高中数学北师大版3第一章计数原理组合 第1章3组合的应用

第2课时组合的应用1．能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题．(重点)2．能解决有限制条件的组合问题．(难点)[基础·初探]教材整理组合的实际应用阅读教材P15～P16，完成下列问题．1．组合与排列的异同点共同点：排列与组合都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素．不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关．2．应用组合知识解决实际问题的四个步骤(1)判断：判断实际问题是否是组合问题．(2)方法：选择利用直接法还是间接法解题．(3)计算：利用组合数公式结合两个计数原理计算．(4)结论：根据计算结果写出方案个数．1．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有________．【解析】把三张票分给10个人中的3人，不同分法有Ceq\o\al(3,10)＝eq\f(10×9×8,3×2×1)＝120(种)．【答案】1202．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有______种．【解析】甲选修2门，有Ceq\o\al(2,4)＝6(种)不同方案．乙选修3门，有Ceq\o\al(3,4)＝4(种)不同选修方案．丙选修3门，有Ceq\o\al(3,4)＝4(种)不同选修方案．由分步乘法计数原理，不同的选修方案共有6×4×4＝96(种)．【答案】96[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]无限制条件的组合问题在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．【精彩点拨】本题属于组合问题中的最基本的问题，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确分析和判断，弄清每步从哪里选，选出多少等问题．【自主解答】(1)从中任取5人是组合问题，共有Ceq\o\al(5,12)＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有Ceq\o\al(2,9)＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有Ceq\o\al(5,9)＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有Ceq\o\al(1,3)＝3种选法；再从另外9人中选4人，有Ceq\o\al(4,9)种选法．共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,9)＝378种不同的选法．解答简单的组合问题的思考方法1．弄清要做的这件事是什么事．2．选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题．3．结合两个计数原理，利用组合数公式求出结果．[再练一题]1．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？【解】(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(10×9,2×1)＝45.(2)可把问题分两类：第1类，选出的2名是男教师有Ceq\o\al(2,6)种方法；第2类，选出的2名是女教师有Ceq\o\al(2,4)种方法，即Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,4)＝21(种)．有限制条件的组合问题高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动．(1)其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？【精彩点拨】可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼．使用两个计数原理解决．【自主解答】(1)从余下的34名学生中选取2名，有Ceq\o\al(2,34)＝561(种)．∴不同的取法有561种．(2)从34名可选学生中选取3名，有Ceq\o\al(3,34)种．或者Ceq\o\al(3,35)－Ceq\o\al(2,34)＝Ceq\o\al(3,34)＝5984种．∴不同的取法有5984种．(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)＝2100种．∴不同的取法有2100种．(4)选取2名女生有Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)种，选取3名女生有Ceq\o\al(3,15)种，共有选取方式N＝Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)＋Ceq\o\al(3,15)＝2100＋455＝2555种．∴不同的取法有2555种．(5)选取3名的总数有Ceq\o\al(3,35)，因此选取方式共有N＝Ceq\o\al(3,35)－Ceq\o\al(3,15)＝6545－455＝6090种．∴不同的取法有6090种．常见的限制条件及解题方法1．特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据．2．含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解．3．分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解．[再练一题]2．“抗震救灾，众志成城”，在我国“四川5·12”(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？【解】(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有Ceq\o\al(2,4)种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有Ceq\o\al(4,6)种选法，所以共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)＝90(种)抽调方法．(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法．法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)种选法；②选3名外科专家，共有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(3,6)种选法；③选4名外科专家，共有Ceq\o\al(4,4)·Ceq\o\al(2,6)种选法．根据分类加法计数原理，共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(4,4)·Ceq\o\al(2,6)＝185(种)抽调方法．