高中数学人教A版1相似三角形的判定及有关性质学业分层测评2

学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图1­2­16，梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC延长线上一点，AE分别交BD于G，交BC于F.下列结论：①eq\f(EC,CD)＝eq\f(EF,AF)；②eq\f(FG,AG)＝eq\f(BG,GD)；③eq\f(AE,AG)＝eq\f(BD,DG)；④eq\f(AF,CD)＝eq\f(AE,DE).其中正确的个数是()图1­2­16A．1 B．2C．3 D．4【解析】∵BC∥AD，∴eq\f(EC,CD)＝eq\f(EF,AF)，eq\f(AF,AE)＝eq\f(CD,DE)，故①④正确．∵BF∥AD，∴eq\f(FG,AG)＝eq\f(BG,GD)，故②正确．【答案】C2．如图1­2­17，E是▱ABCD的边AB延长线上的一点，且eq\f(DC,BE)＝eq\f(3,2)，则eq\f(AD,BF)＝()图1­2­17\f(3,2) \f(2,3)\f(5,2) \f(2,5)【解析】∵CD∥AB，∴eq\f(CD,BE)＝eq\f(FD,EF)＝eq\f(3,2)，又AD∥BC，∴eq\f(BF,AD)＝eq\f(EF,ED).由eq\f(FD,EF)＝eq\f(3,2)，得eq\f(FD＋EF,EF)＝eq\f(3＋2,2)，即eq\f(ED,EF)＝eq\f(5,2)，∴eq\f(AD,BF)＝eq\f(ED,EF)＝eq\f(5,2).故选C.【答案】C3．如图1­2­18，平行四边形ABCD中，N是AB延长线上一点，则eq\f(BC,BM)－eq\f(AB,BN)为()【导学号：07370009】图1­2­18\f(1,2) B．1\f(3,2) \f(2,3)【解析】∵AD∥BM，∴eq\f(AB,BN)＝eq\f(DM,MN).又∵DC∥AN，∴eq\f(DM,MN)＝eq\f(MC,BM)，∴eq\f(DM＋MN,MN)＝eq\f(MC＋BM,BM)，∴eq\f(DN,MN)＝eq\f(BC,BM)，∴eq\f(BC,BM)－eq\f(AB,BN)＝eq\f(DN,MN)－eq\f(DM,MN)＝eq\f(MN,MN)＝1.【答案】B4．如图1­2­19，AD是△ABC的中线，E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，则AF∶FD为()图1­2­19A．2∶1 B．3∶1C．4∶1 D．5∶1【解析】过D作DG∥AC交BE于G，如图，因为D是BC的中点，所以DG＝eq\f(1,2)EC，又AE＝2EC，故AF∶FD＝AE∶DG＝2EC∶eq\f(1,2)EC＝4∶1.【答案】C5．如图1­2­20，将一块边长为12的正方形纸ABCD的顶点A，折叠至边上的点E，使DE＝5，折痕为PQ，则线段PM和MQ的比是()图1­2­20A．5∶12 B．5∶13C．5∶19 D．5∶21【解析】如图，作MN∥AD交DC于点N，∴eq\f(DN,NE)＝eq\f(AM,ME).又∵AM＝ME，∴DN＝NE＝eq\f(1,2)DE＝eq\f(5,2)，∴NC＝NE＋EC＝eq\f(5,2)＋7＝eq\f(19,2).∵PD∥MN∥QC，∴eq\f(PM,MQ)＝eq\f(DN,NC)＝eq\f(\f(5,2),\f(19,2))＝eq\f(5,19).【答案】C二、填空题6．(2023·乌鲁木齐)如图1­2­21，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，AD＝CE，若AB∶AC＝3∶2，BC＝10，则DE的长为__________．图1­2­21【解析】∵DE∥BC，∴AD∶AE＝AB∶AC＝3∶2.∵AD＝CE，∴CE∶AE＝3∶2.∵AE∶AC＝2∶5，∴DE∶BC＝2∶5.∵BC＝10，∴DE∶10＝2∶5，解得DE＝4.【答案】47．如图1­2­22，已知B在AC上，D在BE上，且AB∶BC＝2∶1，ED∶DB＝2∶1，则AD∶DF＝________.图1­2­22【解析】如图，过D作DG∥AC交FC于G.则eq\f(DG,BC)＝eq\f(ED,EB)＝eq\f(2,3)，∴DG＝eq\f(2,3)BC.又BC＝eq\f(1,3)AC，∴DG＝eq\f(2,9)AC.∵DG∥AC，∴eq\f(DF,AF)＝eq\f(DG,AC)＝eq\f(2,9)，∴DF＝eq\f(2,9)AF.从而AD＝eq\f(7,9)AF，∴AD∶DF＝7∶2.【答案】7∶28．如图1­2­23，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于O，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，则EF＝________.