经典控制理论-第四章1

第四章线性系统的根轨迹法

主要内容重点

掌握系统根轨迹所揭示出的系统零、极点对系统性能的影响，熟练掌握系统根轨迹图的作图步骤，会根据系统的根轨迹图分析系统的性质。根轨迹的基本概念、绘制系统根轨迹的基本规则,参数根轨迹和零度根轨迹的概念和绘制方法，以及如何利用根轨迹分析计算控制系统的性能（稳定性、暂态特性和稳态性能指标等）。特征方程的根运动模态系统动态响应（稳定性、系统性能）

4-1

根轨迹法的基本概念4.1.1根轨迹

开环系统（传递函数）的某一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程根在s平面上的轨迹称为根轨迹。若闭环系统不存在零点与极点相消，闭环特征方程的根与闭环传递函数的极点是一一对应的。注意：K一变，一组根变；K一停，一组根停；一组根对应同一个K；根轨迹概念

-2-10jks(0.5s+1)K:0~∞特征方程：S2+2s+2k=0特征根：s1,2=－1±√1－2kk=0时，s1=0,s2=－20＜k＜0.5时，两个负实根；若s1=－0.25,s2=?k=0.5时，s1=s2=－10.5＜k＜∞时，s1,2=－1±j√2k－1系统的特征方程为：可解出特征方程式的特征根，这些根与阻尼比以及

有关，这些根也是闭环的极点。对于不同的

，有七种情况，这七种情况在s平面上分别为：

对于高阶系统，不能用特征方程求根的解析方法得到根轨迹。根轨迹法图解法求根轨迹。从开环传递函数着手，通过图解法来求闭环系统根轨迹。GHG(s)=

KG*∏(s-piqi=1);∏(s-zifi=1)H(s)=KH*∏(s-pjhj=1)j=1∏(s-zjl)Φ(s)=∏(s-piqi=1)hj=1∏(s-pj)∏(s-zifi=1)+kG*kH*∏(s-zjl)j=1∏(s-zifi=1)∏(s-pjhj=1)*KG闭环零极点与开环零极点的关系根轨迹方程特征方程1+GH=01+K*=0j=1m∏spi(-)pi开环极点“×”,也是常数！开环零点“○”,是常数！Zji=1n∏根轨迹增益K*，不是定数，从0~∞变化这种形式的特征方程就是根轨迹方程szj(-)根轨迹的模值条件与相角条件j=1mn1+K*=0∏∏((ss--zjpi))i=1-1∑∠(s-zj)－∑∠(s-pj)=(2k+1)π

k=0,±1,

±2,…j=1i=1mnj=1mnK*=1∏∏︱ss--zjpi︱︱︱i=1K*=mnj=1∏︱s-zj︱∏s-pi︱︱i=1相角条件:模值条件:绘制根轨迹的充要条件