法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有Ceq\o\al(6,10)种选法，考虑选取1名外科专家参加，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)种选法；没有外科专家参加，有Ceq\o\al(6,6)种选法，所以共有：Ceq\o\al(6,10)－Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)－Ceq\o\al(6,6)＝185(种)抽调方法．(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答．①没有外科专家参加，有Ceq\o\al(6,6)种选法；②有1名外科专家参加，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)种选法；③有2名外科专家参加，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)种选法．所以共有Ceq\o\al(6,6)＋Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)＝115(种)抽调方法．[探究共研型]组合在几何中的应用探究1已知平面α∥β，在α内有4个点，在β内有6个点．过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？【提示】所作出的平面有三类：①α内1点，β内2点确定的平面，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,6)个；②α内2点，β内1点确定的平面，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,6)个；③α，β本身．∴所作的平面最多有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,6)＋2＝98个．探究2上述问题中，以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？【提示】所作的三棱锥有三类：①α内1点，β内3点确定的三棱锥，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(3,6)个；②α内2点，β内2点确定的三棱锥，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,6)个；③α内3点，β内1点确定的三棱锥，有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,6)个．∴最多可作出的三棱锥有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,6)＝194个．探究3上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？【提示】∵等底面积、等高的情况下，三棱锥的体积相等，且平面α∥β，∴体积不相同的三棱锥最多有Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,4)＝114个．在一个正方体中，各棱、各面对角线和体对角线中，共有多少对异面直线？【精彩点拨】解答本题可用间接法求解，28条线段任取2条的组合中除去不能构成异面直线的情况．或者构造模型，借助三棱锥中有且仅有3对异面直线来解决．【自主解答】法一：一个正方体的棱、面对角线和体对角线共28条．底面、侧面和对角面共12个面，每一个面中，任两条直线都不构成异面直线，8个顶点中过每个顶点的3条面对角线不能构成异面直线，故共有Ceq\o\al(2,28)－12Ceq\o\al(2,6)－8Ceq\o\al(2,3)＝174对异面直线．法二：因为一个三棱锥的6条棱中有且仅有3对异面直线，而一个正方体的8个顶点中取4个点的取法有Ceq\o\al(4,8)种，上述12个底面、侧面和对角面每个面的4个顶点不能构成三棱锥，故一个正方体的8个顶点可构成Ceq\o\al(4,8)－12＝58个三棱锥，所以一个正方体中符合题设要求的异面直线共有3·(Ceq\o\al(4,8)－12)＝3×58＝174对．几何中的计数问题一般为组合问题，要注意分清“对应关系”，如不共线的三点对应一个三角形，不共面的四点确定一个四面体等.解题时可借助图形帮助思考，并要善于利用几何性质，但要注意共点、共线、共面等特殊情况，避免多算或漏算.[再练一题]3．四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们与点A在同一平面上，有多少种不同的取法？【解】如图所示，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外每个面都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有3Ceq\o\al(3,5)种取法，含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法．根据分类加法计数原理，不同的取法有3Ceq\o\al(3,5)＋3＝33种．[构建·体系]1．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有()A．72种 B．84种C．120种 D．168种【解析】需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空中，所以关灯方案共有Ceq\o\al(3,10)＝120(种)．故选C.【答案】C2．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种 B．63种C．65种 D．66种【解析】均为奇数时，有Ceq\o\al(4,5)＝5种；均为偶数时，有Ceq\o\al(4,4)＝1种；两奇两偶时，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,5)＝60种，共有66种．【答案】D3．由三个3和四个4可以组成________个不同的七位数．【解析】在七个位置上选出3个位置放入3，其余放入4，所以有Ceq\o\al(3,7)＝Ceq\o\al(4,7)＝35个不同的数．【答案】354．在直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有________个.【导学号：62690015】【解析】在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为Ceq\o\al(2,6)×Ceq\o\al(2,6)＝15×15＝225个．【答案】2255．在12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽出3件．(1)共有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？【解】(1)有Ceq\o\al(3,12)＝220种抽法．(2)分两步：先从2件次品中抽出1件有Ceq\o\al(1,2)种方法；再从10件正品中抽出2件有Ceq\o\al(2,10)种方法，所以共有Ce