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文档简介

习题课1.定积分的应用几何方面:面积、体积、弧长、表面积.物理方面:质量、作功、侧压力、引力、2.基本方法:微元分析法微元形状:条、段、带、片、扇、环、壳等.转动惯量.机动目录上页下页返回结束定积分的应用第六章元素法理论依据名称释译所求量的特点解题步骤定积分应用中的常用公式一、主要内容1、元素法理论依据2、名称释译3、所求量的特点4、解题步骤5、定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积直角坐标情形参数方程所表示的函数如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积极坐标情形(2)体积xyo平行截面面积为已知的立体的体积(3)平面曲线的弧长A．曲线弧为弧长B．曲线弧为弧长C．曲线弧为弧长(4)旋转体的侧面积xyo例1.

求在区间上由曲线之间所围成的图形的面积。例3.求由曲线所围成的平面图形的面积。xyoxyo观察下列图形，选择合适的积分变量求其面积：考虑选择x为积分变量，如何分析面积表达式？xyoxyo观察下列图形，选择合适的积分变量：考虑选择y为积分变量，如何分析面积表达式？例

由1、求其所围成的图形的面积.所围的平面图形如图所示0xy1解1、2、解两曲线的交点选为积分变量于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式．问题：积分变量只能选吗？例1.

求抛物线在(0,1)内的一条切线,使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解:

设抛物线上切点为则该点处的切线方程为它与x,y

轴的交点分别为所指面积机动目录上页下页返回结束且为最小点.故所求切线为得[0,1]上的唯一驻点机动目录上页下页返回结束例2.

设非负函数曲线与直线及坐标轴所围图形(1)求函数(2)

a

为何值时,所围图形绕x

轴一周所得旋转体解:(1)由方程得面积为2,体积最小?即故得机动目录上页下页返回结束又(2)旋转体体积又为唯一极小点,因此时V

取最小值.机动目录上页下页返回结束例3.

证明曲边扇形绕极轴证:

先求上微曲边扇形绕极轴旋转而成的体积体积微元故旋转而成的体积为机动目录上页下页返回结束故所求旋转体体积为例4.求由与所围区域绕旋转所得旋转体体积.解:

曲线与直线的交点坐标为曲线上任一点到直线的距离为则机动目录上页下页返回结束解解01x

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