高中数学人教A版2第一章导数及其应用 第一章定积分在物理中的应用

第一章导数及其应用定积分的简单应用1.7.2定积分在物理中的应用A级基础巩固一、选择题1．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1处运动到x＝3处(单位：m)，则力F所做的功是()A．8J B．10JC．12J D．14J解析：W＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(3,1)(4x－1)dx＝(2x2－x)eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(3,1)＝14(J)．答案：D2．以初速40m/s竖直向上抛一物体，ts时刻的速度v＝40－10t2，\f(160,3)m \f(80,3)m\f(40,3)m \f(20,3)m解析：由v＝40－10t2＝0得t2＝4，t＝2.所以h＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,0)(40－10t2)dt＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(40t－\f(10,3)t3))eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(2,0)＝80－eq\f(80,3)＝eq\f(160,3)(m)．答案：A3．一物体沿直线以v＝eq\r(1＋t)m/s的速度运动，该物体运动开始后10s内所经过的路程是()\f(1,3)(11eq\s\up13(\f(2,3))－1)(m) \f(1,3)(10eq\s\up13(\f(2,3))－1)(m)\f(1,3)(11eq\s\up13(\f(3,2))－1)(m) \f(1,3)(10eq\s\up13(\f(3,2))－1)(m)解析：s＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(10,0)eq\r(1＋t)dt＝eq\f(2,3)(1＋t)eq\s\up13(\f(3,2))eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(10,0)＝eq\f(1,3)(11eq\s\up13(\f(3,2))－1)(m)．答案：C4．质点做直线运动，其速度v(t)＝t2－2t＋1(单位：m/s)，则它在第2秒内所走的路程为()\f(2,3)(m) \f(1,3)(m)\f(1,4)(m) \f(1,2)(m)解析：由于v(t)＝t2－2t＋1≥0，因此它在第2秒内所走的路程为s＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,1)v(t)dt＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,1)(t2－2t＋1)dt＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)t3－t2＋t))eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(2,1)＝eq\f(1,3)(m)．答案：B5．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋eq\f(25,1＋t)(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5 B．8＋25lneq\f(11,3)C．4＋25ln5 D．4＋50ln2解析：令7－3t＋eq\f(25,1＋t)＝0，解得t＝－eq\f(8,3)(舍去)或t＝4.则eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(4,0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7－3t＋\f(25,1＋t)))dt＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(7t－\f(3,2)t2＋25ln（1＋t）))eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(4,0)＝4＋25ln5.答案：C二、填空题6．将一弹簧压缩2厘米，需要8牛顿的力，将它从自然长度压缩10厘米，做的功为________．解析：设力F(x)＝kx，由题意：8＝k·，所以k＝400，所以F(x)＝400x.所以W＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al,0)400xdx＝200x2|eq\o\al,0)＝2(J)．答案：2J7．已知质点的速度v＝10t，则从t＝t1到t＝t2质点的平均速度为________．解析：由s＝10tdt＝5t2＝5(teq\o\al(2,2)－teq\o\al(2,1))，得平均速度为eq\o(v,\s\up13(－))＝eq\f(s,t2－t1)＝5(t2＋t1)．答案：5(t2＋t1)8．有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．则点P从原点出发，当t＝6时，点P离开原点的路程和位移分别是________，________．解析：由v(t)＝8t－2t2≥0，得0≤t≤4，即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，当t＞4时，P点向x轴负方向运动．故t＝6时，点P离开原点的路程为s＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(4,0)(8t－2t2)dt－eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(6,4)(8t－2t2)dt＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4t2－\f(2,3)t3))eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(4,0)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4t2－\f(2,3)t3))eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(6,4)＝eq\f(128,3).当t＝6时，点P的位移为s＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(6,0)(8t－2t2)dt＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4t2－\f(2,3)t3))eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(6,0)＝0.答案：eq\f(128,3)0三、解答题9．在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推到b处，计算在移动过程中，气体压力所做的功．解：力F对物体所做的功为W＝F·s，由物理学知识易得压强p与体积V的乘积是常数k，即PV＝k，又因为V＝x·s(x指活塞与底的距离)，所以p＝eq\f(k,V)＝eq\f(k,xS).所以作用在活塞上的力F＝p·S＝eq\f(k,x·s)·s＝eq\f(k,x).所以气体压力所做的功为W＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b,a)eq\f(k,x)dx＝klnx|eq\o\al(b,a)＝klneq\f(b,a).10．一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，求该物体在t＝eq\f(1,2)s到t＝6s之间的运动路程．解：由题意，得v(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2t，0≤t≤1，,2，1≤t≤3，,\f(1,3)t＋1，3≤t≤6，))所以该物体在t＝eq\f(1,2)s到t＝6s之间的运动路程为s＝v(t)dt＝2tdt＋eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(3,1)2dt＋eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(6,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)t＋1))dt＝t2＋2t|eq\o\al(3,1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)t2＋t))eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(6,3)＝eq\f(49,4)(m)．B级能力提升1．若力F和物体移动方向相同，而且与物体位置x有如下关系：F(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x|，x≤0，,x2＋1，x＞0，))那么力F使物体从x＝－1点运动到x＝1点所做的功为()A．2J\f(13,6)J\f(11,6)JD．3J解析：eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,－1)F(x)dx＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(0,－1)|x|dx＋eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)(x2＋1)dx＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(0,－1)(－x)dx＋eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)(x2＋1)dx－eq\f(1,2)x2|eq\o\al(0,－1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3＋x))eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(1,0)＝eq\f(11,6).答案：C2．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向做直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)做的功为()\r(3)J \f(2\r(3),3)J\f(4\r(3),3)J D．2eq\r(3)J解析：W＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,1)F(x)cos30°dx＝eq\f(\r(3),2)eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,1)(5－x2)dx＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x－\f(1,3)x3))eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(2,1)＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(7,3)))＝eq\f(4\r(3),3)(J)．答案：C3．物体A以速度v＝3t2＋1在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A是正前方5m以v＝10t的速度与A同向运动，问两物体何时相