第六章立体及平面相交

第六章平面与立体相交6.1平面与平面体相交6.2平面与回转体相交相关概念：截平面：与立体相交的平面，称为截平面。截交线：平面与立体表面的交线，称为截交线。截断面：截交线围成的图形称截断面。6.1平面与平面体相交一、截交线的特性：1、平面体截交线是平面和平面体表面的共有线。2、一般情况下，平面截切平面体时，截交线是一个封闭的平面多边形。截交线的形状取决截平面与立体的相对位置。二、求平面立体截交线的方法1、单个截平面与平面体的截交线2、多个截平面与平面体的截交线1、单个截平面与平面体的截交线例1、求正垂面与三棱椎的截交线。空间分析：截平面P与三棱锥的三条棱线均相交。截交线是一平面三角形，顶点是三棱锥的棱线与截平面P的交点，它的边是截平面P与平面立体表面的交线。PI

II

III

例1、求正垂面与三棱椎的截交线。作图步骤:（1）在棱线的正面投影s’a’、s’b’、s’c’与截平面P的有积聚性的迹线Pv的相交处，作出交点的正面投影1’、2’、3’，与Pv相重合的直线1’2’3’

即为截交线的正面投影。(2)由1’、2’、3’引投影连线，分别与sa、sb、sc和s”a、s”b、s”c交出1、2、3和1”、2”、3”,其中3”不可见。1231‘2‘3‘1“2“(3“)(3)连接这些点的同名投影,作出截交线的水平投影123和侧面投影1”2”3”，注意可见性。例2、求四棱柱被截切后的三面投影。空间分析：截平面Ｐ与四棱柱的四个棱面及上底面均相交，所以截交线是一个凸五边形，五个顶点分别是截平面Ｐ与四棱柱三条棱线和上底面两条边线的交点。即点I、II、III、IV、V。PI

