第十二章扭转变形

第十二章扭转12-1概述轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。汽车传动轴汽车方向盘丝锥攻丝变形特征：杆件的各横截面环绕轴线发生相对的转动。受力特征：在杆的两端垂直于杆轴的平面内，作用着一对力偶，其力偶矩相等、方向相反。扭转角：任意两横截面间相对转过的角度。ABOMMOBA

12-2扭转时的内力M—作用在轴上的外力偶矩，单位为牛顿·米（N·ｍ）

P—为轴所传递的功率，单位为千瓦（kW）

n—轴的转速，单位为转/分（r/min）当传递的功率P

的单位为PS（马力，1PS=735.5W）时，上式变为：一、外力偶距的计算3扭矩的符号规定：

“MT”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。二、扭矩及扭矩图1扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“Mn”。

2截面法求扭矩MMMTx右手螺旋法则：用右手四指表示扭矩的转向，若拇指的指向离开截面时，规定扭矩为正，如图a所示；若拇指指向截面时，则扭矩为负，如图b所示。（a）（b）三、扭矩图假截留半；内力代换；内外平衡。截面法求扭矩的一般步骤当轴上同时有几个外力偶矩作用时，一般而言，各段截面上的扭矩是不同的，必须用截面法分段求出。扭矩图：为了直观地表示沿轴线各横截面上扭矩的变化规律，取平行于轴线的横坐标表示横截面的位置，用纵坐标表示扭矩的代数值，画出各截面扭矩的变化图。例12-1

求如图所示传动轴1-1截面和2-2截面的扭矩，并画扭矩图。解：用截面法求扭矩1）取1-1截面左侧2）取2-2截面右侧

3）作出扭矩图如图。

1.2kNm1.8kNm=1.8kNm=3kNm=1.2kNm1122扭矩图的简捷画法在外力偶矩作用处的截面上，扭矩发生突变，突变量等于外力偶矩的数值。利用这一突变特性，可较快地画出扭矩图。当轴上有多个外力偶矩作用时，愈显示出这种方法的快捷简便。例4-9如图4-44所示为一传动轴，轴的转速

n=500r/min，主动轮B输入功PB=60kW，从动轮A、C、D输出功率分别为PA=28kW，

PC=20kW，PD=12kW。试绘制轴的转矩图，并指出最大扭矩Tmax的值。BACD图4-44解：（1）计算外力偶矩（2）计算各截面扭矩AB段：

T1=-MA=-534.8

N·m

BC段：

T2=MB-MA

=1146N·m-534.8N·m=611.2N·m

CD段：

T3=MD=229.2N·m（3）画扭矩图最大扭矩在BC段内的各横截面上

Tmax=611.2N·m

。

§12-3

薄壁圆筒的扭转1、各圆周线绕轴有相对转动，但形状、大小及两圆周线间的距离不变。2、各纵向线仍为直线，但都倾斜了同一角度γ，原来的小矩形变成平行四边形。横截面上没有正应力。横截面上必有τ存在，其方向垂直于圆筒半径。

相邻两圆周线间每个小矩形的直角改变量都相等，根据均匀连续假设，圆周各点处切应力的方向与圆周相切，且数值相等。:切应变直角的改变量一、变形的几何关系

观测结果：1）圆周线的形状和大小不变，两相邻圆周线的间距保持不变，仅绕轴线作相对转动。2）纵向线均倾斜了一个角度。第三节圆轴扭转时的应力试验观测：取一易变形的圆形截面直杆，在此圆轴的表面各画几条相平行的圆周线和纵向线；在轴的两端施加一对力偶矩M使其产生扭转变形。d/dx=/R，所以在同一横截面上d/dx是一个常数，因此各点的切应变与该点到圆心的距离成正比。平面截面假设：圆轴扭转变形后，横截面仍保持为平面，且其形状大小不变，横截面上的半径仍保持为直线，即横截面刚性地绕轴线作相对转动。圆轴扭转时横截面上的应力关系BAKA'B'L二、应力应变关系剪切胡克定律各点的切应力三、静力学关系RdAdA取dA为距截面中心处的微面积，则dA为作用在微面积上的力dA对截面中心之距，整个横截面上这些力矩的合成结果应等于扭矩T：横截面积极惯性矩则得：物理关系式比较等直圆轴扭转时横截面上任一点处切应力的计算公式切应力最大值：令称为抗扭截面系数实心圆截面令内外径比为=d/D，则有：O圆柱的极惯性矩空心圆截面二、圆轴扭转时的变形

