自动控制理论 控制系统的数学模型23

2.3控制系统的结构图与信号流图

2/4/20231控制系统的结构图和信号流图：描述系统各元部件之间的信号传递关系的一种图形化表示，特别对于复杂控制系统的信号传递过程给出了一种直观的描述。

1、系统结构图的组成和绘制

(1)系统结构图的组成单元

A信号线

B引出点（或测量点）

C比较点（或综合点）

D方框（或环节）

下图为结构图的基本组成单元2/4/20232(2)系统结构图的绘制方法1）考虑负载效应，列写元部件传递函数，用方框表示；2）根据元部件的信号流向，用信号线依次连接方框，得方框图。例试绘制无源网络的结构图。解应用复阻抗概念，根据基尔霍夫定律写出方程(右边）：

按照上述方程可分别绘制相应元件的方框如图。然后，用信号线按信号流向依次将各方框连接起来，便得到无源网络的结构图。

2/4/20233结构图的基本概念[例2-10].求例2-6所示的速度控制系统的结构图。各部分传递函数见例2-8，罗列如下：比较环节：运放Ⅰ：运放Ⅱ：功放环节：2/4/20234

将上面几部分按照逻辑连接起来，形成下页所示的完整结构图。反馈环节：返回例2-8电动机环节：-2/4/20235在结构图中，不仅能反映系统的组成和信号流向，还能表示信号传递过程中的数学关系。系统结构图也是系统的数学模型，是复域的数学模型。结构图的基本概念-2/4/20236结构图的等效变换2、结构图的等效变换：任何复杂的系统结构图，各方框之间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。方框结构图的简化是通过移动引出点、比较点，交换比较点，进行方框运算后，将串联、并联和反馈连接的方框合并。

（1）简化的原则：

变换前后变量关系保持等效。具体为：

A、变换前后前向通路中传递函数的乘积保持不变；

B、变换前后回路中传递函数的乘积保持不变。

（2）等效变换规则2/4/20237环节的并联：反馈联接：环节的合并环节的串联：…2/4/20238比较点和引出点的移动

①比较点移动：

比较点后移比较点的移动2/4/20239比较点的移动和互换

比较点前移：2/4/202310②引出点移动：引出点后移引出的移动和互换2/4/202311比较点和引出点的移动和互换引出点前移：[注意]：相临的比较点位置可以互换；见下例2/4/202312比较点和引出点的移动和互换同一信号的引出点位置可以互换：见下例比较点和引出点在一般情况下，不能互换。2/4/202313结构图等效变换例子||例2-11[例2-11]利用结构图等效变换讨论两级RC串联电路的传递函数。[解]：不能把左图简单地看成两个RC电路的串联,有负载效应。根据电路定理，有以下式子：---2/4/202314结构图等效变换例子||例2-11总的结构图如下：为了求出总的传递函数，需要进行适当的等效变换。一个可能的变换过程如下：-----①--②2/4/202315结构图等效变换例子||例2-11--③-④2/4/202316结构图等效变换例子||例2-12[解]：结构图等效变换如下：[例2-12]系统结构图如下，求传递函数。-+相加点移动-+①2/4/202317-+②结构图等效变换例子||例2-122/4/202318例试简化系统结构图，并求系统传递函数C(s)/R(s)2/4/2023193、信号流图的组成及性质(1)信号流图的组成：由节点和支路组成的一种信号传递网络。

节点：即变量，用小圆圈表示，为流向该节点的信号的代数和。

支路：定向线段，标支路增益，相当于乘法器，表因果关系。

(2)信号流图的性质

A节点标志系统的变量；

B支路相当于乘法器；

C信号沿箭头单向传递；

D系统的信号流图不是惟一的。

下图为典型的信号流图2/4/2023203)常用术语源节点（或输入节点）：只有输出支路而没有输入支路的节点，如图中的节点X1。

阱节点（或输出节点）：只有输出支路而没有输入支路的节点，如图中的节点X5。

混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点，如图中的节点X2X3X4X5。

前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路。从源节点X1到阱节点X5，共有两条前向通路：一条是X1－＞X2－＞X3－＞X4－＞X5，其前向通路总增益P1＝abc；另一条是X1－＞X2－＞X5，其前向通路总增益P2=d。