确定根轨迹上某点对应的K*值4-2根轨迹绘制的基本法则规则1：根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。简要证明：又从在实际系统通常是，则还有条根轨迹终止于s平面的无穷远处，这意味着在无穷远处有个无限远（无穷）零点。有两个无穷远处的终点有一个无穷远处的起点规则2：根轨迹的分支数、对称性和连续性根轨迹的分支数与开环极点数n相等（n>m）或与开环有限零点数m相等（n<m)根轨迹连续：根轨迹增益是连续变化导致特征根也连续变化。实轴对称：特征方程的系数为实数，特征根必为实数或共轭复数。规则3：根轨迹渐近线当n>m时，则有（n-m)条根轨迹分支终止于无限零点。这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和交点来确定。与实轴夹角与实轴交点例4.1设单位反馈系统的前向传递函数为（2）有4条根轨迹的分支，对称于实轴（1）（3）有n-m=4-1=3条根轨迹渐近线与实轴夹角与实轴交点规则4：实轴上的根轨迹若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边（开环实数零点数+开环实数极点数）为奇数。这个结论可以用相角条件证明。由相角条件这个规则用相角条件可以证明。考虑实轴上的某一试验点s0（见图4-4），任一对共轭开环零点或共轭极点（如p2,p3）对应的相角（如θ2,θ3）之和均为3600，也就是说任一对共轭开环零、极点不影响实轴上试验点s0的相角条件。再看实轴上的开环零、极点，对试验点s0，其左边实轴上任一开环零、极点对应的相角（如θ4,φ3）均为0，其右边实轴上任一开环零、极点对应的相角（如θ1,φ1,φ2）均为1800。所以要满足相角条件，s0右边实轴上的开环零、极点总数必须是奇数。规则5：根轨迹分离点两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点称为分离点（会合点）。分离点（会合点）的坐标d由下列方程所决定：或注：（1）根轨迹出现分离点说明对应是特征根出现了重根。（2）若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点（包括无限零点）或开环极点（包括无限极点），则在此段根轨迹上必有分离点。（3）分离点若在复平面上，则一定是成对出现的。例4.2绘制图示系统大致的根轨迹解（1）开环零点开环极点根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。（2）实轴上根轨迹（3）趋向无穷远处的渐近线的夹角与交点（4）分离点（用试探法求解）例4.3：设单位反馈系统的传递函数为试绘制系统的根轨迹。解（1）一个开环零点，两个开环极点；两条根轨迹分支；有一个无穷远处的零点。（2）渐近线与实轴重合的，实轴上根轨迹（-，-2]。（3）分离点（4）由相角条件可以证明复平面上的根轨迹是圆的一部分，圆心为（-2，j0)，半径为规则6：根轨迹的起始角（出射角）和终止角（入射角）起始角（出射角）：根轨迹离开复平面上开环极点处的切线与实轴的夹角。终止角（入射角）：根轨迹进入复平面上开环零点处的切线与实轴的夹角。例规则7：根轨迹与虚轴的交点交点对应的根轨迹增益和角频率可以用劳斯判据或闭环特征方程（）确定。例。设系统开环传递函数试绘制系统大致的根轨迹。解（1）无开环零点，开环极点在实轴上根轨迹[-3，0]。（2）有4条分支趋向无穷远处。渐近线的夹角与交点（3）分离点（4）起始角（出射角）（5）与虚轴的交点运用劳斯判据由第一列、第三行元素为零由辅助方程规则8：闭环极点之和与根轨迹分支的走向结论：若n-m2闭环极点之和=开环极点之和=常数表明：开环增益K增大时，若某些根轨迹分支（闭环极点）向左移动，而另一些根轨迹分支（闭环极点）必须向右移动，才能维持闭环极点之和为常数。

绘制根轨迹的基本法则1根轨迹的条数2根轨迹对称于轴实就是特征根的个数3根轨迹起始于,终止于j=1mnK*=1∏∏︱ss--zjpi︱︱︱i=1j=1mn=∏∏︱ss--zjpi︱︱︱i=11K*开环极点开环零点(n≠m?)举例()∞()∞4∣n-m∣条渐近线对称于实轴,均起于σa

点,方向由φa确定:∑pi-∑zj∣n-m∣i=1j=1nmσa=φa=(2k+1)πn-mk=0,1,2,…5实轴上的根轨迹6根轨迹的会合与分离1说明什么2d的推导3分离角定义实轴上某段右侧零、极点个数之和为奇数，则该段是根轨迹j=1m∑i=1n∑d-pi11d-zj=k=0,1,2,…λL=(2k+1)πL,无零点时右边为零L为来会合的根轨迹条数7与虚轴的交点可由劳斯表求出或令s=jω解出8起始角与终止角-1-2108.5°90°59°37°19°56.5°90°121°153°199°63.5°117°-2闭环极点的确定对于特定K*值下的闭环极点，可用模值条件确定。根轨迹示例1j0j0j0j0j0j00j0j0jj00j同学们，头昏了吧？根轨迹示例2j0j0j00jj0j0j0j00jj00jj0n=1;d=conv([120],[122]);rlocus(n,d)n=[12];d=conv([125],[[1610]);rlocus(n,d)自动控制系统的根轨迹

二阶系统

设二阶系统的结构图如上所示。它的开环传递函数为

（1）有二个开环极点（起点），。（2）有二个开环无限零点（终点），故二条根轨迹都将延伸到无限远。（3）由上节法则可知，在0和间必有根轨迹。（4）计算根轨迹的分离点由此得分离点5）根轨迹的渐近线倾角计算，得

渐近线交点计算得它和根轨迹的分离点重合。根据以上分析计算结果，可作二阶系统的根轨迹如图所示。开环具有零点的二阶系统

二阶系统增加一个零点时，系统结构图如图所示，它的开环传递函数为开环具有零点的二阶系统的根轨迹如图三阶系统二阶系统附加一个极点的系统的结构图如下所示。它的开环传递函数为三阶系统的如图根轨迹

