北邮概率论与数理统计事件的独立性4

§1.4独立性条件概率P(AIB)是当知道事件B发生了的条件下对事件A的概率的调整，许多时候这个调整后的P(AIB)与没有调整过的概率P(A)有差异，这表明事件B的发生对事件A发生的概率是有影响的，也就是说这两个事件之间存在着一些关联.但有也一些场合也会出现P(A)=P(AIB)的情形.例如在上一节例1中，如果甲、乙两车间生产的产品中正品数与次品数之比相等，则有P(A)=P(AIB).再比如：例1一个袋有7个球，其中5个红球,2个白球.从中依次取2次球,每次取一个，设B="第一次取到红球"，A="第二次取到红球”.如果是不放回地取球，那么P(A)丰P(AIB).如果是有放回地取球，那么P(A)=P(AIB).如果出现P(A)=P(AIB)的情形，则意味着事件B的发生对事件A发生的概率没有影响,这时在概率论上就说A与B是相互独立的两事件.注意到:如果P(B)>0,则P(A)=P(AIB)的充要条件是P(AB)=P(A)P(B)而后一式子不受P(B)>0的限制.为了避免这个限制条件，我们可用等式P(AB)=P(A)P(B)来刻划独立性.一.两事件的独立性定义设A,B为两事件，若P(AB)=P(A)P(B)称事件A与B相互独立，简称A与B独立,否则称A与B不独立或相依。由此定义易得下面结论(1)若A与B相互独立，则A与B相互独立；A与B相互独立；A与B相互独立.换言之，这4对事件中有一对独立，则其余3对事件均相互独立.(2)若P(A)>0,则A与B相互独立OP(BIA)=P(B).结合(1)可知,若P(A)<1,则A与B相互独立OP(BIA)=P(B).可见A与B相互独立时，无论事件A发生还是不发生都不会对B发生的概率产生影响.⑶若P(A)=0,则A与任一事件B独立.结合(1)可知，若P(A)=1,则A与任一事件B独立.例2续领奖问题.例3将一颗骰子掷两次,记事件A="第一次出现1点"，B="第二次出现2点"，C=“两次点数之和为7"，D="两次点数之和为5”，A与B独立否？A与C独立否？A与D独立否？C与D独立否？解:(1)A与B独立；A与C独立；A与D不独立；C与D不独立.以上结果中，A与B独立根据背景便可直接判断.C与D不独立亦可直接判断，这里有一个更一般的事实，在A,B的均有正概率的前提下，A与B互斥则A与B不独立.由此可见独立与互斥是完全不同的概念.不要混淆.例设P(A)=0.5,P(AuB)=0.8,⑴若A与B互斥，则P(B)=―；(2)若A与B独立，则P(B)=.二.多个事件的独立性.若三个事件A,B,C满足P(AB)=P(A)P(B)；P(AC)=P(A)P(C)；P(BC)=P(B)P(C)那么A,B,C中任两个事件都独立，此时我们称为A,B,C两两独立.若A,B,C两两独立，是否可推AB与C独立？看下面例子.例4续例3,可以判断A,B,C两两独立。但AB与C互斥且概率均大于零，故AB与C不独立。可见上面问题的答案是否定的.因此有下面定义。定义设A,B,C为三个事件，若满足P(AB)=P(A)P(B)；P(AC)=P(A)P(C)；P(BC)=P(B)P(C)；P(ABC)=P(A)P(B)P(C)称事件A,B,C相互独立，否则称A,B,C不相互独立.以上定义可推广至三个以上事件的独立性。定义设A,A…,A为n个事件，若对任意k=2,3,…,n，及任意k个事件A,A，…,A1 2n /1 弓 ik(i1<i2<・••<ij,都有P(AA…A)=P(A)-P(A)i1i2 ik i1 ik称事件A1,A2…,A，相互独立.由定义，可以得到下面两个推论.(1)若事件A1,A2…,A^相互独立，则其中任一部分事件也相互独立.(2)若事件A,A…,A相互独立，则将这几个事件中任一部分事件换成它们各自的对立事1 2n件,所得的n个事件仍相互独立独立性的概念是概率论中极重要的一个概念，它的重要性主要体现在可使概率的计算简化，一些理论问题的处理也变得简便。而在实际问题中，我们很少会用事件独立的定义去验证是否独立，而是依据实际背景去判断事件之间是否相依，若可认为事件之间没有相依性或相依性很少以至于可以忽略，则可认为这些事件相互独立，从而可利用独立性定义及独立性所赋予的性质去计算一些复杂事件的概率。例5(分猎物问题)甲、乙两位猎人同时向一猎物射击，已知甲、乙两位猎人打中猎物的概率分别为0.5,0.6，(1)猎物被打中的概率；(2)如猎物被打中，猎物该如何分？例6(可靠性问题)系统由多个子系统组成，系统的可靠性(指在一定时间内能正常工作的概率)取决于子系统的可靠性及系统的组成方式假设各个子系统的可靠性均为P，且各个子系统都独立地工作.试求以下系统的可靠性.三.独立试验序列模型独立试验序列模型是概率论及数理统计中非常重要的概率模型.定义若试验E1的任一结果(即任一事件),试验E2的任一结果，……,试验En的任一结果都相互独立,则称试验E1,E2,……,E，相互独立.如果这样的n个试验是相同的，每次试验可能的结果只有两个A和A(或只考虑两个结果),并且在每次试验中结果A发生的概率保持不变,则称这n次试验为n重伯努利试验.