高中数学人教B版3第一章计数原理学业分层测评3

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.下列问题属于排列问题的是()①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作logab中的底数与真数.A.①④ B.①②C.④ D.①③④【解析】根据排列的概念知①④是排列问题.【答案】A2.从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有()个 个个 个【解析】符合题意的商有Aeq\o\al(2,4)＝4×3＝12.【答案】C3.某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是() 【解析】设车站数为n，则Aeq\o\al(2,n)＝132，n(n－1)＝132，∴n＝12.【答案】B4.(2023·日照高二检测)下列各式中与排列数Aeq\o\al(m,n)相等的是()\f(n！,n－m＋1！)(n－1)(n－2)…(n－m)\f(nA\o\al(m,n－1),n－m＋1)\o\al(1,n)Aeq\o\al(m－1,n－1)【解析】Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)，而Aeq\o\al(1,n)Aeq\o\al(m－1,n－1)＝n×eq\f(n－1！,n－m！)＝eq\f(n！,n－m！)，∴Aeq\o\al(1,n)Aeq\o\al(m－1,n－1)＝Aeq\o\al(m,n).【答案】D5.不等式Aeq\o\al(2,n－1)－n<7的解集为()A.{n|－1<n<5} B.{1,2,3,4}C.{3,4} D.{4}【解析】由Aeq\o\al(2,n－1)－n<7，得(n－1)(n－2)－n<7，即－1<n<5，又因为n∈N＋且n－1≥2，所以n＝3,4.故选C.【答案】C二、填空题6.集合P＝{x|x＝Aeq\o\al(m,4)，m∈N＋}，则集合P中共有______个元素.【解析】因为m∈N＋，且m≤4，所以P中的元素为Aeq\o\al(1,4)＝4，Aeq\o\al(2,4)＝12，Aeq\o\al(3,4)＝Aeq\o\al(4,4)＝24，即集合P中有3个元素.【答案】37.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为________.(填序号)①甲乙，乙甲，甲丙，丙甲；②甲乙丙，乙丙甲；③甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙；④甲乙，甲丙，乙丙.【解析】这是一个排列问题，与顺序有关，任意两人对应的是两种站法，故③正确.【答案】③8.如果Aeq\o\al(m,n)＝15×14×13×12×11×10，那么n＝______，m＝________.【解析】15×14×13×12×11×10＝Aeq\o\al(6,15)，故n＝15，m＝6.【答案】156三、解答题9.下列问题中哪些是排列问题？(1)5名学生中抽2名学生开会；(2)5名学生中选2名做正、副组长；(3)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘；(4)从2,3,5,7,11中任取两个数相除；(5)6位同学互通一次电话；(6)6位同学互通一封信；(7)以圆上的10个点为端点作弦；(8)以圆上的10个点中的某点为起点，作过另一点的射线.【解】(2)(4)(6)(8)都与顺序有关，属于排列；其他问题则不是排列.10.证明：Aeq\o\al(k,n)＋kAeq\o\al(k－1,n)＝Aeq\o\al(k,n＋1).【证明】左边＝eq\f(n！,n－k！)＋keq\f(n！,n－k＋1！)＝eq\f(n！[n－k＋1＋k],n－k＋1！)＝eq\f(n＋1n！,n－k＋1！)＝eq\f(n＋1！,n－k＋1！)，右边＝Aeq\o\al(k,n＋1)＝eq\f(n＋1！,n－k＋1！)，所以Aeq\o\al(k,n)＋kAeq\o\al(k－1,n)＝Aeq\o\al(k,n＋1).[能力提升]1.若S＝Aeq\o\al(1,1)＋Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(4,4)＋…＋Aeq\o\al(100,100)，则S的个位数字是() 【解析】因为当n≥5时，Aeq\o\al(n,n)的个位数是0，故S的个位数取决于前四个排列数，又Aeq\o\al(1,1)＋Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(4,4)＝33.【答案】C2.若a∈N＋，且a<20，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于()\o\al(8,27－a) \o\al(27－a,34－a)\o\al(7,34－a) \o\al(8,34－a)【解析】Aeq\o\al(8,34－a)＝(27－a)(28－a)…(34－a).【答案】D3.有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有________种.【导学号：62980011】【解析】司机、售票员各有Aeq\o\al(4,4)种安排方法，由分步乘法计数原理知共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(4,4)种不同的安排方法.【答案】5764.沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的这六个大站准备(这六个大站间)多少种不同的火车票？【解】对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应于一个起