二阶系统中增加一个极点，一个零点后系统的结构图如下所示，它的开环传递函数为

开环具有零点的三阶系统开环具有零点的三阶系统的根轨迹如图具有复数极点的四阶系统结构图如下所示。它的开环传递函数为具有复数极点的四阶系统的根轨迹如图4-3广义根轨迹广义根轨迹是指根轨迹参数除了开环增益之外的所有根轨迹。包括参数根轨迹，开环零点个数大于开环极点个数的根轨迹，具有正反馈内环的零度根轨迹等。参数根轨迹以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹引入等效开环传递函数的概念，将特征方程进行等效变换等效开环传递函数其中，开环增益可自行选定。试分析时间常数对系统性能的影响。注意：等效意义是在特征方程相同，或者是闭环极点相同的前提下成立；而此时闭环零点是不同的。例：设单位反馈系统的开环传递函数为解：闭环特征方程要绘制参数根轨迹，首先要求出等效开环传递函数的极点等效开环极点等效开环零点注：若分母多项式为高次时，无法解析求解等效开环极点，则运用根轨迹法求解。此时可设如本例，求解分母特征根的根轨迹方程为：K可自行选定，选定不同K值，然后将G1(s)H1(s)的零、极点画在s平面上，再令绘制出变化时的参数根轨迹。

增加开环零点将引起系统根轨迹形状的变化，因而影响了闭环系统的稳定性及其瞬态响应性能，下面以三阶系统为例来说明。设系统的开环传递函数为如果在系统中增加一个开环零点，系统的开环传递函数变为下面来研究开环零点在下列三种情况下系统的根轨迹。1.，设则相应系统的根轨迹如图b)所示。由于增加一个开环零点，根轨迹相应发生变化。

从根轨迹形状变化看，系统性能的改善不显著，当系统增益超过临界值时，系统仍将变得不稳定，但临界开环放大系数和临界频率都有所提高。

2.，设相应的根轨迹如图c）所示

此时系统的开环增益取任何值时系统都将稳定。闭环系统有三个极点，如设计得合适，系统将有两个共轭复数极点和一个实数极点，并且共轭复数极点距虚轴较近，即为共轭复数主导极点。在这种情况下，系统可近似看成一个二阶欠阻尼比系统来进行分析。3.，设相应系统根轨迹如图d）所示。在此情况下，闭环复数极点距离轴较远，而实数极点却距离轴较近，这说明系统将有较低的瞬态响应速度。

从以上三种情况来看，一般第二种情况比较理想，这时系统具有一对共轭复数主导极点，其瞬态响应性能指标也比较满意。可见，增加开环零点将使系统的根轨迹向左弯曲，并在趋向于附加零点的方向发生变形。如果设计得当，控制系统的稳定性和瞬态响应性能指标均可得到显著改善。在随动系统中串联超前网络校正，在过程控制系统中引入比例微分调节，即属于此种情况。附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外，还可以改善系统的动态性能。结论：只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同时得到明显的改善。零度根轨迹非最小相位系统：s右半平面具有开环零、极点的系统。此时相角条件为两方面：s的最高次幂的系数为负；系统中包含了正反馈内回路，有时为了分析内回路的特性，则有必要绘制相应的根轨迹，其相角条件为具有这类相角条件的根轨迹称为：零度根轨迹零度根轨迹的绘制以具有正反馈内回路的的系统为例。具有正反馈内回路系统如图所示，外回路是采用负反馈加以稳定，为了分析整个系统的性能，通常首先要确定内回路的零、极点，这就相当于绘制具有正反馈系统的根轨迹。等效为相角方程（幅角条件）和模方程（模值条件）与常规根轨迹的相角条件和模值条件相比：模值条件没有变化。所以零度根轨迹的绘制的规则只要考虑相角条件所引起的某些规则的修改。规则3：渐近线的夹角与实轴夹角与实轴交点规则4：实轴上的根轨迹若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边（开环实数零点数+开环实数极点数）为偶数。这个结论可以用相角条件证明。规则6：根轨迹的起始角（出射角）和终止角（入射角）起始角（出射角）：终止角（入射）：例。设具有正反馈回路系统的内回路传递函数分别为试绘制该回路的根轨迹图。（1）系统的开环零极点分布为有三条分支，实轴上的根轨迹（-，-3]，[-2，）。（2）根轨迹的渐近线（n-m)=2条，渐近线夹角（3）确定