高中数学高考一轮复习一轮复习 第一节 平面向量的概念及线性运算

课时作业(二十九)平面向量的概念及线性运算一、单项选择题1．下列结论正确的是()A．若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同B．在△ABC中，D是BC的中点，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))C．向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上D．若a∥b，则∃λ∈R，使a＝λbB[对于A，若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同或相反，A错误；对于B，在△ABC中，D是BC的中点，延长AD至E，使AD＝DE，连接CE，BE，则四边形ABEC是平行四边形，如图，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，B正确；对于C，向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，但A，B，C，D四点不一定在一条直线上，如平行四边形的对边是共线向量，但四点不共线，C错误；对于D，当b＝0时，满足a∥b，但不一定存在λ∈R，使a＝λb，D错误．]2.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若向量λa＋b与c共线，则实数λ＝()A．－2 B．－1C．1 D．2D由题中所给图象可得，2a＋b＝c，又c＝μ(λa＋b)，所以eq\a\vs4\al(λ)＝2，故选D.]3．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则下列一定共线的三点是()A．A，B，C B．A，B，DC．B，C，D D．A，C，DB[因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3eq\o(AB,\s\up6(→))，又eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))有公共点A，所以A，B，D三点共线．]4．设a，b是非零向量，则a＝2b是eq\f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))＝eq\f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))成立的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不心要条件B[由a＝2b可知，a，b方向相同，eq\f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))，eq\f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))表示a，b方向上的单位向量，所以eq\f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))＝eq\f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))成立；反之不成立．故选B.]5(2023·湖南省冷水江市校级期中)如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是()A．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))B．eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))C．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))D．eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0A[根据向量加法的平行四边形法则知eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，故A正确；eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))，故B错误；eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))，所以C错误；eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0，所以D错误．故选A．]6.(2023·长沙市四校模拟考试)如图，在梯形ABCD中，BC＝2AD，DE＝EC，设eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BE,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b B．eq\f(1,3)a＋eq\f(5,6)bC．eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b D．eq\f(1,2)a＋eq\f(3,4)bD[法一：如图所示，取BC的中点F，连接AF，因为BC＝2AD，所以AD＝CF，又AD∥CF，所以四边形ADCF为平行四边形，则AF∥CD，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→)).因为DE＝EC，所以eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(FA,\s\up6(→))，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BF,\s\up6(→)))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(3,4)b，故选D.法二：如图，连接BD，因为DE＝EC，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(3,4)b，故选D.]7．已知O，A，B三点不共线，点P为该平面内一点，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)，则()A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的延长线上C．点P在线段AB的反向延长线上D．点P在射线AB上D[由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)，得eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,|\o(AB,\s\up6(→))|)·eq\o(AB,\s\up6(→))，所以点P在射线AB上，故选D项．]8．已知P为△ABC内一点，且3eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，则S△PAB∶S△ABC为()A．1∶2 B．1∶3C．1∶5 D．1∶6D[法一：如图(1)，延长PA至A′，使PA′＝3PA，延长PB至B′，使PB′＝2PB，连接A′B′，A′C，B′C，则eq\o(PA′,\s\up6(→))＋eq\o(PB′,\s\up6(→))＋eq\o(PC′,\s\up6(→))＝0.∴P是△A′B′C′的重心，∴S△PA′C＝S△PB′C＝S△PA′B′，设S△PA′C＝S△PB′C＝S△PA′B′＝S.∵eq\f(S△PA′B,S△PAB)＝eq\f(\f(1,2)PA′·PB′·sin∠A′PB′,\f(1,2)PA·PB·sin∠APB)＝eq\f(PA′·PB′,PA·PB)＝6，∴S△PAB＝eq\f(1,6)S△PA′B′＝eq\f(1,6)S.同理可得S△PBC＝eq\f(1,2)S，S△PAC＝eq\f(1,3)S，∴S△ABC＝S△PAB＋S△PBC＋S△PAC＝eq\f(1,6)S＋eq\f(1,2)S＋eq\f(1,3)S＝S.∴S△PAB∶S△ABC＝eq\f(1,6)S∶S＝1∶6.故选D.法二：如图(2)，设D，E分别为AB，AC的中点．∵3eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，∴2(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))＝－(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))，故点P在DE上，则eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(PD,\s\up6(→)).∵3eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝－3(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→)))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝－3×2eq\o(PD,\s\up6(→))＝－6eq\o(PD,\s\up6(→))，∴点P到AB的距离等于点C到AB的距离的eq\f(1,6)，故S△PAB∶S△ABC＝1∶6.故选D.]二、多选项择题9．下列命题中不正确的是()A．两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同B．若非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线，则A，B，C，D四点共线C．若非零向量a与b共线，则a＝bD．四边形ABCD是平行四边形，则必有|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|ABC[对于A，相等向量的始点相同，则终点也一定相同，所以A不正确；对于B，向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线，只能说明eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))所在直线平行或在同一条直线上，所以B不正确；对于C，非零向量a与b共线，则a与b的方向相同或相反，但a与b不一定相等，所以C不正确；对于D，因为四边形ABCD是平行四边形，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|，所以D正确．故选ABC.]10．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是()A．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，则点M是边BC的中点B．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，则点M在边BC的延长线上C．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))，则点M是△ABC的重心D．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，则△MBC的面积是△ABC面积的eq\f(1,2)ACD[若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，则点M是边BC的中点，故A项正确；若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，即有eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→)).则点M在边CB的延长线上，故B项错误；若eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))，即eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝0，则点M是△ABC的重心，故C项正确；如图，eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，可得2eq\o(AM,\s\up6(→))＝2xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(AC,\s\up6(→))，设eq\o(AN,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))，则M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的eq\f(1,2)，故D项正确．故选ACD项．]11．已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，则eq\o(BD,\s\up6(→))＝()A．eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→)) B．eq\f(4,5)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))C．eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→)) D．eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→))AC[如图所示，设BC的中点为E，则eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)BA＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→)).故选AC项．]12．(2023·山东泰安期末)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，点E为BC边上一点，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，点F为边AE的中点，则()A．eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))B．eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\o(BF,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))D．eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))ABC[∵AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，∴由向量加法的三角形法则，得eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，∴A正确；∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AD,\s\up6(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→)).又点F为边AE的中点，∴eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴B正确；∵eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴C正确；∵eq\o(BF,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋AD，∴eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴D错误．故选ABC.]三、填空题13．若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))－\o(AC,\s\up6(→))))＝2，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→))))＝________．解析：因为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))－\o(AC,\s\up6(→))))＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→))))为△ABC的边BC上的高的2倍，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→))))＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)14．已知e1，e2为平面内两个不共线的向量，eq\o(MN,\s\up6(→))＝2e1－3e2，eq\o(NP,\s\up6(→))＝λe1＋6e2，若M，N，P三点共线，则λ＝________．解析：因为M，N，P三点共线，所以存在实数k使得eq\o(MN,\s\up6