高中数学北师大版5第一章不等关系与基本不等式（省一等奖）

第一章§4一、选择题1．设0<x<1，则a＝eq\r(2x)，b＝1＋x，c＝eq\f(1,1－x)中最大的一个是()A．a B．bC．c D．不能确定解析：∵0<x<1，∴1＋x>2eq\r(x)＝eq\r(4x)>eq\r(2x)，∴只需比较1＋x与eq\f(1,1－x)的大小．∵1＋x－eq\f(1,1－x)＝eq\f(1－x2－1,1－x)＝－eq\f(x2,1－x)<0，∴1＋x<eq\f(1,1－x).答案：C2．已知a，b，c，d∈{正实数}且eq\f(a,b)<eq\f(c,d)，则()A．eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(c,d) B．eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(a,b)<eq\f(c,d)C．eq\f(a,b)<eq\f(c,d)<eq\f(a＋c,b＋d) D．以上均可能解析：∵a、b、c、d为正数，∴要比较eq\f(a,b)与eq\f(a＋c,b＋d)的大小，只要比较a(b＋d)与b(a＋c)的大小，即ab＋ad与ab＋bc的大小，即：ad与bc的大小．又∵eq\f(a,b)<eq\f(c,d)，∴ad<bc，∴eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d).同理可得eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(c,d).故选A．答案：A3．已知a>2，x∈R，P＝a＋eq\f(1,a－2)，Q＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2，则P、Q的大小关系为()A．P≥Q B．P>QC．P<Q D．P≤Q解析：∵a>2，∴a－2>0，P＝a＋eq\f(1,a－2)＝a－2＋eq\f(1,a－2)＋2≥2＋2＝4.又Q＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－2＝4.∴P≥Q.答案：A4．已知a、b∈R，则“a＋b>2，ab>1”是“a>1，b>1”A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：∵a>1，b>1⇒a＋b>2，ab>1a＋b>2，ab>1⇒/a>1，b>1举例说明a＝4，b＝eq\f(1,3).答案：B二、填空题5．设a>b>0，x＝eq\r(a＋b)－eq\r(a)，y＝eq\r(a)－eq\r(a－b)，则x、y的大小关系是x________y.解析：∵a>b>0，∴x－y＝eq\r(a＋b)－eq\r(a)－(eq\r(a)－eq\r(a－b))＝eq\f(b,\r(a＋b)＋\r(a))－eq\f(b,\r(a)＋\r(a－b))＝eq\f(b\r(a－b)－\r(a＋b),\r(a＋b)＋\r(a)\r(a)＋\r(a－b))<0.答案：<6．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若∠C＝90°，则eq\f(a＋b,c)的取值范围是________．解析：由题意知c2＝a2＋b2≥2ab，即eq\f(ab,c2)≤eq\f(1,2).∴eq\f(a＋b,c)＝eq\r(\f(a2＋b2＋2ab,c2))＝eq\r(1＋\f(2ab,c2))＝eq\r(2).(当且仅当a＝b时取等号)．又三角形中a＋b>c.∴1<eq\f(a＋b,c)≤eq\r(2).答案：(1，eq\r(2)]三、解答题7．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab证明：3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．因为a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0，从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，即3a3＋2b3≥8．(选修4－5：不等式选讲)设a，b，c为正实数，求证：eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)＋abc≥2eq\r(3).证明：因为a，b，c为正实数，由平均值不等式可得eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)≥3eq\r(3,\f(1,a3)·\f(1,b3)·\f(1,c3))，即eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)≥eq\f(3,abc)，当且仅当eq\f(1,a3)＝eq\f(1,b3)＝eq\f(1,c3)即a＝b＝c时，等号成立．所以eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)＋abc≥eq\f(3,abc)＋abc.而eq\f(3,abc)＋abc≥2eq\r(\f(3,abc)·abc)＝2eq\r(3)，当且仅当eq\f(3,abc)＝abc，即abc＝eq\r(3)时，等号成立．所以eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)＋abc≥2eq\r(3).9．已知a，b，c∈R＋，且ab＋bc＋ca＝1.求证：(1)a＋b＋c≥eq\r(3)；(2)eq\r(\f(a,bc))＋eq\r(\f(b,ac))＋eq\r(\f(c,ab))≥eq\r(3)(eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c))．证明：(1)要证a＋b＋c≥eq\r(3)，由于a，b，c∈R＋，因此只需证(a＋b＋c)2≥3，即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，根据条件，只需证a2＋b2＋c2≥1＝ab＋bc＋ca.而这是可以由ab＋bc＋ca≥eq\f(a2＋b2,2)＋eq\f(b2＋c2,2)＋eq\f(c2＋a2,2)＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c＝eq\f(\r(3),3)时取等号)证得的．∴原不等式成立．(2)∵eq\r(\f(a,bc))＋eq\r(\f(b,ac))＋eq\r(\f(c,ab))＝eq\f(a＋b＋c,\r(abc))，在(1)中已证a＋b＋c≥eq\r(3)，∴原不等式只需证eq\f(1,\r(abc))≥eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)，也就是只要证aeq\r(bc)＋beq\r(ac)＋ceq\r(ab)≤ab＋bc＋ca.而aeq\r(bc)＝eq\r(ab·ac)≤eq\f(ab＋ac,2)，beq\r(ac)≤eq\