江西省吉安市县第二中学2022高三数学文测试题含解析

江西省吉安市县第二中学2022高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc．若sinB?sinC=sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形参考答案：C【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】b2+c2=a2+bc，利用余弦定理可得cosA=，可得．由sinB?sinC=sin2A，利正弦定理可得：bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，可得b=c．【解答】解：在△ABC中，∵b2+c2=a2+bc，∴cosA===，∵A∈（0，π），∴．∵sinB?sinC=sin2A，∴bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，∴（b﹣c）2=0，解得b=c．∴△ABC的形状是等边三角形．故选：C．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2.已知：命题“,”；命题“”，则下列命题正确的是（

）A．命题“”是真命题

B．命题“”是真命题

C.命题“”是真命题

D．命题“”是真命题参考答案：B3.设集合A={x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}，B={0，1}，则?AB=（）A．{﹣3，﹣2，﹣1} B．{﹣1，2，3} C．{﹣1，0，1，2，3} D．{0，1}参考答案：B【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】列举出全集A，即可确定出B的补集．【解答】解：∵合A={x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}={﹣1，0，1，2，3}，B={0，1}，∴?UA={﹣1，2，3}．故选B．4.已知等差数列的前项和，满足，则＝（）A.-2014 B.-2013 C.-2012 D.-2011参考答案：D略5.设集合M={x|﹣2＜x＜3}，P={x|x≤﹣1}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合集合的基本运算进行判断即可．解答：解：∵M={x|﹣2＜x＜3}，P={x|x≤﹣1}，∴M∪P={x|x＜3}，M∩P={x|﹣2＜x≤﹣1}，则M∩P?M∪P，即“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件判断，根据集合的交集和并集进行运算是解决本题的关键．6.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C7.已知定义在上的函数满足：①对任意，有；②当，有，若函数，则函数在区间上的零点个数是（

）A．9

B．10

C．11

D．12参考答案：A试题分析：由题意，作出函数的图象，在同一坐标系为作出的图象，由图象可知，两图象在上交点有9个，即函数在上有9零点．故选A．考点：函数的零点，数形结合思想．【名师点睛】解决函数零点问题的方法：1．如果函数比较简单，可用函数零点存在定理进行判断．如果要判断零点个数，可能还需要研究函数的单调性一，函数的变化趋势．2．函数的零点，即方程的根与函数图象交点问题的相互转化，这样可以通过画出函数的图象，通过观察研究函数图象的交点个数来确定方程根的个数．本题我们通过画出函数和的图象，从而从图象中确定交点个数，这种方法直观、简洁．8.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．6π B．7π C．8π D．12π参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体上半部分为半球，下面是一个圆柱，根据所给数据，即可求出表面积．【解答】解：由三视图可知该几何体上半部分为半球，下面是一个圆柱，所以其表面积为．故选B．9.已知函数是定义在R上的奇函数，对都有成立，当且时，有。给出下列命题

(1)

(2)在[_2，2]上有5个零点

(3)(2013，0)是函数的一个对称中心

(4)直线是函数图象的一条对称轴则正确命题个数是

A．1

B．2

C．3

D．4

参考答案：C10.已知四棱锥的三视图如图，则四棱锥的全面积为()

A.

B.C.5

D.4参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为

．参考答案：300【考点】分层抽样方法．【分析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有900名学生，算出高二年级学生人数．【解答】解：∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，∴高二年级要抽取45﹣20﹣10=15，∵高级中学共有900名学生，∴每个个体被抽到的概率是=∴该校高二年级学生人数为=300，故答案为：300．12.已知函数，在函数的定义域内任取一点，使得的概率是___________．

参考答案：

略13.甲、乙两名同学从三门选修课中各选修两门，则两人所选课程中恰有一门相同的概率为

。参考答案：14.在中，角，，所对的边分别为，，，为的面积，若向量，满足∥，则角

．参考答案：15.已知复数满足（为虚数单位），则的模为 .参考答案：16.已知正三棱锥P-ABC的体积为，其外接球球心为O，且满足，则正三棱锥P-ABC的外接球半径为