图1­2­23【解析】∵AD∥EF∥BC，∴eq\f(EO,AD)＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(CF,CD)＝eq\f(FO,AD)，∴EO＝FO，而eq\f(EO,BC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(AB－BE,AB)，eq\f(EO,AD)＝eq\f(BE,AB)，BC＝20，AD＝12，∴eq\f(EO,20)＝1－eq\f(BE,AB)＝1－eq\f(EO,12)，∴EO＝，∴EF＝15.【答案】15三、解答题9．线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点．连接AC，BD交于点P.如图1­2­24，当OA＝OB，且D为OA中点时，求eq\f(AP,PC)的值．图1­2­24【解】过D作DE∥CO交AC于E，因为D为OA中点，所以AE＝CE＝eq\f(1,2)AC，eq\f(DE,CO)＝eq\f(1,2)，因为点C为OB中点，所以BC＝CO，eq\f(DE,BC)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(PE,PC)＝eq\f(DE,BC)＝eq\f(1,2)，所以PC＝eq\f(2,3)CE＝eq\f(1,3)AC，所以eq\f(AP,PC)＝eq\f(AC－PC,PC)＝eq\f(\f(2,3)AC,\f(1,3)AC)＝2.10．如图1­2­25，AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，连接AD，BC交于点E，EF⊥BD于F，求证：eq\f(1,AB)＋eq\f(1,CD)＝eq\f(1,EF).【导学号：07370010】图1­2­25【证明】∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，∴AB∥EF∥CD，∴eq\f(EF,AB)＝eq\f(DF,BD)，eq\f(EF,CD)＝eq\f(BF,BD)，∴eq\f(EF,AB)＋eq\f(EF,CD)＝eq\f(DF,BD)＋eq\f(BF,BD)＝eq\f(DF＋BF,BD)＝eq\f(BD,BD)＝1，∴eq\f(1,AB)＋eq\f(1,CD)＝eq\f(1,EF).[能力提升]1．如图1­2­26，已知△ABC中，AE∶EB＝1∶3，BD∶DC＝2∶1，AD与CE相交于F，则eq\f(EF,FC)＋eq\f(AF,FD)的值为()图1­2­26\f(1,2) B．1\f(3,2) D．2【解析】过点D作DG∥AB交EC于点G，则eq\f(DG,BE)＝eq\f(CD,BC)＝eq\f(CG,EC)＝eq\f(1,3).而eq\f(AE,BE)＝eq\f(1,3)，即eq\f(AE,BE)＝eq\f(DG,BE)，所以AE＝DG，从而有AF＝FD，EF＝FG＝CG，故eq\f(EF,FC)＋eq\f(AF,FD)＝eq\f(EF,2EF)＋eq\f(AF,AF)＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).【答案】C2．如图1­2­27，已知P，Q分别在BC和AC上，eq\f(BP,CP)＝eq\f(2,5)，eq\f(CQ,QA)＝eq\f(3,4)，则eq\f(AR,RP)＝ ()图1­2­27A．3∶14 B．14∶3C．17∶3 D．17∶14【解析】过点P作PM∥AC，交BQ于M，则eq\f(AR,RP)＝eq\f(AQ,PM).∵PM∥AC且eq\f(BP,CP)＝eq\f(2,5)，∴eq\f(QC,PM)＝eq\f(BC,BP)＝eq\f(7,2).又∵eq\f(CQ,QA)＝eq\f(3,4)，∴eq\f(AQ,PM)＝eq\f(QC,PM)·eq\f(AQ,QC)＝eq\f(7,2)×eq\f(4,3)＝eq\f(14,3)，即eq\f(AR,RP)＝eq\f(14,3).【答案】B3.如图1­2­28所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝，F分别为AD，BC上点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为__________．图1­2­28【解析】如图，延长AD，BC交于点O，作OH⊥AB于点H.∴eq\f(x,x＋h1)＝eq\f(2,3)，得x＝2h1，eq\f(x＋h1,x＋h1＋h2)＝eq\f(3,4)，得h1＝h2.∴S梯形ABFE＝eq\f(1,2)×(3＋4)×h2＝eq\f(7,2)h1，S梯形EFCD＝eq\f(1,2)×(2＋3)×h1＝eq\f(5,2)h1，∴S梯形ABFE∶S