高中数学人教A版第二章平面向量平面向量应用举例 课时提升作业(二十四)

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十四)平面向量应用举例(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2023·绵阳高一检测)速度|v1|=10m/s，|v2|=12m/s，且v1与v2的夹角为60°，则合速度的大小是()A.2m/s B.10m/s C.12m/s D.2m/s【解析】选D.|v|2=|v1+v2|2=|v1|2+2v1·v2+|v2|2=100+2×10×12cos60°+144=364.所以|v|=2912.已知点A(-2，0)，B(0，0)，动点P(x，y)满足PA→·PB→+y2=1 =1=2x =-2x【解析】选D.PA→=(-2-x，-y)，PB→=(-x，-y)则PA→·所以y2=-2x.3.(2023·孝感高一检测)点O是△ABC所在平面内的一点，满足OA→·OB→=OB→·OA.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高线的交点【解析】选D.由OA→·OB→=得OA→·OB→-所以OB→·(OA→-OC所以OB→⊥CA→.同理可证OA→⊥所以OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的三条高线的交点.4.(2023·抚顺高一检测)一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为() B.2 5 7【解析】选D.因为力F是一个向量，由向量加法的平行四边形法则知F3的大小等于以F1，F2为邻边的平行四边形的对角线的长，故|F3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|·cos60°=4+16+8=28，所以|F3|=27.5.已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA→+OB()° ° ° °【解题指南】先将OA→+OB→+CO→=0变形为【解析】选A.由OA→+OB→+CO→=0得所以四边形OACB为平行四边形，如图.由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，所以∠CAO=60°，所以△ABC的内角A等于30°.二、填空题(每小题5分，共15分)6.若菱形ABCD的边长为2，则|AB→-CB【解析】|AB→-CB→+CD→|=|=|AC→+CD答案：27.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力大小是________.【解析】因为绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力都是10N.答案：10N8.(2023·大庆高一检测)向量AB→，AC→在正方形网格中的位置如图所示.设向量a=AC→-λ【解析】以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(3，2)，a=AC→-λAB→=(3，2)-λ(2，0)=(3-2λ，2)，AB→=(2，0)，因为a⊥AB答案：3三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知△ABC是直角三角形，CA=CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE=2EB.求证：AD⊥CE.【证明】以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.设AC=a，则A(a，0)，B(0，a)，D0,C(0，0)，E13因为AD→=-a,a2所以AD→·CE→=-a·13所以AD→⊥10.如图所示，已知在▱ABCD中，AB=3，AD=1，∠DAB=π3【解析】设AB→=a，AD→=b，则|a|=3，|b|=1，θ=π3所以a·b=|a||b|cosθ=32又因为AC→=a+b，DB→=所以|AC→|=AC→2=QUOTE(QUOTEa2+2a·b+b2|DB→|=DB→2=QUOTE(QUOTEa2-2a·b+b2所以AC的长为13，DB的长为7.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.若M为△ABC所在平面内一点，且满足(MB→-MC→)·(MB→A.直角三角形 B.等腰三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形【解析】选B.由(MB→-MC→)·(MB可知CB→·(AB设BC的中点为D，则AB→+AC→=2AD→，故CB又D为BC中点，故△ABC为等腰三角形.【补偿训练】△ABC的三个内角满足2B=A+C，且(AB→+AC→A.等腰直角三角形 B.非等腰直角三角形C.等边三角形 D.钝角三角形【解析】选C.由(AB→+AC→)·2.一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°方向移动了8m，已知|F1|=2N，方向为北偏东30°，|F2|=4N，方向为北偏东60°，|F3|=6N，方向为北偏西30°，则这三个力的合力所做的功为()J 23 6【解题指南】解答本题的关键是根据任意角三角函数的定义求出三个力对应向量的坐标.【解析】选D.如图，建立直角坐标系，则F1=(1，3)，F2=(23，2)，F3=(-3，33)，则F=F1+F2+F3=(23-2，2+43).又位移s=(42，42)，故合力F所做的功为W=F·s=(23-2)×42+(2+43)×42=42×63=246(J).二、填空题(每小题5分，共10分)3.在三角形ABC中，AP为BC边上的中线，|AB→|=3，AP→·【解题指南】解答本题要注意AB→+AC→=2AP→，AB→+BC【解析】因为AP为BC边上的中线，所以AB→+AC→=2AP→，所以AC→2=(AB→+BC→)2==9+(2AB→+BC→)·BC→=9+(A=9+(AB→+AC→)·BC所以AC→2=|AC→|2答案：54.(2023·聊城高一检测)若平面向量，满足||=1，||≤1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为12，则与【解析】以，为邻边的平行四边形的面积为：S=||||sinθ=||sinθ=12所以sinθ=QUOTE12|β|，又因为||≤1，所以QUOTE12|β|≥12，即sinθ≥12且θ∈[0，π]，所以θ∈π答案：π【补偿训练】已知△ABD是等边三角形，且AB→+12AD→=ACA.32 B.323 3 【解析】选B.如图所示，CD→=AD→-AC所以CD→2即3=14AD→2+AB因为|AD→|=|所以54|AD→|2-|A所以|AD又BC→=AC→-AB→=12所以|BC→|2+|CD→|2=|所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=12×22×sin60°+12×1×3=三、解答题(每小题10分，共20分)5.已知点P(-3，0)，点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满足PA→·AM→=0，【解析】设点M(x，y)为轨迹上的任意一点，设A(0，b)，Q(a，0)(a>0)，则AM→=(x，y-b)，因为AM→=-所以(x，y-b)=-32所以a=x3(x>0)，b=-y则A0,-yPA→=3,-y2因为PA→·AM→=0，所以3x-所以所求轨迹方程为y2=4x(x>0).【延伸探究】若本题其他条件不变，把AM→=-32MQ→【解析】设点M(x，y)为轨迹上的任意一点，设A(0，b)，Q(a，0)(a>0)，由AM→=所以x=a2(a>0)，y=b所以A(0，2y)，Q(2x，0)，所以PAAM因为PA→·AM所以所求的轨迹方程为y2=326.今有一小船位于宽d=60m的河边P处，从这里起，在下游l=80m处河流有一瀑布，若河水流速方向由上游指向下游(与河岸平行)，水速大小为5m/s，如图，为了使小船能安全渡河，船的划速不能小于多少