复变函数与积分变换级数和序列的基本性质

第四章级数§1级数和序列的基本性质学习要点掌握复数项级数和复变函数项级数的概念和性质1.复数列一、复数列和复数项级数定理12.复数项级数定理2复数项级数收敛的充要条件定理3复数项级数收敛的必要条件复数项级数收敛的条件3.绝对收敛与条件收敛定理5定理4柯西乘积练习设{fn(n)}(n=1,2,…),在复平面点集E上有定义，那么：是定义在点集E上的复变函数项级数，记为设函数f(z)在E上有定义，如果在E上每一点z，此级数都收敛于f(z)，那么我们说它在E上收敛(于f(z))，或者此级数在E上有和函数f(z)，记作二、复变函数项级数和复变函数序列设是E上的复变函数列，记作注解1注解2一致收敛如果任给，可以找到一个只与有关，而与z无关的正整数，使得当时，有或那么我们说级数或序列在E上一致收敛（于f(z)或）。2.基本理论

注解：注解1、和实变函数项级数和序列一样，我们也有相应的柯西一致收敛原理：柯西一致收敛原理（复变函数项级数）：复变函数项级数在E上一致收敛的必要与充分条件是：任给，可以找到一个只与有关，而与z无关的正整数，使得当，p=1,2,3,…时，有柯西一致收敛原理（复变函数序列）：复变函数序列{fn(n)}在E上一致收敛必要与充分条件是：任给，可以找到一个只与有关，而与z无关的正整数，使得当时，有注解：注解：注解2、一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法（M-判别法）：设在复平面点集E上有定义，并且设是一个收敛的正项级数。设在E上，那么级数在E上一致收敛。定理1、2：定理2.1设复平面点集E表示区域、闭区域或简单曲线。设在集E上{fn(n)}(n=1,2,…),连续，并且级数或序列在E上一致收敛于f(z)或，那么f(z)或在E上连续。定理2.2设在简单曲线C上{fn(n)}(n=1,2,…),连续，并且级数或序列{fn(n)}在C上一致收敛于f(z)或，那么或注解：注解1、在研究复变函数项级数和序列的逐项求导的问题时，我们一般考虑解析函数项级数和序列；注解2、我们主要用莫勒拉定理及柯西公式来研究和函数与极限函数的解析性及其导数。内闭一致收敛：设函数序列在复平面C上的区域D内解析。如果级数序列{fn(n)}在D内任一有界闭区域（或在一个紧集）上一致收敛于f(z)或，那么我们说此级数或序列在D中内闭（或内紧）一致收敛于f(z)或。定理3：定理2.3（魏尔斯特拉斯定理）设函数

在区域D内解析，并且级数或序列{fn(n)}在D内闭一致收敛于函数f(z)或，那么f(z)或

在区域D内解析，并且在D内

或

定理3的证明（级数）：证明：先证明f(z)在D内任一点z0解析，取z0的一个邻域U，使其包含在D内，在U内作一条简单闭曲线C。由定理2.2以及柯西定理因为根据莫勒拉定理，可见f(z)在U内解析。再由于z0是D内任意一点，因此f(z)在D内解析。其次，设U的边界即圆K也在D内，于是定理3的证明（级数）：对于一致收敛于。由定理2.2，我们有也就是因此，定理中关于级数的部分证明结束。定理3的证明（序列）：对于序列，我们也先证明在D内任一点z0取它的一个邻域U，使其包含在D内，在U内作一条简单闭曲线C。由定理2.2以及柯西定理因为根据莫勒拉定理，可见在U内解析。再由于z0是D内任意一点，因此在D内解析。其次，设U的边界即圆K也在D内，于是定理3的证明：对于一致收敛于。由定理2.2，我们有也就是因此，定理中关于序列的部分证明结束。3.幂级数其中a0,a1,a2,…,z0都是复常数.1.阿贝尔(Abel)定理三、幂级数的敛散性质收敛发散证明322.收敛圆和收敛半径对一个幂级数来说,它的收敛情况不外乎三种:对所有的正实数都是收敛的.这时,根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.2)对所有的正实数除z=0外都是发散的.

这时,级数在复平面内除原点外处处发散.收敛半径收敛圆周