第六章 应力状态分析

工程力学第六章应力状态分析强度理论1第六章应力状态分析和强度理论§6-1应力状态概述§6-2二向应力状态分析§6-3应力圆及三向应力状态简介§6-4广义虎克定律与应变能密度§6-5强度理论2§6-1应力状态概述低碳钢铸铁1、问题的提出

塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？?3脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？低碳钢铸铁?4τABP5

一般性结论1）受力构件上应力随点的位置变化而变化；2）即使在同一点,应力也是随截面的方位变化而变化。过一点所有方位面上应力的集合，称之为这一点的应力状态。应力哪一个面上？

哪一点？哪一点？

哪个方位面？指明62、研究方法yxz单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力称为主应力，分别用表示，并且只有主应力的单元体称为主应力单元。各边边长,,dxdydz单元体73、应力状态分类应力状态：1）单向应力状态(一个主应力不等于零)2）平面（二向）应力状态（两个主应力不等于零）3）空间（三向）应力状态（三个主应力都不等于零）复杂应力状态一般来说，过受力构件的任意一点都可找到三个互相垂直的主平面，因而每点都有三个相互垂直的主应力

112211312231854321Fl/2l/2Fl/2l/2S平面例6-1、画出如图所示梁S截面各点的应力状态单元体。9S平面5432154321123210alF例6-2、画出如图所示梁危险截面危险点的应力状态单元体

xzy4321zy4321FSMZTS1112z3xzy4321zy4321FSMZT12例6－3、分析薄壁圆筒受内压时的应力状态。Dyz薄壁圆筒的横截面面积(1)沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为FAs'13(2)假想用一直径平面将圆筒截分为二，并取下半环为研究对象p"yOFNFNds's"14312231例6－4、分析A点的应力状态。15§6-2二向应力状态分析在二向应力状态下，已知通过一点的某些截面上的应力（互相垂直的截面），确定通过这一点的其它斜截面上的应力，从而确定该点的主平面和主应力。1、斜截面上应力sxsysysxsatyxtxytaxyneff´e´a16正负号规定拉（+），压（）对单元体内任一点取矩顺时针为正，逆时针为负。由x

轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。：：：正应力的角标表示作用面的法线方向第一个角标表示作用面的法线方向，第二个角标表示切应力的方向17对隔离体列平衡方程①利用三角函数公式：且有，化简得：②18任意斜截面应力公式都是a的函数。可见，19确定正应力极值：设a＝a0

时，上式值为零，即：2、正应力极值和方位即α＝α0的截面，正应力取极值，切应力为零。20此截面的位置可由下式确定：主应力按代数值排序：s1

s2

s3

确定了两个相互垂直的平面，分别为最大和最小正应力所在平面。正应力极值：214、两个导出公式：3最大剪应力22例6-5、单元体的应力状态如图，求图示斜截面上的应力和smax、smin、tmax、tmin及主平面和最大剪应力所在平面的方位。解：1）取坐标轴2）已知条件命名3）计算

s30°，t

30°xyn234）计算smax、smin及主平面方位角24100MPax80MPa40MPay12°255）计算tmax、tmin及其所在平面的方位角。26二向应力状态分析的方法计算任意斜面上的应力、确定主应力及主平面等。1)画出应力主单元体（若已知单元体的应力状态则省去这一步）；2)取坐标轴，并写出已知应力；坐标轴应与应力单元体的边垂直，x轴与y轴可任意指定，可默认水平方向为x轴，垂直方向为y轴。3)利用相关公式，计算出指定斜面的应力，最大、最小正应力（主应力）及其对应的角度，最大、最小剪应力；4)确定主平面的方位；画出主应力单元体，则剪应力共同指向的平面为最大主应力所对应的平面。27例6－6、求主应力、主平面并画出主应力单元体；202030解：1）取坐标轴xy已知条件2)计算主应力及其对应的角度28主平面方位角主应力单元体202030xy19°20´29

例6-7、两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示，梁的横截面尺寸示于图中。试求出截面C上a,b两点处的主应力。12015152709zab250KN1.6m2mABC30(1)计算支反力,并画内力图MC=80kN.mFC左

=200kNaaaa解:(2)取a点的应力单元体FAFBFB=50kNFA

=200kN31(4)求a点主应力aaaaa32(4)横截面C上b点的主应力b点的单元体如图所示bbbb点的三个主应力为33例6－8、两相交于一点处的斜截面上的应力如图，求该点的主应力。解：取应力单元体sx？34一、应力圆将斜截面应力计算公式改写为把上面两式等号两边平方，然后相加便可消去，得§6-3应力圆及三向应力状态简介35