在n重伯努利试验中，若每次试验中结果A发生的概率均为p,则结果A恰好发生k(k=0,1，…,n)次的概率为p(k)=Ckpkqn-k,q=1-pn n证明：首先考虑事件：某特定的k次试验出现结果A,另外n-k次试验不出现结果A.由试验的独立性知该事件的概率为pkqn-k，又由于n次试验结果的序列里，包含k次试验出现结果A而另外n-k次试验不出现结果A的序列共有Ck个，且这Ck个序列是两两互不相n n容,故结果A恰好发生k(k=0,1, ,n)次的概率为p(k)=Ckpkqn一k以上公式称为二项概率公式.例如将一骰子掷10次,那么这10次掷骰子的试验便是10次独立重复试验.如果我们关注每次试验中点数6是否出现,这便是10重伯努利试验.由于在每次试验中点数6出现的概率为p=1，那么由二项概率公式可得事件“点数6恰好出现2次”的概率为6TOC\o"1-5"\h\z1 5p(2)=C2"2"8\o"CurrentDocument"10 106 6事件”点数6至少出现2次”的概率为中Ck(1)k(5)10-k106 6k=2或1-(5)10一10义6义(|)9例7连续发送n个码字，每码字出错的概率为p(即误码率为p)，那么全部码字都正确的概率为(1-p)n.至少有一个码字出错的概率为1-(1-p)n.例8甲，乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为p,且p>1.若采用三局二胜制，甲取胜的概率记为p1，若采用五局三胜制，甲取胜的概率记为p2,如此若采用2n+1局n+1胜制，甲取胜的概率记为pn,(1)求p/p2,并比较p「p2的大小；⑵证明pn+1>pn.解：(1)p=p2+2p2(1-p)=3p2-2p3p=p3+3p3(1-p)+6p3(1-p)2=6p5-15p4+10p3p2-p1=3p2(p-1)2(2p-1),可见p2>p1；(2)记A表示事件“采用2n+3局n+2胜制时甲取胜”,B1表示事件“甲在前2n+1局胜n局”，B2表示事件“甲在前2n+1局胜n+1局”，B3表示事件“甲在前2n+1局胜n+1局以上”，则p1=P(A)=P(B3)PP(B2)(1—q2)+P(B1)p2pn=P(B3)PP(B2),结合P(B)=Cn+1pn+1qn,P(B)=Cnpnqn+1，可得2 2n+1 1 2n+1p—p=Cnpn+1qn+1(p—q)n+1 n2n+1又p>q,故p1>p.以上考虑的独立试验序列是固定了试验次数还有一类常见的模型:试验次数事先不固定,而是达到了某种“要求”时才停止试验,此类问题中我们常关注所需的试验次数这类问题称为等待时间的问题.例9连续掷骰子直至6点出现停止试验,那么需掷3次骰子的概率是多少?如直至6点出现2次停止试验，那么需掷3次骰子的概率又是多少？解：“直至6点出现，需掷3次”等同于“前2次均不出现6点，而第3次出现6点”，由试验的独立性可得事件”直至6点出现，需掷3次”的概率为(5)2义1；6 6“直至6点出现2次，需掷3次”等同于“前2次中6点恰好出现1次，而第3次出现.1516点”，由试验的独立性可得事件”直至6点出现2次，需掷3次”的概率为2xxx；666例同时掷两颗骰子,观察点数的和，如此试验连续做，求和为5出现在点数和为7之前的概率.解：令A="前n-1次试验中5和7都不出现，而第n次试验出现5”，n那么所求的概率为P(uA)=£P(A)=£(1-10)n.1x4n=1n n=1 n n=1 36 36同样可求得和为7出现在点数和为5之前的概率为5.另解：令A1="第1次的和为5"，A2=”第1次的和为7"A3="第1次的和既不为5也不为7”,A=”和为5出现在点数和为7之前”.由全概率公式有P(A)=P(A1)P(AIA1)+P(A2)P(AIA2)+P(A3)P(AIA3)而P(AIA)=1,P(AIA)=0,P(AIA3)=P(A)所以有4 10P(A)=—+(1-京)P(A)36 36

，…、2解得P(A)=5.例10(赌徒输光问题)两个赌徒约定:每一局输者支付给赢者1元,直至有一方输光就停止赌局.假设每一局甲赢的概率为a,乙赢的概率为P(a+B=1,即不考虑平局)，且各局输赢情况互不影响.开始时甲有。元赌资，乙有b元赌资(〃,b为正整数).求甲最后嬴得所有钱的概率.解:记N=a+b,4为甲有i元赌资时最后赢得所有钱的概率,那么有p=ap+pp并且有边界条件po=0,pN=1.解由于a+p=1,上面等式可变形为p-p=P(p-p)i+1iaii-1由p0=0,可得pp-p=p2 1a1p-p=P(p-p)=(-)2p3 2a2 1a1 p-p=()i-1p-1a1,P"p-p-(—)N-1pnn-1a1将前面i-1等式相加得p-p-p[(-)+(-)2+…+(-)i-1]i1 1aa a即p-p[1+(—)+(—)2+•••+(-)i-1]i1aa ap11aw-p11aw-2a1-a再利用边界条件Pn=1，可得1-I1p，°，21a1/N,a=2所以fB1Ta）aJ1凡