圆轴扭转变形用一个横截面相对另一个横截面转过的角度来度量，称为“扭转角”单位rad。

式中，称为圆轴的抗扭刚度。越大，则越小，抗扭刚度反映了截面抵抗扭转变形的能力。G为材料的切变模量。

扭转角与轴的长度有关，为消除长度的影响，工程中常用单位长度扭转角来度量扭转变形的程度，即（rad/m）

把弧度换算为度，即用1rad=180°/π代入运算得（°/m）

一、强度计算强度条件：对于等截面圆轴：([]

称为许用剪应力。)强度计算三方面：①校核强度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：§12–5

圆轴扭转时的强度与刚度计算例12-3

机床二级齿轮减速箱中的中间轴如图

4-50a所示。轴径D=50mm，轮C输入功率PC=40kW，轮A、轮B输出功率分别为PA=23kW，PB=17kW，轴的转速n=200r/min，许用切应力

[]=50MPa，试校核该轴的强度。

图4-50解：（1）计算外力偶矩（2）计算扭矩。

T1=MA=1098.25Nm

T2=-MB=-811.75Nm最大转矩Tmax=T1=1098.25Nm，发生在AC段，如图4-50b所示。因是等截面轴，该段是危险截面。（3）校核强度该轴强度足够。二、圆轴扭转时的刚度计算圆轴扭转时的刚度条件为（rad/m）或（°/m）例12-4

如图所示。AC、BC段的扭矩

T1=1098.25Nm，

T2=-811.75

Nm，材料的切变模量

G=80GPa，许用切应力

[]=50MPa，单位长度许用扭转角

=1°/m，试求实心圆轴的直径d。

(2)

计算圆轴的直径d

根据扭转强度条件

解：（1）圆轴的最大扭矩为

Tmax=T1=1098.25Nm根据扭转刚度条件为了同时满足圆轴扭转强度条件和刚度条件，圆轴的直径圆整为d=55mm。例6-4等截面传动轴如图6-10a所示。已知该轴转速n=300r/min，主动轮输入功率PC=30kW，从动轮输出功率PA=5kW，PB=10kW，PD=15kW。材料的切变模量G=80GPa，许用切应力[τ]=40MPa，单位长度许可转角[θ]=1º/m。试按强度及刚度准则设计轴的直径。MAMCMDMB图6-10传动轴示意图与扭矩图a）传动轴示意图

b)传动轴的扭矩图

MT(N·m)159N·m478N·m478N·mO解(1)计算外力偶矩。由式（6-1）得N·m=159N·m

N·m=318N·m

N·m=955N·m

N·m=478N·m

(2)画扭矩图。根据外力偶矩计算出各段的扭矩，画扭矩图如图6-10b所示，由扭矩图可知，MTmax=478N·m，发生在BC和CD段。

(3)按强度准则设计轴的直径(用d1表示)。由式（6-11）得

≤[τ]

d1≥

mm=39.3mm

得6．5圆轴扭转强度与刚度计算

(4)按刚度准则设计轴的直径(用d2表示)。由式（6-12）得≤[θ]d2≥

mm=43.2mm

得综合上述两种情况，圆轴必须同时满足强度和刚度准则，则取d=44mm。

例7-5图示传动轴，n=300r/min，输入力矩MC=955N·m，输出MA=159.2N·m，MB=318.3N·m，MD=477.5N·m，已知G=80GPa

[]=40MPa，[]=1/m，试按强度和刚度准则设计轴的直径。

解：1.求各段轴上的扭矩2.画轴的扭矩图

MAMBMCMDABCDxT-477.5kN·m477.5kN·m-159.2kN·m3.