自动控制系统教程7

第七章非线性系统的分析§1控制系统中的非线性§2典型非线性特性及其对控制系统的影响§3非线性特性的描述函数法§4相平面法及相平面图1§1控制系统中的非线性一、非线性系统的特殊性二、研究非线性系统的一般方法

21．系统的的稳定性和瞬态响应与输入信号及初始条件有关。一、非线性系统的特殊性对某一输入信号或某一初始条件系统稳定，对另一输入信号或另一初始条件系统就可能不稳定，所以在考虑系统稳定时，不仅要考虑其内在结构，还要考虑输入信号及初始条件。3解得，例1：一非线性系统

4讨论:③

2.自激振荡(极限环)对应线性系统的等幅振荡临界稳定状态，非线性系统则可能存在着一定的范围，在此范围内系统的状态会趋于一种稳定的且具有一定幅值和周期的等幅振荡，这种耗能振荡没有外力强制作用，故称为自激振荡。如正弦振荡器。①②53．多值响应和跳跃谐振同一频率对应两值（2，3）（5，6）有跳跃，点随频率不同方向。64.分析波谐振

非线性正弦输入下，输入频率是输出频率的整数倍。

另外还有混乱现象，频率本引，停滞等。这些特殊点，使非线性系统更加复杂，分析方法也和线性系统大有区别，为了能扬长避短，下面将用非线性理论对某系统进行研究。7二．研究非线性系统的一般方法

由于非线性系统类型繁多，问题复杂，处理中不能使用通用的方法。而只能针对具体问题（类型）采用不同方法，常具有一定的局限性，下面为工程上常采用的几种方法：

1.线性化或小信号分析法

如果系统中仅存在可以线性化的非线性环节，并且系统工作在小偏差范围内，这种情况下，可以通过线性化方法处理。

2.分段线性化分别求出各线性段的解，然后连在一起获得整个系统的解。分段线性化结果精确，不受阶次限制，计算时可借助计算机。83.描述函数法

对满足一定条件的非线性环节，它对正弦信号的响应可以用其输出的一次谐波来近似表示。依照频率响应可以找到一个非线性元件的描述函数，这样就可以将频率特性法用于非线性系统的分析。

主要分析：①系统稳定范围②自振荡条件③振幅与频率。缺陷：对时间响应提供的信息不够确切。

发展：双输入（正弦、直流或随机输出）响应。95.Lyapunov第二方法

用它分析系统稳定性。但找其函数困难。现有找函数方法：克拉索夫斯基、变量梯度法。

6．波波夫法

Lyapunov第二方法在频率域中的推广。4.相平面法

它是针对一、二阶系统的图解法，对二阶特别有用，既能提供稳定性信息，又能提供时间响应信息（不同初始条件、非周期信号输入）10§2典型非线性特性及其对控制系统影响系统固有非线性，饱和、死区、间隙、滞环、静（库仑）摩擦人为非线性继电器一、饱和特性

磁放大器、电子放大器、行程限制、流通孔径限制等，如下图：11

KX1|X|<=a输入X1,输出X2X2=KaX1>=a线性范围：a-KaX<=-a线性增益：K饱和特性对系统特性的影响为：降低振荡性，有利于稳定性。但使动态过程加长，增大随动系统的跟踪过程。

特点：输入绝对值超出一定范围后，输出不再随其变化。二、死区（不灵敏区）1、定义：零点附近输出不随输入变化的区域。122．影响

2、对动态特性，有时引起不稳定，有时会使系统稳定。3、消除输入端的幅值干扰信号增加抗扰性4、消除系统可能造成输出滞后输入。1、造成稳态误差。13三、滞环（回环）特性1.输入输出非单值性关系，输出与输入有关，还与自身有关。输出特性构成一种闭合曲线2．影响：1、引起系统不稳定式自振荡。2、使稳态误差加大。3、使响应速度变慢。

14四、库仑摩擦和静摩擦1.线性系统中的阻尼正比于速度称为粘（滞）性摩擦。非线性系统的摩擦有库仑动摩擦与速度方向相反的恒定阻力。静摩擦是由静到动的最小阻力。2.影响（1）使响应过程加长，稳态误差产生。（2）小信号输入时，随动系统（小功率）低速爬升。15

