e＝eq\f(1－\r(5),2)(舍去)．【答案】eq\f(1＋\r(5),2)3．在平面几何里，由勾股定理：设△ABC的两条边BC，AC互相垂直，则BC2＋AC2＝AB2.拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积和底面积的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A­BCD的三个侧面ABC，ACD，ADB两两垂直，则________”．【解析】线的关系类比到面的关系，猜测Seq\o\al(2,△BCD)＝Seq\o\al(2,△ABC)＋Seq\o\al(2,△ACD)＋Seq\o\al(2,△ADB).证明如下：如图作AE⊥CD连接BE，则BE⊥CD，Seq\o\al(2,△BCD)＝eq\f(1,4)CD2·BE2＝eq\f(1,4)CD2(AB2＋AE2)＝eq\f(1,4)(AC2＋AD2)(AB2＋AE2)＝eq\f(1,4)(AC2AB2＋AD2AB2＋AC2AE2＋AD2AE2)＝eq\f(1,4)(AC2AB2＋AD2AB2＋CD2AE2)＝Seq\o\al(2,△ABC)＋Seq\o\al(2,△ACD)＋Seq\o\al(2,△ADB)【答案】Seq\o\al(2,△BCD)＝Seq\o\al(2,△ABC)＋Seq\o\al(2,△ACD)＋Seq\o\al(2,△ADB)4．我们知道三角形的性质：如图2­1­12，过△ABC的底边AB上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC，AC于A1，B1，则eq\f(OA1,AC)＋eq\f(OB1,BC)为定值1.那么你能类比此性质，猜想四面体中所具有的性质吗？试证明你的猜想是否正确．图2­1­12【解】猜想的性质为：如图①，过四面体V－ABC的底面ABC上任一点O分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分别是所作直线与侧面的交点，则eq\f(OA1,VA)＋eq\f(OB1,VB)＋eq\f(OC1,VC)为定值1.①证明如下：设平面OA1VA∩BC＝M，平面OB1VB∩AC＝N，平面OC1VC∩AB＝L，则△MOA1∽△MAV，