因为x，y，xy

皆为已知量，所以上式是一个以，为变量的圆周方程。圆心的坐标：圆的半径：此圆习惯上称为应力圆,或称为莫尔圆应力圆上任一点的横坐标和纵坐标对应于某一斜截面上的正应力和切应力。36(1)建s–t坐标系,选定比例尺o二、应力圆作法及对应关系1、步骤xyxxyxxyyy37Dxyo(2)以x面上的正应力值和切应力为点的横坐标和纵坐标，描点DxAyByxD′(4)连接DD′两点的直线与轴相交于C点(5)以C为圆心,CD为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆C(3)以y面上的正应力值和切应力为点的横坐标和纵坐标，描点D′38(1)该圆的圆心C点到坐标原点的距离为

(2)该圆半径为2、证明393、应力圆与单元体之间的对应关系1）应力圆上的半径对应着单元体上某一截面；2）半径旋转方向与截面旋转方向一致，半径转过的角度是截面转过角度的两倍。与半径对应的应力圆上点的横坐标、纵坐标分别为截面的正应力和切应力。40caA1）应力圆上的半径对应着单元体上某一截面与半径对应的应力圆上点的横坐标、纵坐标分别为截面的正应力和切应力。41CyxaAa'A'q2q2）半径旋转方向与截面旋转方向一致，半径转过的角度是截面转过角度的两倍42三、应力圆的应用1、求单元体上任一截面上的应力

从应力圆的半径CD按方位角的转向转动2得到半径CE.圆周上E点的坐标就依次为斜截面上的正应力

和切应力。DxyoxAyByxD′C20FE2xyaxxyxxyefn432、求主应力数值和主平面位置(1)主应力数值A1和B1两点为与主平面对应的点，其横坐标为主应力1

，2

12DxyoxAyByxD′C20FE2B1A14420DxyoxAyByxD′C12A1B1（2）主平面方位由CD顺时针转20到CA1所以单元体上从x轴顺时针转0

（负值）即到1对应的主平面的外法线0

确定后，1

对应的主平面方位即确定453、求最大切应力G1和G2

两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力

20DxyoxAyByxD′C12A1B1G1G2最大、最小切应力等于应力圆的半径46o例6-9、应力单元体如图所示,x

=-1MPa,y

=-0.4MPa,xy=-0.2MPa,yx

=0.2MPa,(1)绘出相应的应力圆(2)确定此单元体在=30°和=-40°两斜面上的应力。xyxy解:(1)选好比例尺画应力圆量取OA=x=-1,AD

=xy=-0.2,定出

D点;ACBOB

=y=-0.4和，BD′=yx=0.2,定出

D′点.(-1,-0.2)DD′(-0.4,0.2)以DD′

为直径绘出的圆即为应力圆。0.547将半径CD

逆时针转动2=60°到半径CE,E点的坐标就代表=30°斜截面上的应力。(2)确定=30°斜截面上的应力E60°(3)确定=-40°斜截面上的应力将半径CD顺时针转2=80°到半径CF,F点的坐标就代表=-40°斜截面上的应力。F80°AD′CBoD

30°40°

40°30°30°=-0.36MPa30°=-0.68MPa40°=-0.26MPa-40°=-0.95MPa48只需知道过一点任意两个面上的应力，就可画出应力圆进行应力状态分析用图解法分析一点应力状态的方法：1、画应力圆1）分别以两个面上的正应力和切应力为横坐标和纵坐标，在s-t坐标系中描出两点；2）若两平面相互垂直，则对应两点的连线即为直径，连线与横坐标的交点为圆心；3）若两平面不相互垂直，对应两点的连线不垂直于横坐标，则该连线的垂直平分线与横坐标的交点为圆心；4）若两平面不相互垂直，则根据两平面夹角的具体情况确定圆心的位置；492、通过应力圆进行应力状态分析1）求斜截面上的应力值根据斜截面与应力已知平面的夹角a，从代表已知平面的半径旋转相应的2a角，得到对应于斜截面的半径，与半径相应的应力圆上点的坐标就是斜截面上的应力值。2）求主应力及主平面方位角应力圆与横坐标的交点对应于主平面，这两个点的横坐标就是主应力，在横坐标上从右到左依次为s1，s2，s3；另外，根据转向对应及两倍角关系，即可确定主平面方位角。3）求最大、最小切应力最大、最小切应力的绝对值等于应力圆的半径50例6－10、已知受力构件的A点处于平面应力状态，过A点两斜截面上的应力圆如图，试用应力圆求该点的主应力、主平面和最大剪应力。解：100作应力圆∴从n1顺时针转动180即为最大主应力的外法线方向。主平面位置如图。o从应力圆上量得：D1D2CAB51解：可得应力圆上两点：CD1与CD2的夹角为1200

，由此可画出应力圆。由应力圆可计算出：用图解法解例6－7、两相交于一点处的斜截面上的应力如图，试用应力圆求该点的主应力，并画出主应力单元体。sotD2D1120º30ºCAB52yxz53四、三向应力状态简介

