等差数列的前n项和课件 【备课精讲精研】 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

等差数列的前n项和某仓库堆放的一堆钢管，怎样计算这堆钢管的总数呢？1＋2＋31＋2＋3＋4＋51＋2＋3＋4＋5＋6计算：1＋2＋3＋…＋2034＋2035=问题1需要抽象，需要公式！已知{an}是等差数列，求数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an.运算角度：想找到一个没有…且关于n的简单的代数式！问题1记为Sn问题：求前n个正整数的和:就是毕达哥拉斯学派提出的“三角形数”.如何求呢？毕达哥拉斯（Pythagoras）约公元前580年—约前500年古希腊数学家、哲学家f(1)＝1f(2)＝3f(3)＝6f(4)＝10f(5)＝15问题1问题：求前n个正整数的和：f(n)＝1＋2＋…＋n.目标：将f(n)写成关于n的简单表达式.ssstttgggiii数学是自己思考的产物。首先要能够思考起来，用自己的见解和别人的见解交换，会有很好地效果。——陈省身探究2已知{an}是等差数列，求数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an.运算角度：归纳3f(n－1)已知{an}是等差数列，求数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an.形式角度：a1a1a2a1＋d……an-1a1＋d＋…＋dana1＋d＋…＋d＋dd＋d＋…＋d＋a1and＋…＋d＋a1an-1……d＋a1a2a1a1归纳3已知{an}是等差数列，求数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an.形式角度：结论1：a1＋an＝a2＋an-1＝…＝an＋a1；结论2：2Sn＝n(a1＋an).IIII＋IIa1a1d＋d＋…＋d＋a1ana1＋ana2a1＋dd＋…＋d＋a1an-1a2＋an-1……

………an-1a1＋d＋…＋dd＋a1a2an-1＋a2ana1＋d＋…＋d＋da1a1an＋a1SnSn2Sn你发现了什么结论呢？从而归纳3等差数列{an}的前n项和公式或(和用首项、公差、项数表示）(和用首项、末项、项数表示）归纳3应用4(和＝均值×项数）应用4和式是宽度为1的矩形面积之和.n12345678910an33.544.555.566.577.5能否联想到物理学中某种表示？应用4例2.在等差数列中，完成如下问题：(1)第1项到第3项的和为3，第4项到第6项的和为6，求第7项到第9项的和;(2)第1项到第5项的和为5，第6项到第10项的和为10，求第11项到第15项的和;(3)第1项到第4项的和为4，第5项到第8项的和为8，求第9项到第12项的和.91512你能发现什么呢？应用4猜想：已知{an}是公差为d的等差数列，Sn是其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等差数列.探索：在等差数列{an}中a1+a2+…+an，an+1+an+2+…+a2n，a2n+1+a2n+2+…+a3n，…成等差数列.成首项是

，公差是

的等差数列.Snn2d应用4发现问题提出问题分析问题解决问题升华5问题探究抽象化归建模归纳猜想倒序相加应用优化计算数据意识二次建模升华5杨辉在《详解九章算法》(1261)提出“三角垛”：下广一面十二个，上尖.问：计几何？术文说：下广加一乘之.下广加二，乘之，立高方积，如六而一.答数：364.思考：你能用今天的研究方法加以研究吗？杨辉，字谦光，汉族，南宋杰出的数学家升华5若n为偶数，则f(n)＝1＋2＋…＋(n－1)＋n

＝(1＋n)＋(2＋(n－1))＋…

＝分组配对若n为奇数，则f(n)＝f(n－1)

＋n

＝

＝几何直观n＋1列n行归纳猜想f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝6，f(4)＝10，f(5)＝15，…猜测：f(n)＝An2＋Bn＋C,解得：n12345f(n)1361015猜想正确吗？裂项相消22－12＝3，32－22＝5，…(n＋1)2－n2＝2n＋1，将这n个等式的左、右分别相加，得(n＋1)2－12＝(2×1＋1)＋(2×2＋1)＋…＋(2n＋1)，即2(1＋2＋…＋n)＋n＝n(n＋2)，