高中数学人教B版本册总复习总复习 2023版第1章集合的概念

1．1集合与集合的表示方法1．集合的概念1．通过实例了解集合的含义．(难点)2．掌握集合中元素的三个特性．(重点)3．体会元素与集合的“从属关系”，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点)[基础·初探]教材整理1元素与集合的相关概念阅读教材P3～P4“第7行”的部分，完成下列问题．1．集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，通常用英语大写字母A，B，C，…来表示．2．元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)，通常用英语小写字母a，b，c，…来表示．3．空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)本班的“帅哥”组成集合．()(2)漂亮的花组成集合．()(3)联合国常任理事国组成集合．()【解析】(1)不正确．因为“帅哥”没有统一标准，即元素不确定，不能组成集合．(2)不正确．因为什么样的花是漂亮的花不确定，不能组成集合．(3)正确．因为联合国常任理事国是确定的，所以能组成集合．【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2元素与集合的关系阅读教材P3“最后一行”～P4“第6行”以上的内容，完成下列问题．1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.2．不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.用符号“∈”或“∉”填空：0__________∅，－eq\f(1,2)________Z，π__________Q，eq\r(4)________Q，|－4|________N*.【解析】根据常见数集及其记法进行判断．【答案】∉∉∉∈∈教材整理3集合的特性及分类阅读教材P4“思考与讨论”以下～P4“练习A”以上的内容，完成下列问题．1．集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．2．集合的分类(1)有限集：含有有限个元素的集合．(2)无限集：含有无限个元素的集合．3．常用数集及符号表示名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR已知集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为()A．0 B．1C．－1 D．1或－1【解析】当x＝0,1，－1时，都有x2∈A，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－1.【答案】C[小组合作型]集合的概念下列所给的对象能构成集合的是________．①所有的正三角形；②比较接近1的数的全体；③某校高一年级所有16岁以下的学生；④平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合；⑤所有参加2023年里约热内卢奥运会的年轻运动员；⑥eq\r(2)的近似值的全体.【导学号：60210000】【精彩点拨】判断一组对象能否组成集合的关键是看该组对象是否具有明确的标准，即给定的对象是“模棱两可”还是“确定无疑”．【自主解答】①能构成集合，其中的元素满足三条边相等；②不能构成集合，因为“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；③能构成集合，其中的元素是“某校高一年级16岁以下的学生”；④能构成集合，其中的元素是“平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点”；⑤不能构成集合，因为“年轻”的标准是模糊的、不确定的，故不能构成集合；⑥不能构成集合，因为“eq\r(2)的近似值”未明确精确到什么程度，因此很难断定一个数是不是它的近似值，所以不能构成集合．【答案】①③④判断每个对象是否具有确定性是判断其能否构成集合的关键，而判断一个对象是不是确定的，关键就是要找到一个明确的衡量标准，同时还要注意集合中的元素的互异性、无序性.[再练一题]1．下列各组对象中不能构成集合的是()A．佛冈中学高一班的全体男生B．佛冈中学全校学生家长的全体C．李明的所有家人D．王明的所有好朋友【解析】A中，佛冈中学高一班的全体男生，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构成集合；B中，佛冈中学全校学生家长的全体，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构成集合；C中，李明的所有家人，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构成集合；D中，王明的所有好朋友，不满足集合元素的确定性，故不可以构成集合．故选D.【答案】D元素与集合的关系给出下列6个关系：①eq\f(\r(2),2)∈R，②eq\r(3)∈Q，③0∉N，④eq\r(4)∈N，⑤π∈Q，⑥|－2|∉Z.其中正确命题的个数为()A．4 B．3C．2 D．1【精彩点拨】首先明确字母R、Q、N、Z的意义，再判断所给的数与集合的关系是否正确．【自主解答】R、Q、N、Z分别表示实数集、有理数集、自然数集、整数集，所以①④正确，因为0是自然数，eq\r(3)，π都是无理数，所以②③⑤⑥不正确．【答案】C1．判断一个元素是不是某个集合中的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特性．2．解决本例及类似问题要准确记忆数集Q，N，R及Z的含义，防止因混淆其含义而出现失误．[再练一题]2．用符号“∈”或“∉”填空．若A表示第一、三象限的角平分线上的点的集合，则点(0,0)________A，(1,1)________A，(－1,1)________A.【解析】第一、三象限的角平分线上的点的集合可以用直线y＝x表示，显然(0,0)、(1,1)都在直线y＝x上，(－1,1)不在直线上．∴(0,0)∈A，(1,1)∈A，(－1,1)∉A.【答案】∈∈∉[探究共研型]集合中元素的特性探究1“北京市的高楼”能否组成一个集合？“北京市高于100米的楼能否组成一个集合？集合的定义中“某些确定的”含义是什么？【提示】“北京市的高楼”不能组成一个集合，因为“高楼”没有明确的标准，而“北京市高于100米的楼能组成一个集合，因为标准是确定的．集合的定义中“某些确定的”含义是集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．探究2“小于4的自然数”构成的集合中有哪些元素？甲同学的答案是0,1,2,3；乙同学的答案是3,2,1,0，他们的回答都正确吗？由此说明什么？【提示】两个同学的回答都是正确的．由此说明集合中的元素是没有先后顺序的，这就是集合中元素的无序性．探究3若a和a2都是集合A中的元素，则实数a的取值范围是什么？【提示】因为a和a2都是集合A中的元素，所以a≠a2，即a≠0且a≠1.若集合A中的三个元素分别是a－3,2a－1，a2－4，a∈Z且－3∈A，求实数a的值．【精彩点拨】按－3＝a－3或－3＝2a－1或－3＝a2－4分三类分别求解实数a的值，注意验证集合A中元素是否满足互异性．【自主解答】(1)若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中的三个元素分别是－3，－1，－4，满足题意；(2)若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中的三个元素分别是－4，－3，－3，不满足题意；(3)若－3＝a2－4，则a＝±1.当a＝1时，集合A中的三个元素分别是－2,1，－3，满足题意；当a＝－1时，由(2)知，不满足题意．综上可知，a＝0或a＝1.1．本题按－3＝a－3或－3＝2a－1或－3＝a2－4为标准分类，从而做到“不重不漏”；在解含字母的问题中，常常采用分类讨论的思想，注意分类标准的统一和明确．2．本题在求解的过程中，常因忽视检验集合中元素的互异性，导致产生增解－1.[再练一题]3．若将本例中的条件“－3∈A”换成“a∈A”，求相应问题．【解】∵a∈A且a∈Z，∴a＝a－3或a＝2a－1或a＝a2－4，解得a＝1，此时集合A中有三个元素－2,1，－3，符合题意．故所求a的值为1.1．下列对象不能构成集合的是()①我国近代著名的数学家；②所有的欧盟成员国；③空气中密度大的气体．A．①② B．②③C．①②③ D．①③【解析】研究一组对象能否构成集合的问题，首先要考查集合中元素的确定性．①中的“著名”没有明确的界限；②中的研究对象显然符合确定性；③中“密度大”没有明确的界限．故选D.【答案】D2．下列三个关系式：①eq\r(5)∈R；②eq\f(1,4)∉Q；③0∈Z.其中正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．0【解析】①正确；②因为eq\f(1,4)∈Q，错误；③0∈Z，正确．【答案】B3．已知集合A中只有一个元素1，若|b|∈A，则b等于()【导学号：60210001】A．1 B．－1C．±1 D．0【解析】由题意可知|b|＝1，∴b＝±1.【答案】C4．a，b，c，d为集合A的四个元素，那么以a，b，c，d为边长构成