高中数学苏教版1第3章空间向量与立体几何 校赛得奖

学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知a＝(1,4,3)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则x＝________，y＝________.【解析】由l1∥l2，得eq\f(1,3)＝eq\f(4,x)＝eq\f(3,y)，解得x＝12，y＝9.【答案】1292．设直线l1的方向向量为a＝(2，－1,2)，直线l2的方向向量为b＝(1,1，m)，若l1⊥l2，则m＝________.【解析】∵l1⊥l2，∴2－1＋2m＝0，∴m＝－eq\f(1,2).【答案】－eq\f(1,2)3．若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为________．【解析】因为α⊥β，那么它们的法向量也互相垂直，则有－x－2－8＝0，所以x＝－10.【答案】－104．设A是空间任意一点，n为空间任一非零向量，则适合条件eq\o(AM,\s\up8(→))·n＝0的点M的轨迹是________．【解析】eq\o(AM,\s\up8(→))·n＝0称为一个平面的向量表示式，这里考查的是基本概念．【答案】过点A且与向量n垂直的平面5．已知直线l1的方向向量为a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量为b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是________．【解析】因为|a|＝6，所以4＋16＋x2＝36，即x＝±4，当x＝4时，a＝(2,4,4)，由a·b＝0，得4＋4y＋8＝0，解得y＝－3，此时x＋y＝4－3＝1；当x＝－4时，a＝(2,4，－4)，由a·b＝0，得4＋4y－8＝0，解得y＝1，此时x＋y＝－4＋1＝－3.综上，得x＋y＝－3或x＋y＝1.【答案】－3或16．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的单位法向量坐标为________.【导学号：09390081】【解析】设单位法向量n0＝(x，y，z)，eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－1,1,0)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(－1,0,1)．由n0·eq\o(AB,\s\up8(→))＝0，且n0·eq\o(AC,\s\up8(→))＝0得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋z2＝1，,y－x＝0，,z－x＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),3)，,y＝\f(\r(3),3)，,z＝\f(\r(3),3)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(3),3)，,y＝－\f(\r(3),3)，,z＝－\f(\r(3),3).))【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))7．已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，则平面α的一个法向量是________．【解析】∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，∴eq\o(AB,\s\up8(→))＝(1，－2，－4)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(2，－4，－3)．设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，依题意，应有n·eq\o(AB,\s\up8(→))＝0，n·eq\o(AC,\s\up8(→))＝0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y－4z＝0，,2x－4y－3z＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2y，,z＝0.))令y＝1，则x＝2.∴平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)．【答案】(2,1,0)8．已知点A，B，C的坐标分别是(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若eq\o(PA,\s\up8(→))⊥eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(PA,\s\up8(→))⊥eq\o(AC,\s\up8(→))，则点P的坐标为________．【解析】∵A(0,1,0)，B(－1,0,1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，∴eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－1，－1,1)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(2,0,1)，eq\o(PA,\s\up8(→))＝(－x,1，－z)．∵eq\o(PA,\s\up8(→))⊥eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(PA,\s\up8(→))⊥eq\o(AC,\s\up8(→))，∴eq\o(PA,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－x,1，－z)·(－1，－1,1)＝0，eq\o(PA,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝(－x,1，－z)·(2,0,1)＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1－z＝0，,－2x－z＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,3)，,z＝－\f(2,3)，))∴点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0，－\f(2,3))).