集合的概念及其基本运算

1

1.集合元素的三个特征：

、

、

.

2.元素与集合的关系是

或

关系，用符号

或

表示.3.集合的表示法：

、

、图示法、区间法.4.常用数集：自然数集

；正整数集

（或

）；整数集

；有理数集

；实数集

.要点梳理确定性互异性无序性属于不属于列举法描述法第一章集合与简易逻辑§1.1集合的概念及其基本运算N+QNZRZ*25.集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为

、

、

.6.子集、真子集及其性质对任意的x∈A，都有x∈B，则A

B（或B

A）.

若A

B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x

A

，则

A

B（或B

A）.

若A含有n个元素，则A的子集有

个，A

的非空子集有

,A的非空真子集有

个.7.集合相等若A

B且B

A，则A=B.有限集无限集空集2n2n-12n-238.集合的并、交、补运算并集:A∪B={x|x∈A,或x∈B}；交集:A∩B={x|x∈A,且x∈B}；补集:

UA={x|x∈U,且xA}.

U为全集，UA表示A相对于全集U

的补集.9.集合的运算性质并集的性质：

A=A；AA=A；AB=BA；

AB=ABA.

交集的性质：

A=

；AA=A；AB=BA；AB=AAB.

补集的性质：

A∪(UA)=U；A∩(UA)=

；U(

UA)=A；

U(A∩B)=(UA)∪(UB)；U(A∪B)=(UA)∩(UB)41.（2008·山东理，1）满足M{a1，a2，a3，a4}，且M

∩{a1，a2，a3}={a1，a2}的集合M的个数是（）

A.1B.2C.3

D.4

解析

由题意知a1,a2必属于M,a3M,a4不一定,故选B.

2.（2009·成都市第一次诊断性检测）设集合A=｛x│-1＜

x≤2,x∈N｝，则A∪B等于 （）

A.｛1，2，3｝B.｛0，1，2，3｝

C.｛2｝D.｛-1，0，1，2，3｝基础自测BB53.设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，|a-5|}，M

U,

UM

={5，7}，则a的值为（）

A.2或-8B.-8或-2

C.-2或8

D.2或8

解析

∵UM={5，7}，∴M={1，3}，∴|a-5|=3，∴a=8或a=2.4.（2008·四川理，1）设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，

2，3}，B={2，3，4}，则U(A∩B)等于（）

A.{2，3}B.{1，4，5}C.{4，5}D.{1，5}

解析

∵A={1，2，3}，B={2，3，4}，∴A∩B={2，3}.

又U={1，2，3，4，5}，∴U(A∩B）={1，4，5}.DB65.设U为全集，非空集合A、B满足AB，则下列集合为空集的是（）

A.A∩B

B.A∩(UB)

C.B∩(UA)D.(UA)∩(UB)

解析

画出满足条件的Venn图，如图，由图可知A∩(UB)=.B7

若a，b∈R，集合{1,a+b，a}={0，，b}，求b-a的值.【思维启迪】由{1,a+b,a}={0,,b}可知，a≠0,因此只能a+b=0，然后利用两集合相等的条件列出方程组，分别求出a

、b的值即可.

解

由{1,a+b,a}={0,,b}可知a≠0,

则只能a+b=0,则有以下对应关系： ①或 ②由①得符合题意；②无解.

所以b-a=2.题型一集合概念8探究拓展

（1）解决该类问题的基本方法为：利用集合中元素的特点，列出方程组求解.但解出后应注意检验，看所得结果是否符合元素的互异性.（2）解决此类问题还可以根据两集合中元素的和相等、元素的积相等，列方程求解，但仍然要检验.9

已知集合A={x|0＜ax+1≤5},集合B={x|-＜x≤2}.

