高中数学人教A版第三章不等式 第三章基本不等式

第三章不等式基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)第1课时基本不等式A级基础巩固一、选择题1．下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是()A．lg(x2＋1)≥lg(2x) B．x2＋1＞2x\f(1,x2＋1)≤1 D．x＋eq\f(1,x)≥2解析：对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不成立；对于D，当x＜0时，不成立．对于C，x2＋1≥1，所以eq\f(1,x2＋1)≤1成立，故选C.答案：C2．设a，b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的一个是()\f(1,a)＋eq\f(1,b)＜1 \f(1,a)＋eq\f(1,b)≥1\f(1,a)＋eq\f(1,b)＜2 \f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2解析：因为ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))eq\s\up12(2)＝4，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(1,ab))≥2eq\r(\f(1,4))＝1.答案：B3．四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则()\f(a＋d,2)＞eq\r(bc) \f(a＋d,2)＜eq\r(bc)\f(a＋d,2)＝eq\r(bc) \f(a＋d,2)≤eq\r(bc)解析：因为a，b，c，d成等差数列，则a＋d＝b＋c，又因为a，b，c，d＞0且不相等，所以b＋c＞2eq\r(bc)，故eq\f(a＋d,2)＞eq\r(bc).答案：A4．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是()A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab|C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2＞2|ab|解析：因为a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，所以a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立)．答案：A5．已知实数a，b，c满足条件a＞b＞c且a＋b＋c＝0，abc＞0，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)的值()A．一定是正数 B．一定是负数C．可能是0 D．正负不确定答案：B二、填空题6．若x，y∈R，且x＋4y＝20，则x·y的最大值是________．解析：因为20＝x＋4y≥2eq\r(x·4y)＝4eq\r(xy)，所以eq\r(xy)≤5⇒xy≤25.等号成立的条件是x＝4y＝10.即x＝10，y＝eq\f(5,2).所以xy的最大值是25.答案：257．已知a，b∈R，如果ab＝1，那么a＋b的最小值为________；如果a＋b＝1，那么ab的最大值为________．解析：因为a，b∈R，所以eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，所以a＋b≥2eq\r(ab)＝2.故当ab＝1时，a＋b取最小值2，此时a＝b＝1.又当a＋b＝1时，eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)＝eq\f(1,2).所以ab≤eq\f(1,4).答案：2eq\f(1,4)8．若0＜a＜b且a＋b＝1，试判断eq\f(1,2)，a、b、2ab、a2＋b2的大小顺序________．解析：因为0＜a＜b，a＋b＝1，所以a＜eq\f(1,2)＜b①2ab＜a2＋b2②下面寻找②中数值在①中的位置．因为a2＋b2＞2(eq\f(a＋b,2))2＝eq\f(1,2)，a2＋b2＝a·a＋b2＜a·b＋b2＝(1－b)b＋b2＝b，所以eq\f(1,2)＜a2＋b2＜b.又2ab＜2(eq\f(a＋b,2))2＝eq\f(1,2)，2ab＞2×eq\f(1,2)a＝a，所以a＜2ab＜eq\f(1,2).所以a＜2ab＜eq\f(1,2)＜a2＋b2＜b.答案：a＜2ab＜eq\f(1,2)＜a2＋b2＜b三、解答题9．设x＞0，求证：x＋eq\f(2,2x＋1)≥eq\f(3,2).证明：因为x＞0，所以x＋eq\f(1,2)＞0，所以x＋eq\f(2,2x＋1)＝x＋eq\f(1,x＋\f(1,2))＝x＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,x＋\f(1,2))－eq\f(1,2)≥2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))·\f(1,x＋\f(1,2)))－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).当且仅当x＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,x＋\f(1,2))，即x＝eq\f(1,2)时，等号成立．10．已知a，b，c为不全相等的正实数，则abc＝1.求证：eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)＜eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c).证明：因为a，b，c都是正实数，且abc＝1，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(1,ab))＝2eq\r(c)，eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥2eq\r(\f(1,bc))＝2eq\r(a)，eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)≥2eq\r(\f(1,ac))＝2eq\r(b)，以上三个不等式相加，得2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))≥2(eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c))，即eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)＜eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c).B级能力提升1．若a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是()\f(2ab,a＋b)＜eq\f(a＋b,2)＜eq\r(ab) \f(a＋b,2)≥eq\f(2ab,a＋b)≥eq\r(ab)\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)＞eq\f(2ab,a＋b) \r(ab)＜eq\f(2ab,a＋b)＜eq\f(a＋b,2)解析：a＞b＞0，eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)，eq\f(2ab,a＋b)＜eq\f(2ab,2\r(ab))＝eq\r(ab).从而eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)＞eq\f(2ab,a＋b).答案：C2．已知a、b都是正实数，函数y＝2aex＋b的图象过点(0，1)，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值是________．解析：依题意得2aex＋b＝2a＋b＝1eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(2a＋b)=3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(2a,b)))≥3＋2eq\r(\f(b,a)·\f(2a,b))＝3＋2eq\r(2)，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(2a,b)，即a＝1－eq\f(\r(2),2)，b＝eq\r(2)－1时取等号，因此eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值是3＋2eq\r(2).答案：3＋2eq\r(2)3．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ac≤eq\f(1,3)；(2)eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥1.证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤eq\f(1,3).(2)因为eq\f(a2,b)