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0，－\f(2,3)))二、解答题9．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，证明：eq\o(DB1,\s\up8(→))是平面A1BC1的法向量．【证明】建立空间直角坐标系，如图，不妨设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，B1(1,1,1)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，于是eq\o(DB1,\s\up8(→))＝(1,1,1)，eq\o(BA1,\s\up8(→))＝(0，－1,1)，eq\o(BC1,\s\up8(→))＝(－1,0,1)，由于eq\o(DB1,\s\up8(→))·eq\o(BA1,\s\up8(→))＝－1＋1＝0，eq\o(DB1,\s\up8(→))·eq\o(BC1,\s\up8(→))＝－1＋1＝0.∴eq\o(DB1,\s\up8(→))⊥eq\o(BA1,\s\up8(→))，eq\o(DB1,\s\up8(→))⊥eq\o(BC1,\s\up8(→))，∵BA1∩BC1＝B，∴DB1⊥平面A1BC1，即eq\o(DB1,\s\up8(→))是平面A1BC1的法向量．10．已知ABCD­A1B1C1D1是长方体，建立空间直角坐标系如图3­2­＝3，BC＝4，AA1图3­2­5(1)求平面B1CD1的一个法向量；(2)设M(x，y，z)是平面B1CD1内的任意一点，求x，y，z满足的关系式．【解】(1)在题图所示的空间直角坐标系A­xyz中各点坐标为B1(3,0,2)，C(3,4,0)，D1(0,4,2)，由此得eq\o(B1C,\s\up8(→))＝(0,4，－2)，eq\o(CD1,\s\up8(→))＝(－3,0,2)，设平面B1CD1的一个法向量为a＝(x，y，z)，则a⊥eq\o(B1C,\s\up8(→))，a⊥eq\o(CD1,\s\up8(→))，从而a·eq\o(B1C,\s\up8(→))＝0，a·eq\o(CD1,\s\up8(→))＝0，所以0·x＋4·y－2·z＝0，－3·x＋0·y＋2·z＝0，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y－z＝0，,3x－2z＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(z,2)，,x＝\f(2z,3).))不妨取z＝6，则y＝3，x＝4.所以a＝(4,3,6)就是平面B1CD1的一个法向量．(2)由题意可得，eq\o(B1M,\s\up8(→))＝(x－3，y，z－2)，因为a＝(4,3,6)是平面B1CD1的一个法向量，所以a⊥eq\o(B1M,\s\up8(→))，从而a·eq\o(B1M,\s\up8(→))＝0，即4(x－3)＋3y＋6(z－2)＝0,4x＋3y＋6z＝24，所以满足题意的关系式是4x＋3y＋6z＝24.能力提升]1．若不重合的两个平面的法向量分别是a＝(3，－3，－3)，b＝(－1,1,1)，则这两个平面的位置关系是________．【解析】∵a＝(3，－3，－3)，b＝(－1,1,1)，∴a＝－3b，a∥b.∴这两个平面平行．【答案】平行2．已知平面α内有一个点A(－1,1,0)，α的一个法向量为n＝(－1,1,1)，则下列各点中，在平面α内的是________(填序号)．①(1,3,2)；②(0,0,2)；③(1,2,1)；④eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,3)，\f(2,3))).【解析】设平面α内任意点P(x，y，z)，则eq\o(AP,\s\up8(→))＝(x＋1，y－1，z)，故n·eq\o(AP,\s\up8(→))＝－x－1＋y－1＋z＝0，即x－y－z＋2＝0，把各点坐标代入检验，可知②③符合．【答案】②③3．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，若eq\o(AB,\s\up8(→))＝(2，－1，－4)，eq\o(AD,\s\up8(→))＝(4,2,0)，eq\o(AP,\s\up8(→))＝(－1,2，－1)，则给出下列结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③eq\o(AP,\s\up8(→))是平面ABCD的一个法向量；④eq\o(AP,\s\up8(→))∥eq\o(BD,\s\up8(→)).其中正确的结论是________.【导学号：09390082】【解析】eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AP,\s\up8(→))＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则eq\o(AB,\s\up8(→))⊥eq\o(AP,\s\up8(→))，即AP⊥AB；eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))＝(－1)×4＋2×2＋0＝0，则eq\o(AP,\s\up8(→))⊥eq\o(AD,\s\up8(→))，即AP⊥AD，又AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD，故eq\o(AP,\s\up8(→))是平面ABCD的一个法向量．由于eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝(2,3,4)，eq\o(AP,\s\up8(→))＝(－1,2，－1)，∴eq\f(2,－1)≠eq\f(3,2)≠eq\f(4,－1)，所以eq\o(AP,\s\up8(→))与eq\o(BD,\s\up8(→))不平行．【答案】①②③4．如图3­2­6，四棱锥P­ABCD中，PD＝AD＝DC，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，F在PB上，问F在何位置时，eq\o(PB,\s\up8(→))为平面DEF的一个法向量？图3­2­6【解】建系如图，设DA＝2，则D(0,0,0)，P(0,0,2)，C(0,2,0)．∴E(0,1,1)，∵B(2,2,0)，∴eq\o(PB,\s\up8(→))＝(2,2，－2)．设F(x，y，z)，