(1)若AB，求实数a的取值范围；

(2)若BA，求实数a的取值范围；

(3)A、B能否相等？若能,求出a的值；若不能，试说明理由.【思维启迪】利用数轴作工具，使问题得到解决.题型二集合与集合的关系10解

A中不等式的解集应分三种情况讨论：①若a=0，则A=R；②若a＜0，则A={x|≤x＜-};③若a＞0,则A={x|-＜x≤}.（1）当a=0时，若AB，此种情况不存在.当a＜0时，若AB，如图,11则∴

∴a＜-8.当a>0时，若AB，如图,12∴a≥2.综上知，此时a的取值范围是a＜-8或a≥2.（2）当a=0时，显然BA；当a＜0时，若BA，如图,则

∴-＜a＜0；当a>0时，若B

A，如图,13（3）当且仅当A、B两个集合互相包含时，A=B.

由（1）、（2）知，a=2.14探究拓展

在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式（或方程）时，要对参数进行讨论.分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答.分类讨论的一般步骤：①确定标准；②恰当分类；③逐类讨论；④归纳结论.15

（12分）设集合A={x|x2-3x+2=0},

B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}.(1)若A∩B={2},求实数a的值;(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围;(3)若U=R,A∩(UB)=A,求实数a的取值范围.【思维启迪】对于含参数的集合的运算,首先解出不含参数的集合,而后根据已知条件求参数.题型三集合的基本运算16解

由x2-3x+2=0得x=1或x=2，故集合A={1,2}.(1)∵A∩B={2},∴2∈B,代入B中的方程,得a2+4a+3=0，∴a=-1或a=-3.1分当a=-1时,B={x|x2-4=0}={-2,2},满足条件;当a=-3时,B={x|x2-4x+4=0}={2},满足条件;综上,a的值为-1或-3.3分17(2)对于集合B,Δ=4（a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).∵A∪B=A,∴BA,

①当Δ＜0,即a＜-3时,B=，满足条件;②当Δ=0,即a=-3时,B={2},满足条件;③当Δ＞0,即a＞-3时,B=A={1,2}才能满足条件,5分则由根与系数的关系得综上,a的取值范围是a≤-3.

7分18(3)∵A∩(UB)=A,∴A

UB,∴A∩B=.8分①若B=,则Δ＜0a＜-3适合;②若B≠,则a=-3时,B={2},A∩B={2},不合题意;a＞-3,此时需1B且2B.将2代入B的方程得a=-1或a=-3(舍去);将1代入B的方程得a2+2a-2=0a=-1±

.∴a≠-1且a≠-3且a≠-1±.

11分综上,a的取值范围是a＜-3或-3＜a＜-1-或-1-＜a＜-1或-1＜a＜-1+或a＞-1+

.12分探究拓展

解决含参数问题的集合运算,首先要理清题目要求,看清集合间存在的相互关系,注意分类讨论、数形结合思想的应用,还要注意空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系，在解题中漏掉它极易导致错解.19

若集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与(A2,A1）为集合A的同一种分拆，则集合

A={1，2，3}的不同分拆种数是（）

A.27B.26C.9D.8【思维启迪】所谓“分拆”不过是并集的另一种说法，关键是要分类准确. 题型四关于集合的“新定义型”问题A20解析

①A1=时，A2={1，2，3}，只有一种分拆；②A1是单元素集时（有3种可能），则A2必须至少包含除该元素之外的两个元素，也可能包含3个元素，有两类情况（如A1={1}时，A2={2，3}或A2={1，2，3}），这样A1是单元素集时的分拆有6种；③A1是两个元素的集合时（有3种可能），则A2必须至少包含除这两个元素之外的另一个元素，还可能包含A1中的1个或2个元素（如A1={1，2}时，A2={3}或A2={1，3}或A2={2，3}或A2={1，2，3}），这样A1

是两个元素的集合时的分拆有12种；④A1是三个元素的集合时（只有1种），则A2可能包含0，1，2或3个元素（即A1={1，2，3}时，A2可以是集合{1，2，3}的任意一个子集），这样A1={1，2，3}时的分拆有23=8种.所以集合A={1，2，3}的不同分拆的种数是1+6+12+8=27.21探究拓展

解此类问题的关键是理解并掌握题目给出的新定义（或新运算）.思路是找到与此新知识有关的所学知识帮助理解.同时，找出新知识与所学相关知识的不同之处，通过对比加深对新知识的认识.22

方法与技巧1.解题时要特别关注集合元素的三个特性，特别是互异性，要进行解题后的检验.注意将数学语言与集合语言进行相互转化.2.空集在解题时有特殊地位,它是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏掉.3.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.