．参考答案：满足三角形在球的大圆上，且为正三角形设球半径为，正三角形的高为，边长为解得

17.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，＞0（x＞0），则不等式x2f（x）＞0的解集是．参考答案：（﹣1，0）∪（1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】先根据[]′=＞0判断函数的单调性，进而分别看x＞1和0＜x＜1时f（x）与0的关系，再根据函数的奇偶性判断﹣1＜x＜0和x＜﹣1时f（x）与0的关系，最后取x的并集即可得到答案．【解答】解：[]′=＞0，即x＞0时是增函数，当x＞1时，＞f（1）=0，f（x）＞0．0＜x＜1时，＜f（1）=0，f（x）＜0，又f（x）是奇函数，所以﹣1＜x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）＞0，x＜﹣1时f（x）=﹣f（﹣x）＜0，则不等式x2f（x）＞0即f（x）＞0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞），故答案为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．【点评】本题主要考查了函数单调性与奇偶性的应用．在判断函数的单调性时，常可利用导函数来判断．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，，，，，，，，M是PA的中点．(1)求证：BM∥平面PCD；(2)求三棱锥B-CDM的体积．参考答案：（1）详见解析；（2）16.【分析】（1）取中点，证明为平行四边形，得到，从而得到平面；（2）对三棱锥进行等体积转化，转化为求的体积.过作的垂线，垂足为，证明为三棱锥的高并求出求出其长度，求出的面积，得到三棱锥的体积，即三棱锥的体积.【详解】(1)证明:取中点，连接，，作,则,易知ABCH为平行四边形，有.为的中位线，，且.又，且，，且，则为平行四边形，，又平面，平面，平面.(2)解:过作的垂线，垂足为，取中点，连结又平面平面，平面平面，平面，平面.为三棱锥的高，,为中点，，，为等腰直角三角形，，平面平面，平面平面，平面，平面.为的中点，，过作交于点，为平行四边形，，.【点睛】本题考查通过线线平行证明线面平行，通过面面垂直证明线面垂直，变换顶点和底面进行等体积转化，求三棱锥的体积，属于中档题.19.如图，正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直于底面）中，是的中点，。

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求点到平面的距离。参考答案：解：证明：连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE.∵AA1=AB

∴四边形A1ABB1是正方形，

∴E是A1B的中点，又D是BC的中点，∴DE∥A1C.

∵DE平面AB1D，A1C平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.（Ⅱ）由体积法略20.已知△ABC的面积S满足≤S≤3，且·=6,与的夹角为.(1)求的范围;(2)求函数=的最大值.参考答案：解：（1）∵∴S=3.

∴。（2）上递增，∴.

略21.（本题满分12分）已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．参考答案：解(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－或x>；由f′(x)<0，解得－<x<，∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，f(x)的单调减区间为(－，)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小

值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，∴结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(－3,1)．略22.（本小题满分12分）已知函数.(1)若直线l过点（1，0），并且与曲线相切，求直线l的方程；(2)设函数在[1,e]上有且只有一个零点，求a的取值范围.(其中a∈R，e为自然对数的底数)参考答案：解：（1）设切点坐标为（x0，y0），则y0=x0lnx0,切线的斜率为lnx0+1，所以切线l的方程为y-x0lnx0=（lnx0+1）（x-x0），又切线l过点（1，0），所以有-x0lnx0=（lnx0+1）(1-x0)，即lnx0=x0-1，设h（x）=lnx-x+1，则，x∈（0,1），，h（x）单调递增，x∈（1,），，h（x）单调递减，h（x）max=h(1)=0有唯一解，所以x0=1，y0=0.所以直线l的方程为y=x-1.（4分）（2）因为g（x）=xlnx-a（x-1），注意到g（1）=0，所以所求问题等价于函数g（x）=xlnx-a（x-1）在（1，e]上没有零点.因为.所以由lnx+1-a<00<x<ea-1,x>ea-1,所以g（x）在（0，ea-1）上单调递减，在（ea-1，）上单调递增.（6分）①当ea-1≤1，即a≤1时，g（x）在（1,e]上单调递增，所以g（x）>g(1)=0.此时函数g（x）在（1,e]上没有零点，（7分）②当1<ea-1<e,即1<a<2时，g（x）在[1,ea-1)上单调递减，在（ea-1,e]上单