回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路。X2－＞X3－＞X2，其回路增益L1=ae，X3－＞X4－＞X3其回路增益L2=bf；X5－＞X5的自回路，其回路增益是g。

不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路叫做不接触回路。一对X5－＞X5是和X2－＞X3－＞X2；另一对是X5－＞X5和X3－＞X4－＞X3。2/4/2023214、信号流图的绘制

1)由系统微分方程绘制信号流图

微分方程先拉氏变换，指定系统变量，按因果关系排列，连成信号流图。

例试绘制RC无源网络的信号流图。设电容初始电压为U1(0)。

解由基尔霍夫定律，列写微分方程式如下：各微分方程式进行拉氏变换，则有

2/4/202322对变量Ui(s)，Ui(s)-U0(s)，I1(s)，I2(s)，I(s)，U0(s)及U1(0)分别设置七个节点；然后，用相应增益的支路将个节点连接起来，便得到RC无源网络的信号流图。2/4/202323

(2)由系统结构图绘制信号流图

结构图上信号线变成小圆圈表示变量，方框变成增益线段（即支路），连成信号流图。

例试绘制系统结构图对应的信号流程。

解:首先，在系统结构图的信号线上，用小圆圈标注各变量对于对应的节点，如图（a）所示。其次，将各节点按原来顺序自左向右排列，连接个节点的支路与结构图中的方框相对应，便得系统的信号流图，如图（b）所示.

2/4/202324.

2/4/2023255、梅森增益公式梅森增益公式

p为从源接点到阱接点的传递函数（或总增益）；

n为从源接点到阱接点的前向通路总数；

pk为从源接点到阱接点的第条前项通路总增益；

△为流图特征式；

△k为流图余因子式；

∑La为所有单回路增益之和；

∑LbLc为每两个互不接触的单独回路的回路增益的乘积之和；∑LdLeLf为每两个互不接触的单独回路的回路增益的乘积之和；

△k等于流图特征式中除去与第k条前项通路相接触的回路增益项（包括回路增益的乘积项）以后的余项式。2/4/202326利用梅森公式求系统传递函数

例试用梅森公式求例2-14系统的传递函数C(s)/R(s)

解:由梅森公式求得系统传递函数为

2/4/202327例试求信号流图中的传递函数C(s)/R(s)

解单独回路有四个，∑La=-G1-G2-G3-G1G2

两个互不接触的回路有四组，∑LbLc=-G1G2-G1G3-G2G3-G1G2G3

三个互不接触的回路有一组，∑LdLeLf=-G1G2G32/4/202328例试求图所示系统信号流图的传递函数C(s)/R(s)解:三个单独回路，没有不接触回路，三条前向通路，

由梅森公式求得系统传递函数为

2/4/202329

例求图所示系统的传递函数C(s)/R(s)