23

失误与防范1.解答集合题目,认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.2.韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.3.要注意AB、A∩B=A、A∪B=B、UA

UB、A∩(UB)=

这五个关系式的等价性.241.设含有三个实数的集合可表示为{a,a+d,a+2d},也可表示为

{a,aq,aq2}，其中a、d、q∈R,求常数q.

解

依元素的互异性可知，a≠0，d≠0,q≠0,q≠±1.

由两集合相等，有（1）或由（1）得a+2a(q-1)=aq2,∵a≠0,∴q2-2q+1=0,∴q=1(舍去).

由(2)得a+2a(q2-1)=aq,∵a≠0,∴2q2-q-1=0,∴q=1或q=-∵q≠1,∴q=-.综上所述,q=-.252.（1）若集合P={x|x2+x-6=0}，S={x|ax+1=0}，且SP，求a的可取值组成的集合；

(2)若集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，且B

A，求由m的可取值组成的集合.

解

（1）P={-3，2}.当a=0时，S=，满足SP；

当a≠0时，方程ax+1=0的解为x=-，为满足SP，可使-=-3或-=2，即a=或a=-

故所求集合为{0，，-}.26（2）当m+1＞2m-1，即m＜2时，B=，满足BA；若B≠，且满足BA，如图所示,则即∴2≤m≤3.综上所述，m的取值范围为m<2或2≤m≤3，即所求集合为{m|m≤3}.273.

已知集合A={x|x2+(2+a)x+1=0，x∈R

}，B={x∈R|x＞0},

试问是否存在实数a,使得A∩B=？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.

解方法一

假设存在实数a满足条件A∩B=，则有（1）当A≠时，由A∩B=、B={x∈R|x＞0},

知集合A中的元素为非正数.

设方程x2+(2+a)x+1=0的两根为x1,x2，则由根与系数的关系，得

解得a≥0;

（2）当A=时，则有Δ=(2+a)2-4＜0,

解得-4＜a＜0.

综上(1)、(2)，知存在满足条件A∩B=的实数a,其取值范围是（-4,+∞）.28方法二

假设存在实数a满足条件A∩B≠,则方程x2+(2+a)x+1=0的两实数根x1,x2至少有一个为正，因为x1·x2=1＞0,所以两根x1,x2均为正数.则由根与系数的关系，得解得即a≤-4.又∵集合{a|a≤-4}的补集为{a|a＞-4},∴存在满足条件A∩B=的实数a,其取值范围是（-4,+∞）.294.设集合S={A0,A1,A2,A3}，在S上定义运算为：AiAj=Ak,

其中k为i+j被4除的余数,i,j=0,1,2,3，则满足关系式

(x

x)A2=A0的x（x∈S）的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

解析

验证法：（A0A0）A2=A0

A2=A2≠A0，∴A0不满足关系式；（A1

A1）

A2=A2

A2=A0，∴A1符合关系式；（A2

A）A2=A0

A2=A2≠A0,∴A2不满足关系式；（A3

A3）A2=A2

A2=A0，∴A3符合关系式.B301.(2008·江苏理，2)定义集合运算:A*B=｛z│z=xy,x∈A,

y∈B｝.设A=｛1，2｝，B=｛0，2｝，则集合A*B的所有元素之和为 （）

A.0 B.2 C.3 D.6

解析

∵z=x·y,x∈A,y∈B,∴z的取值有1×0=0，1×2=2，2×0=0，2×2=4，故A*B=｛0，2，4｝.

∴集合A*B的所有元素之和为：0+2+4=6.2.（2009·武汉武昌区调研测试)设集合

则（）

A.M∩N=MB.M∩N=NC.M∩N=D.M

N=MDA313.C4.(2008·安徽理，2)集合A={y∈R|y=lgx，x＞1}，B={-2，

-1

，1，2}，则下列结论中正确的是（）

A.A∩B={-2，-1}B.（RA）∪B=（-∞，0）