2021届高三寒假复习微专题：导数综合题求导技巧之对数单身狗指数找基友

专题3对数单身狗，指数找基友口诀：对数单身狗，指数找基友；指对在一起，常常要分手对数单身狗设f(x)为可导函数，则有(f(x)^\nx)'=ff(x)\nx+f(x)-^,若f(x)为非常数函X数求导式子中含有ln无,这类问题需要多次求导，处理这类函数的技巧是将Inx前面部分提出，就留下加无这个单身狗，然后研究剩余部分，这类方法技巧叫对数单身狗.例1.(对数单身狗)已知f(x)=x\nx，若f(x)>2ax2+2(aHO).在x€(0,+8)上恒成立，求a的a最小值.解：恒成立问题一般思路：1.参变分离---本题不好操作2■设新函数xlnx—2ax2—2>0，分类讨论复杂，计算麻烦a3xln%>2ax2+2lnx>2ax+A>0(lnx—2ax—A)>0aa%axmin解：^f(x)>2ax2+2在尤6(0,+8)上恒成立az.lnx>2ax+—ax即lnx—2ax——>°在尤6(0,+8)上恒成立ax设h(x)=lnx—2ax——axh(x)12_—ax2+ax+2_(—ax+2)(ax+1)h(x)——a+==xax2ax2ax2

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—a2(X+U)(X—U)=—a(x+u)(x—u)X2axX2当a>0时，hr(x)=0,xi=-丄；尤2=2TOC\o"1-5"\h\z丄a2a.•.xe(0,-)，山(x)>0,h(x)T；xe(£,+^),b(x)<0,h(x)I,aa此时h(x)无最小值，不符合题意当a<0时，加⑴=0,舛=一丄；尤2=2丄a2a.•.xe(0,—丄)，h，(x)<0,h(x)l；xe(丄,+^),h^(x)>0,h(x)T,aa.h(x)min=h(-1)=ln(-l)+3>0minaa.-ln(-a)>-3nln(-a)<3ln(-a)S3=lne3=-aSQ3=：、—q3<a<0•••a的最小值为-Q3指数找基友设/(%)为可导函数，则有(e”-fa)"=-/<(%)，若/(%)为非常数函数，求导式子中还是含有少,针对此类型，可以采用作商的方法，构造［岡‘=WD，或L£咒」ex者通过变形化为:e-/(%)或迪的形式。从而达到简化证明和求最值的目的，S总在找属于它的基友,此类方法技巧俗称指数找基友.例1.(指数找基友)广东省2021届高三综合能力测试22.(12分)已知函数/(%)=旷一a%3⑴若a>竺判断函数/(%)有几个零点，并说明理由：27解：(1)令h(x)=d=丄-竺则由于e%>0，/(%)=0当且仅当h(x)=0.exex因为a>空，h<(x)=心-3),27e”所以当%<3时，h<(x)<0且等号成立当且仅当%=0，当%>3时，h<(x)>0.

因此，h(x)在(-8,3)上单调递减，在(3,+8)上单调递增.h(3)=1—^27<0,h(0)=1>0e3由h(x)=1一叱=1一43a(+)3丄,C4C4.X•.•乂51<1.X•.•乂51<1,二h(x)=1—=1—43a(+)exe"ex0431>1—43ae404工(龙=])04又-ex>x+1,X/、a%3X/、a%34•••h(x)=1—=1—43a(——)pvX£^431>X6443a1->X6443a44a1—-Y-=1—-4令尤=44a>3(a>空),•h(x)=1—>1—>1—=1—44^=00270旳昇I44-即Bx0£(3,+8),使h(%)>0根据零点存在定理，h(町在(0,3),(3,勺)上各有一个零点。因此，h(x)有且只有两个零点，进而/(%)有且只有两个零点.例2.(指数找基友)2021年全国统考试模拟演练(八省联考)22.(12分)已知函数£(兀)=砂_sinx—cosx,9(x)=e%+sin%+cosx.⑴证明当％>—亟时，/(%)>0;4证明：要证/(%)=e”一sin%—cos%>0(%>一匹)4即证"-$山—cosx>0即证1一sinx+cosX>0设h(x)=1—sin”+cos”h(兀)=一cos光一sin光一cos光一sin光=2sin光①■在尤£(一西,兀)这一段期间中,4XX当尤€(—空，一冗)，血(x)>O,h(x)T4当%6(-n,0),h,(^)<0,h(x)I当尤6(0,n),hr(x)>0,h(x)T又...h(一匹)=1一Sin"(-5F)COS(-亍)=1,h(0)=1一sinOcos°=04—5^e0e~4•••当X6(—普，兀)时，h(X)m，n=h(0)=°h(x)=1一sin^cosx=1一V2sih(x)=1一sin^cosx=1一V2sin(%；)4•/V2sin(x-)的最大值为V2,e”ne兀>84•V2sin(x：)<迈<1ex84•h(x)=1—sin^cos光=1一V2sin(%；)>34综上尤>―匹时，h(町>0,SP/(x)>04指对在一起，常常要分手设/(%)为可导函数，则有(0"1口尤一/XQ)'=exlnx竺一〃(尤),若/Tx)为非常数X函数，求导式子中还是含有ex,lnx，针对此类型，可以采用作商的方法，构造[辿SI]=lnx-血，从而达到简化证明和求极值、最值的目的，e-lnx腻在一起，常常会分手.例1．(指对在一起，常常要分手已知函数/(%)=e^nx込1，X⑴证明：/(%)>1.证明：要证e^lnx远1>1

即证inx+Z>丄exex这里h(x)=xlnx;g(x)=三为常见函数ex即证％lnx+2>三这里h(x)=xlnx;g(x)=三为常见函数exeex设h(x)=xlnx+2(^>0);g(x)=—(x>0)exhf(x)=lnx+1令lnx+1=0得:%=1e即：当%E(0,荀时，f(x)\；e

当XW(2,+8)时，f(x)/h(X)min=f二_°gf(X)=1-Xex即：当xW(-8,1)时，f(即：当xW(-8,1)时，f(x)7当%E(1,+8)时，f(x)\•-h(x)min=1时，无=1，g(x)man=1时，x=1即不能同时取等-h(X)mtn>^(X)man:.x\nx+2>—e

拓展思路1）.口诀：三角函数单身狗正弦正切会朋友不是同类早分手（2）例题：设尤g（o,町,证明：皿n亠'2丿xsinxcosxJcosx证明：讥（0,匹）,要证吨n亠，即证沁n%2，即证卫』",'2丿xsinxcosxJcosx即证皂nz—xnoJcosx设f(设f(x)=^s^^-x,Jcosx