对三向应力状态的要求三个主应力均已知；三个主应力中至少有一个主应力及其主方向是已知的；定义三向应力状态——三个主应力均不为零的应力状态54szsxsytxytyx至少有一个主应力及其主方向已知sytxytyxsxsz可先化为平面应力状态求出另两对面上的主应力和主方位，再按三个主应力均已知的情况考虑。sata55tsIIIIIIs3s2s1I平行于s1的方向面－其上之应力与s1无关，于是由s2、s3可作出应力圆I平行于s2的方向面－其上之应力与s2无关，于是由s1、s3可作出应力圆II平行于s3的方向面－其上之应力与s3无关，于是由s1、s2可作出应力圆IIIIIs2s1

s3s3IIIs2s1三个主应力均已知的情况56zpypxpIIIIIIs1s2s3stt't'''t''tmax=s1s2s35720030050otmax例6－11、作图示单元体的应力圆并在图中标出最大剪应力。58(1)(2)排序确定(3)平面应力状态特点：其中一个主应力等于零的三向应力状态59例6-12、单元体的应力如图所示,作应力圆,并求出主应力和最大切应力值。解:40MPaxyz20MPa20MPa20MPa该单元体有一个已知主应力204020xy20sata60由x，xy

定出D

点由y，yx

定出D′

点以DD′为直径作应力圆D′ODC13

3=-26MPa该单元体的三个主应力

1=46MPa

2=20MPa根据上述主应力，作出三个应力圆A1A2261

3=-26MPa该单元体的三个主应力

1=46MPa

2=20MPa解法2：解析法62§6-4广义虎克定律与应变能密度1、简单应力状态下虎克定律正应力仅引起线应变(正应变)剪应力仅引起自身平面内的剪应变应用条件：p，小变形和各向同性材料。xzyAsxsxxzyAtxy632、复杂应力状态下的广义虎克定律+64++65某点在某方向上的线应变与该点三个互相垂直方向的正应力有关。三个互相垂直的平面，各平面内的剪应变仅与自身平面内的剪应力有关。66若单元体是主单元体(即各面上的应力为主应力），则各方向的应变即为主应变，其大小为：各平面的剪应变为零67

对于平面应力状态(假设z

=0，xz=0，yz=0)xyxyyx68例6－13、测得A点处的x=400×10-6，y=-120×10-6。已知：E=200GPa，=0.3，求A点在x和y方向上的正应力。解：取应力单元体平面应力状态解得：PCBAxxyyA能否求出任一横截面任一点上的正应力及切应力、变形、强度校核。解：取应力单元体平面应力状态解得：69例6-14、支梁由18号工字钢制成.其上作用有力F=15kN，已知E=200GPa,=0.3。求：A点沿00，450，900

方向的线应变h/4AAA0.50.50.25FA0°45°90°70解：

zAh/4AAA71AA=50.8A=68.872例6-15、边长a=0.1m的铜立方块，无间隙地放入体积较大，变形可略去不计的钢凹槽中,如图所示.已知铜的弹性模量E=100GPa，泊松比m=0.34，当受到F=300kN的均布压力作用时，求该铜块的主应力及最大切应力.aaaFzyxzxy解：铜块横截面上的压应力变形条件为73解得铜块的主应力为最大切应力74讨论xyz“2”75应变能密度微元应变能dydxdz76由功能原理，得：所以变形比能：77形状改变比能体积改变比能78§6-6强度理论目的：建立危险点处于复杂应力状态下的失效判据及强度条件拉压变形时材料的强度失效判据及强度条件失效判据强度条件失效形式塑性材料脆性材料断裂屈服关键是找出极限应力（屈服极限或强度极限）如何找出极限应力？通过材料的拉压实验79如何建立复杂应力状态下的失效判据及强度条件？1、确定失效形式塑性材料屈服脆性材料断裂2、假定失效的主要原因强度理论:关于材料强度失效主要原因的假说材料无论处于复杂应力状态还是处于简单应力状态，引起同一形式失效的因素是相同的。通过材料的相应应力状态下的实验失效因素的极限值与应力状态无关。通过材料的轴向拉伸实验找出失效因素的极限值3、确定引起失效因素的极限值80断裂准则(脆性材料)最大拉应力理论---第一强度理论无论材料处于什么应力状态,只要最大拉应力达到只与材料性质有关的某一极限值，材料就发生断裂。失效判据强度条件s1s3s281最大伸长线应变理论---第二强度理论无论材料处于什么应力状态,只要最大伸长线应变达到只与材料性质有关的某一极限值，材料就发生断裂。失效判据强度条件s1s3s282屈服准则(塑性材料)最大切应力准则----第三强度理论无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于最大切应力达到了只与材料性能有关的极限值。强度条件s1s3s2失效判据83形状改变比能准则----第四强度理论无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元的形状改变比能达到某一极限值。s1s3s284失效判据强度条件85把各种强度理论的强度条件写成统一形式r称为复杂应力状态的相当应力。861、适用范围(2)塑性材料选用第三或第四强度理论；(3)在三向拉应力相近时，无论是塑性还是脆性都将以断裂的形式失效，故选用第一或第二强度理论；各种强度理论的适