IIIII

IVV

例2、求四棱柱被截切后的三面投影。作图步骤:（1）截交线的正面投影重合Pv，作出1’、2’、3’、4’、5’。（2）由正面投影，作出水平投影1、2、3、4、5。（3）作出侧面投影1”、2“、3”、4“、5”。例2、求四棱柱被截切后的三面投影。作图步骤:（1）截交线的正面投影重合Pv，作出1’、2’、3’、4’、5’。（2）由正面投影，作出水平投影1、2、3、4、5。（3）作出侧面投影1”、2“、3”、4“、5”。（4）分清截交线及截交形体在各投影中线条的可见性，描深三面投影图。1、多个截平面与平面体的截交线例1、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。空间分析：梯形四棱柱被P、Q1、Q2三平面截切，因而截交线由三部分组成。即P平面与梯形四棱柱的表面交线，以及Q1、Q2平面与梯形四棱柱被P平面截切后形体的表面交线。例1、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。(1)：只考虑P平面截切四棱柱产生的截交线，由正面投影1‘、2’、3‘、4’可作出侧面投影1“、2”、3“、4”与水平投影1、2、3、4。PIIIIIIIV作图步骤:例1、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。作图步骤:(2)在第一步的基础上，考虑Q1、Q2平面截切。Q2HQ1HQ1Q1PQ2作图步骤:(3)Q1平面截切平面体的截交线可由水平投影a、b、c、d求出正面投影a’、b’、c’、d’。ABCABCDEFGHQ1Q1Q2D例1、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。Q1HQ2H作图步骤:(4)由水平投影a、b、c、d及正面投影a’、b’、c’、d’作出侧面投影a”、b”、c”、d”。例1、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。ABCDQ1Q2EFGH例1、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。作图步骤:(5)按同样的方法求出平面Q2截切平面体产生的截交线EFGH的三面投影。ABCDQ1Q2EFGH作图步骤:(6)分清截交线及截交形体在各投影中线条的可见性，描深三面投影图。例1、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。1、多个截平面与平面体的截交线例2、补全有缺口四棱锥的水平投影和側面投影。PvQv空间分析：四棱锥的缺口可看作是由水平面P与正垂面Q切割四棱锥而成的，因此，除了要分别求出P、Q两平面与四棱锥表面交线之外，还要求出P、Q两平面的交线。PQ两平面交线例2、补全有缺口四棱锥的水平投影和側面投影。作图步骤:(1)画出未截切时的四棱锥的侧面投影。(2)水平面P与正垂面Q正面投影有积聚性，因此截交线的正面投影可直接得出。作出截交线正面投影1'2’3‘4’5‘6’7‘8’。PQ例2、补全有缺口四棱锥的水平投影和側面投影。作图步骤:(3)由正面投影作出水平投影12345678及侧面投影1“2”3“4”5“6”7“。例2、补全有缺口四棱锥的水平投影和側面投影。作图步骤:(4)依此连接同一表面的各点。其中，34为两平面交线的水平投影，3“4”为两平面交线的侧面投影。例2、补全有缺口四棱锥的水平投影和側面投影。作图步骤:(5)分清截交线及切割立体在水平投影与侧面投影的可见性，描深三面投影图。6.2平面与回转体相交一、截交线的特性及作图方法：1、平面与回转体交线是平面曲线（特殊情况下为直线），是截平面与回转面的共有线。2、若截交线为非圆曲线，则先作出截交线上的特殊点，再作出其上若干个一般点（也称中间点），然后将这些共有点连成光滑曲线（尖点处例外）。特殊点，是指截交线上确定其大小范围的最高、最低、最左、最右、最前、最后点，投影上截交线的虚实分界点，椭圆长短轴的端点，以及抛物线双曲线的顶点，这些特殊点的投影绝大多数位于回转体的视图轮廓线上。二、平面与圆柱面相交平面与圆柱面相交时，根据平面对圆柱轴线的位置不同，其截交线有三种情形－－圆、椭圆或两平行直线。表7-1平面与圆柱面相交的各种情形截平面位置截交线形状立体图投影图与轴线垂直与轴线倾斜与轴线平行圆椭圆两平行直线例1圆柱面被正垂面P所截切，已知它的主视图和俯视图，求作左视图。作图步骤：（1）作出完整圆柱的左视图。（2）作出特殊点的投影。abcda’c’d’b’b”a”d”c”eee’最低最左点A最高最右点B最前点C，最后点D(3)作必要的一般点E(4)连线检查后加深，注意整理轮廓线。e’e’例2已知切口圆柱的主视图和左视图，求作俯视图。空间分析：轴线为侧垂线的圆柱被垂直于圆柱轴线、平行于圆柱轴线和倾斜于圆柱轴线的三平面截切，因而截交线分别是圆、两平行直线和椭圆。例2已知切口圆柱的主视图和左视图，求作俯视图。作图步骤:（1）作出侧垂面截切圆柱所产生的截交线。（2）作出水平面截切圆柱所产生的截交线。（3）作出正垂面截切圆柱所产生的截交线。（4）连线、检查后加深。例2完成被截切圆柱的主视图，并求作俯视图。空间分析：轴线为侧垂线的圆柱被两个正垂面和一个正平面截切。作图时逐个截面分析并画其截交线。例2完成被截切圆柱的主视图，并求作俯视图。作图步骤:(1)作出正垂面截切圆柱产生的截交线(2)作出正平面截切圆柱产生的截交线(3)检查加深整理轮廓线。例2完成被截切圆柱的主视图，并求作俯视图。二、平面与圆锥面相交平面与圆锥面相交时，根据平面对圆锥轴线的位置不同，其截交线有五种情形－－圆、椭圆、抛物线、双曲线或两相交直线。平面和圆锥面交线立体图与投影图截平面垂直于圆锥轴线(=90)，交线为圆。α截平面倾斜于圆锥轴线，且>，交线为椭圆。α截平面倾斜于圆锥轴线，且=，交线为抛物线。αα截平面通过锥顶，交线为过锥顶的两条相交直线。截平面平行于圆锥轴线(=0)，或<，交线为双曲线。ααα例1圆锥被正垂面P所截切，补全俯视图并作出左视图。Pv空间分析：截平面P倾斜于圆锥轴线，而且与所有的素线都相交，所以截交线为椭圆。由于圆锥前后对称，所以正垂面P与它的截交线也是前后对称，断面椭圆的长轴是截平面P与圆锥前后对称面的交线（正平线），端点在最左最右素线上；而短轴则是通过长轴中点的正垂线。截交线PvABCD投影分析：由分析可知截交线是一个椭圆，正面投影积聚成一直线，与Pv重合，而水平投影和侧面投影仍为椭圆。PvP作图步骤：1、作出完整圆锥的左视图。作图步骤：2、作出截交线上特殊点的投影。作出椭圆长轴两端点A、B两点的投影，这两点也是截交线上最高点与最低点。ABCDa’b’aba’’b’’作图步骤：2、作出截交线上特殊点的投影（续上页）。作出椭圆短轴两端点C、D两点的投影，这两点也是截交线上最前点与最后点。ABCDc’d’cdc’’d’’a’b’aba’’b’’作图步骤：2、作出截交线上特殊点的投影（续上页）。作出截交线上位于圆锥左视图轮廓线上的特殊点E、F两点的投影。e’f’efe’’f’’a’b’aba’’b’’c’d’cdc’’d’’作图步骤：3、作出截交线上必要的一般点的投影。作出截交线上一般点M、N的投影。m’n’mnm’’n’’e’f’efe’’f’’a’b’aba’’b’’c’d’cdc’’d’’作图步骤：4连线，加深，整理轮廓线。m’n’mnm’’n’’e’f’efe’’f’’a’b’aba’’b’’c’d’cdc’’d’’将所求截交线上的特殊点与一般点的水平投影与侧面投影依次光滑连成封闭曲线。作图步骤：5、检查整理。例3补全切割圆锥的左视图，并补画俯视图。空间分析：圆锥面被通过锥顶的正垂面P、侧平面Q以及平行于最高素线正垂面R

所截切，因而截交线分别为两条素线、圆弧、抛物线。PQR两条素线圆弧圆弧抛物线PvQvRv投影分析：截交线的正面投影分别积聚在截平面P、Q、R

的正面迹线上，它们的侧面投影和水平投影都可见。作图步骤：1、作出完整圆锥的水平投影。作图步骤：2、在主视图中标注出各段截交线的特殊点。1’2’3’4’5’6’7’ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ1’2’3’4’5’6’7’作图步骤：3、作出平面P、Q与圆锥的截交线以及P与Q、Q

与R的交线的侧面投影与水平投影。（首先作出相应点的投影）1”2”3”4”125634ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ平面P与圆锥面的截交线为直线段ⅠⅢ、ⅡⅣ，与圆锥底圆交线为ⅠⅡ。平面Q与圆锥面的截交线为圆弧ⅢⅤ、ⅣⅥ，P与Q的交线为ⅢⅣ，Q与R的交线为ⅤⅥ。PQR作图步骤：3、作出平面P、Q与圆锥的截交线以及P与Q、Q

与R的交线的侧面投影与水平投影。（续上页）1’2’3’4’5’6’7’11”2”3”4”256346”5”ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦPQR分别将所求点的侧面投影与水平投影依次相连。作图步骤：4、作出平面R与圆锥面的截交线。1’2’3’4’5’6’7’11”2”3”4