高中数学人教A版第一章三角函数 任意角的三角函数学案2

2023学年高一年级数学2023学年高一年级数学导学案（33）班级姓名学号编写：赵海通审阅：侯国会§1.2.1任意角的三角函数（2）2．了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．3．能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．学习重点：正弦、余弦、正切函数的定义域，三角函数线。学习难点：三角函数线【学法指导】1．三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具，利用三角函数线可以解或证明三角不等式，求函数的定义域及比较大小，三角函数线也是后面将要学习的三角函数的图象的作图工具．2．三角函数线是有向线段，字母顺序不能随意调换，正弦线、正切线的正向与y轴的正向相同，向上为正，向下为负；余弦线的正向与x轴的正向一致，向右为正，向左为负；当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在.一．知识导学1．三角函数的定义域正弦函数y＝sinx的定义域是__；余弦函数y＝cosx的定义域是__；正切函数y＝tanx的定义域是_______．2．三角函数线如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点．过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点．单位圆中的有向线段、、分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sinα＝，cosα＝，tanα＝.二．探究与发现【探究点一】三角函数的定义域任意角的三角函数是在坐标系中定义的，角的范围是使函数有意义的实数集．根据任意角三角函数的定义可知正弦函数y＝sinx的定义域是__；余弦函数y＝cosx的定义域是__；正切函数y＝tanx的定义域是______________．在此基础上，可以求一些简单的三角函数的定义域．例如：(1)函数y＝sinx＋tanx的定义域为________________．(2)函数y＝eq\r(sinx)的定义域为________________．(3)函数y＝lgcosx的定义域为________________．【探究点二】三角函数线的作法问题1请叙述正弦线、余弦线、正切线的作法？问题2作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线．(1)－eq\f(π,4)；(2)eq\f(17π,6)；(3)eq\f(10π,3).【探究点三】三角函数线的应用三角函数线是三角函数的几何表示，是任意角的三角函数定义的一种“形”的补充，线段的长度表示了三角函数绝对值的大小，线段的方向表示了三角函数值的正负．仔细观察单位圆中三角函数线的变化规律，回答下列问题．问题1若α为任意角，根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律可得：sinα的范围是；cosα的范围是.问题2若α为第一象限角，证明sinα＋cosα>1.问题3若α为任意角，根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律探究sin2α＋cos2α与1的关系．【典型例题】例1.在单位圆中画出满足sinα＝eq\f(1,2)的角α的终边，并求角α的取值集合．小结作已知角的正弦线、余弦线、正切线时，要确定已知角的终边，再画线，同时要分清所画线的方向，对于以后研究三角函数很有用处．跟踪训练1.根据下列三角函数值，作角α的终边，然后求角的取值集合：(1)cosα＝eq\f(1,2)；(2)tanα＝－1.例2.在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：(1)sinα≥eq\f(\r(3),2)；(2)cosα≤－eq\f(1,2).小结利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如sinx≥m或sinx≤m的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用．跟踪训练2.已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，在[0,2π)内，求α的取值范围．例3.求下列函数的定义域:f(x)＝eq\r(1－2cosx)＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(\r(2),2))).小结求三角函数定义域时，一般应转化为求不等式(组)的解的问题．利用数轴或三角函数线是解三角不等式常用的方法．解多个三角不等式时，先在单位圆中作出使每个不等式成立的角的范围，再取公共部分．跟踪训练3.求函数f(x)＝lg(3－4sin2x)的定义域．三．巩固训练课后小练1．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为()\f(π,4) \f(3π,4) \f(7π,4) \f(3π,4)或eq\f(7π,4)2．如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是()A．正弦线PM，正切线A′T′B．正弦线MP，正切线A′T′C．正弦线MP，正切线ATD．正弦线PM，正切线AT3．在[0,2π]上，满足sinx≥eq\f(1,2)的x的取值范围为 ()\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))) \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3))) \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))4．利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“>”或“<”连接)：(1)sineq\f(2,3)π________sineq\f(4,5)π；(2)coseq\f(2,3)π________coseq\f(4,5)π；(3)taneq\f(2,3)π________taneq\f(4,5)π.四．小结1．三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负．三角函数线将抽象的数