五、继电器特性：1.定义：双倍非线性特点

2.影响：正确使用将改善系统性能。否则，相反。

注意：实际中可能是多种特性的组合。16§3非线性特性的描述函数法一描述函数的基本概念：

它是一种谐波分解的线性化近似的方法。1.基本原理和应用条件：

（1）满足条件a)正弦波输入，输出为同频率信号。b）输出平均值为零，不产生支流项即要求非线元件输入输出特性斜对称。c)系统线性部分有较好的低通滤波特性。

17（2）基本原理在满足上述条件下用非线性系统中元件输出的一次谐波分量去代替正弦作用下的实际输出，忽略高次谐波分量。这样就可以把非线性元件作为一个基本环节，用某描述函数代替它的传函之后，用频率特性对正弦进行分析。

2.描述函数：就是非线性元件输出的一次谐波分量与正弦输入信号的复数之比，即18

设输入输出傅氏展开

3.非线性元件输出信号的谐波分解

为非线性元件,为其描述函数

为正弦输入信号幅值。

为非线性元件输出的一次谐波分量的振幅。

为非线性元件输出的一次谐波分量的相角。19式中若非线性元件斜对称，则,一次谐波为由描述函数定义：

20

二、典型非线性元件的描述函数

对称奇函数，由描述函数定义有： 211.饱和

22由正弦波特点可只看内的变化代入（*）式23

描述函数基准值

2．死区24

253.死区+饱和区（自学）264.回环（间隙）27

复变量与频率无关285．继电器（自学）

2930三．用描述函数法分析系统的稳定性

1．稳定性分析

闭环频特:

特征方程即：31假设1.高次谐波已充分衰减，可视为复比例环节.2.系统满足描函应用条件，只与A有关.与线性系统临界点(－１，j0)相比，非线性系统临界点是的整个轨迹。假设系统线性部分为最小相位系统，作出和

曲线，之后用奈氏判据判断稳定性如下：

32

1、

如果

曲线不包围

轨迹，则系统稳定，即不会产生极限环或发散。2、若包围，则系统不稳定，即没有稳态或平衡态。3、若相交，则系统可能出现持续振荡的极限环。振荡幅值为

轨迹上交点对应的幅值

振荡频率为

轨迹上交点对应的频率

稳定极限环：在轻微干扰下，系统偏离原振荡状态后，如能收敛到原振荡状态，则该极限环称为稳定极限环。否则，发散或消失称为不稳定.33基准描函负倒数轨迹与奈氏曲线图如右时，B为不稳定（C为稳定），极限环。C点稳定持续振荡幅值为

频率

例1

分析系统状态？34解：1．画出W1(S)奈氏曲线。2．求出基准描函负倒数轨迹3．分析系统稳定性条件稳定：P持续振荡，Q发散。例2、双位炉温控制系统，τ=0.1,T=2,X=15,ΔQ0=1,试分析系统稳定工作状态。35解：

时，

时,

36③系统处于稳定持续振荡工作状态A,如右，

温度波动幅度比预设略大，这是由温度对象延迟特性引起。372、极限环的克服对继电器控制系统元素来说，极限环是正常工作状态，但对大多数非线性系统来说却都不希望其存在，应设法消除。

由描函分析可知，消除极限环，就应使系统频率特性形状不包围轨迹，这就需要对线性系统引入校正装置。通常有超前校正和速度反馈，以降低系统增益。放大系数增大，增大,若A增大ω减小,通常希望ω大一些。小结：描函法仅适用于：系统线性部分低通滤波特性且非线性元件Y=(X)对称函数特性，否则会导致判断错误。应用于：非线性系统的简谐自振荡工作状态。38§4相平面法及相平面图

它是一种求解二阶微分方程的图解法设有二阶常微分方程其解有两种表达式⑴时间响应过程形式x=F(t)它直接揭示了系统动态过程.⑵相轨迹形式,即状态变量描述形式任一动态过程都可用相应的状态变量来描述.状态变量个数等于微分方程阶数,如二阶系统两个状态变量,实际中可对应于(位移,速度),(压力,压强),(E,E程度变化率).一、相平面的基本概念391.相平面:以x和为横轴和纵轴构成的坐标平面.2.相点:相平面上任一点3.相轨迹:对二阶系统来讲，从某一初始状态出发，以时间t为参变量，便可画出一条连续变化的相轨迹。4.相轨迹特点:⑴与初始点(状态)密切相关.⑵可以不直接求出微分方程而获得系统所有运动状态.5.相轨迹判断系统稳定性40二、相平面图绘制方法1.解析法:适用于微分方程简单(二阶)或可分段线性化.41设二阶系统(*)