解:有五个单独回路;没有不接触回路;有两条前项通路2/4/202330闭环系统的传递函数6闭环系统的传递函数：

图中，，为输入、输出信号，为系统的偏差，为系统的扰动量，这是不希望的输入量。由于传递函数只能处理单输入、单输出系统，因此，我们分别求 对和对的传递函数，然后叠加得出总的输出量。2/4/202331给定输入作用下的闭环系统的传递函数（1）输入信号作用下的闭环传递函数令，则有：-输出量为：上式中，称为前向通道传递函数，前向通道指从输入端到输出端沿信号传送方向的通道。前向通道和反馈通道的乘积称为开环传递函数。含义是主反馈通道断开时从输入信号到反馈信号之间的传递函数。2/4/202332又若单位反馈系统H(s)=1，则有：开环传递函数=前向通道传递函数。系统的偏差E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)就是系统误差。系统偏差传递函数：-给定输入作用下的闭环系统的传递函数2/4/202333扰动输入作用下的闭环系统的传递函数（2）扰动作用下的闭环传递函数：此时R(s)=0,结构图如下：输出对扰动的传递函数为：输出为：一般要求由扰动量产生的输出量应为零。系统的误差为-C(s),偏差E(s)=0-B(s)=-H(s)C(s)，扰动作用下偏差传递函数为：-+2/4/202334给定输入和扰动输入作用下的闭环系统的传递函数3.给定输入和扰动输入同时作用下的闭环系统根据线性迭加原理：输出：偏差：[提示]：各个传递函数都具有相同的分母，分母称为控制系统的特征表达式。2/4/202335例:试求图所示控制系统的传递函数C(s)/R(s)

解：解法1用结构图等效变换法求解，等效变换过程如后图所示

2/4/202336

2/4/202337解法2用梅逊公式求解。

系统结构图所对应的信号流图如图所示。系统有一条向前通道，其传递函数为P1=G1G2G3G4

四个回路：L1=-G3G4H4,L2=-G2G3H1,L3=-G1G2G3H2,L4=1G1G2G3G4H3

这四个回路都互相接触

△=1-(L1+L2+L3+L4),△1=1

所以，系统传递函数为2/4/202338例：系统结构图、信号流图如图所示，求传递函数C(s)/R(s)。)。解系统所对应的信号流图如图所示。

2/4/202339三个回路：L1＝G1G2，L2＝-G4，L3＝G1G4G5H1H2

△=1－（L1+L2+L3）+L1L2

=1-G1G2+G4-G1G4G5H1H2-G1G2G4

从R1(s)到C1(s)，有一条前向通路：P1=G1G2G3，△1=1+G4

从R2(s)到C2(s)，有一条前向通路：P1=G4G5G6，△1=1-G1G2

由梅逊公式，得

2/4/202340例设系统信号流图如图所示，求传递函数C(s)/R(s)解:九个回路

L1=-G2H1,L2=-G4H2,L3=-G6H3

L4=-G3G4G5H4,L5=-G1G2G3G4G5G6H5

L6=H1H4G8,L7=-G3G4G5G6G7H5

L8=-G1G6G8H5,L9=G6G7G8H1H52/4/202341所以2/4/202342例系统结构图如图所示，求出系统的闭环传递函数C(s)/R(s).解解法1采用结构化简法求解。方框图化简步骤如图所示。2/4/2023432/4/202344解法2采用梅逊公式求解。信号流图如图所示。四个回路：

L1=G3G8,L2=-G1G2G3G7,L3=-G5G6G7，L4=-G2G4G5G7

△=1-(L1+L2+L3+L4)

=1+G1G2G3G7+G2G4G5G7+G5G6G7-G3G8

一条前向通路

P1=G1G2G3G7,△1=12/4/202345例已知系统结构图如图（a）所示试求传递函数C(s)/R(s)及E(s)/R(s).2/4/2023462/4/202347例某系统结构如图所示，R(s)为输入，P(s)为扰动，C(s)为输出。试求：

（1）画出系统的信号流图

（2）用梅逊公式求其传递函数C(s)/R(s)；

（3）说明在什么条件下，输出C(s)不受扰动P(s)的影响。解（1）将图各端口信号标注出来（图（a）），然后依之画出相应的信号流图（图（b））2/4/202348（2）该系统有4条回路，2条前向通道。

2/4/202349（3）扰动P(s)到输出C(s)有2条前向通道

2/4/202350例某复合控制系统的结构图如图2.6所示，试求系统的传递函数C(s)/R(s)。

解法1用结构图等效变换方法求解。先解除交叉结构（图(a)），然后用引出点、比较点移动方法进行化简。

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