若令则可积,便解出相轨迹方程,并由此画出相轨迹。以t为参变量（或消去t）也能画出相轨迹。

例：如无阻尼二阶系统

只考虑暂态解故取常数0。令则

，设初始条件为整理上式并积分

当然，若能直接通过（*）式求得，再求出。42

其中当然还可解出

消去t可得上式表示一族封闭椭圆，说明:ξ=0时的状态为临界稳定，但实际中不存在，将随时间不是发散就是收敛。43例:

库仑摩擦二阶随动系统

设时

有方程

令

则上式有解

式中A,B为实常数与初始条件有关相轨迹分别为以为圆心的椭圆族.44由图可见

⑴时,系统运动停止于横轴上，如⑵若以为纵轴将变成圆族。初始点1出发,经2，3点到横轴上4点，与0点有稳态偏差.45⒉图解法之一：等斜线法它多用于解析法中求解微分方程困难的情况。由（x,y）平面上斜率其中这便是相轨迹上等斜线方程若令⑴画图原理：据不同的斜率c可画出等斜线方向场（分布）可证明不同c不相交，则对确定初始点沿等斜率切线变化规律唯一。这样便可画出相轨迹（近似）46⑵画图步骤：ii.作等斜线分布图iii.从初始点出发,沿相邻等斜线间的平均斜率依次作短直线便可画得。说明：等斜线未必都是直线，另外，为保证精度，等斜线分布要有适当密度，密度可不一样。i.求出等斜线方程47例如令48等斜线方程:

等斜线分布图.相轨迹

A点直线段交c=1.2线于B.三、相轨迹之特征⒈奇点（平衡点）：系统的速度和加速度都为零有一个不为零，系统就未达到平衡状态，将继续运动。这样的点叫普通点。

结论：

⑴奇点是非线性系统唯一可能的平衡状态。

49

⑶利用系统特征方程根确定奇点位置及特征

如二阶系统

常令解出x.i.共轭复根在s左半平面 :稳定焦点

⑵线性系统有唯一奇点零输入条件下就在原点，非线性系统奇点若在原点不确定，则相轨迹会在该点相交.50ii．共俄复根在s右半平面:不稳定焦点iii.一对负实根稳定节点，

临界稳定。iv.一对正实根

不稳定节点

51V一对共轭虚根ξ＝０——中心点等幅振荡Vi一对共轭实根（正反馈）——鞍点（不稳定）52可见，当定出奇点的特征，那么它附近导流的运动也相应确定下来。④特征区：奇点周围相轨迹具有共性的区域，共性是指普通点（描述点）在该区域内不是沿相轨迹趋于奇点（吸引）就是沿相轨迹离开奇点（发散），他们对应的区域分别称为吸引区、发散区。利用这一特征可判断系统品质。因为在奇点附近某一特征区域内画出一条相轨迹，即可知道其他初始条件下导流运况。这也为画相轨迹提供了理论依据。,例：试绘制由下列方程描述的非线性系统的相平面图。

53解：①确定奇点令

则原方程为奇点有两个②分析奇点性质

(0,0)奇点，由线性化方程为有稳定焦点（–2,0）奇点，坐标变换，令得54

在y=0,=0线性化得有s²+0.5s–2=0鞍点，不稳定阴影为稳定区

2.极限环（1）．定义：相平面中孤立，封闭相轨迹（奇线），自持振荡（稳定）。（二阶无阻尼系统就不是）环内环外两个区域内部特征相同，不可穿越。55四．非线性系统的相平面分析1．分析思路:

用若干分段线性系统近似原非线性系统，把相平面表示一个线性系统的相平面图，在分区域的边界上，把各段相轨迹衔接起来，就得到所谓的相轨迹，即代表了整个非线性系统的运行规律。每个分段线性系统都有一个奇点，若它位于本身分区域内称为奇点，否则就是虚奇点。2．分析步骤：56设有带饱和非线性的控制系统，开始处于静态，试用相平面法分析阶跃输入r(t)=R和斜坡输入r(t)=vt作用下的系统响应特性。例：a)划分线性区域。b)确定每个分区域上奇点类型。c)作出各分区域相轨迹。d)连接各分区域相轨迹构成“合成相轨迹”。57解：1.由饱和非线性特性得：区域划分

2.奇点类型：系统动态方程为：由e=r-y可得误差形式的系统方程：