常微分方程模型

常微分方程模型简介1

目录

1.人口模型(人口增长和人口控制模型)2.作战模型3.火箭发射模型

21.人口增长模型人口问题是当今世界人们最关心的问题之一,从我们建国以来的历史和当前的现实已经证明.这个问题也是我们国家必须认真思考和慎重对待的重大问题.过去曾认为人多好办事,对呼吁人口增长的经济学家马寅初错误地开展批评,结果造成人口超过13亿,背上了沉重的包袱.因此要实现四个现代化,应有效地控制人口增长,就必须制定正确的人口政策,为此就要建立人口增长的数学模型,用以描述人口增长过程,通过分析对人口增长进行预测,制定相应的人口政策以控制人口增长.3

影响人口增长的因素很多,人口的多少,出生率的高低,人口男女比例的大小,人口年龄组成情况,工农业生产水平高低,各民族的风俗习惯,自然灾害,战争,人口迁移等等.如果一开始把众多因素全考虑,则无从下手.我们先把问题简化,只考虑影响人口的主要因素—增长率(出生率减去死亡率),其余因素暂不考虑,建立一个较粗的数学模型.在这个模型的基础上逐步考虑次要因素的影响,从而建立一个与实际更加吻合的数学模型.4

初看起来人口增长是按整数变化的,不是时间的可微函数,是不能用微分方程来描述的.但是若人口总数很大时,可以近似认为它是时间的连续函数,甚至是可微的函数.所以人口增长可以用微分方程来描述.(这种假设,认识是建立模型的基础)5设,表示t时刻人口总数和增长率,

只考虑增长率,其它因素的影响不考虑.

则在t至t+这段时间内人口总数增长为

两端同除以,并令,得

我们将逐步深入讨论上面这个模型

6一.马尔萨斯(malthus)模型(指数增长模型)英国人口学家马尔萨斯(1766—1834)根据百余年的人口统计资料,于1798年提出了著名的人口指数增长模型.

基本假设

人口增长率是常数,

或者说,单位时间内人口的增长量与当时人口成正比.

在（1）式中令=r(常数)得其解:(3)7(2)式是一个线性方程,称为马尔萨斯人口模型,人口以为公比,按几何级数增加.

据统计,1961年世界人口总数为3.06,而在此之前的十来年间人口按每年2%的速率增长.因此

公式(4)能非常准确地反映了在1700-1961年间世界估计人口总数,

8但当t=2510年,=(2万亿),

t=2635年,=(18万亿),

t=2670年,=(36万亿),

显然,这些数字说明马尔萨斯人口模型对长期的预测是不正确的.

由上可以看出,马尔萨斯人口增长模型对1700-1961年的人口总数是对的,但对未来的人口总数预测不正确,应予以修正.

二、logistic模型(阻滞增长模型)

由上面分析,马尔萨斯人口模型对1700-1961年间人口总数的检验是对的,而未来的人口总数预测又是错的,原因何在?

9产生上述现象的主要原因是:随着人口的增加,自然资源,环境条件等因素对人口继续增长的阻滞作用越来越显著.如果当人口较少时(相对于资源而言),人口增长率还可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量后,增长率就会随着人口的继续增加而逐渐减少,许多国家人口增长的实际情况完全证实了这一点.

看来为了使人口预报,特别是长期预报更好地符合实际情况,必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设.

10荷兰生物学家Verhulst引入常数,用来表示自然资源和环境条件所允许的最大人口,并假定人口增长率

即人口增长率随着的增加而减少,当时，人口增长率趋于零．

其中：是根据人口统计数据或经验确定的常数;

因子体现了对人口增长的阻滞作用.

由此得：Logistic模型

11解之得：根据(6),(7)两式可画出和曲线图如图1-a及图1-b：

图1-a

图1-b12如图1-a,是一条抛物线，他表示人口增长率随着人口数量的增加而先增后减，在处达到最大值。

如图1-b，是一条型曲线，拐点在处，当时，

本世纪初人们曾用这个模型预报美国人口，与实际数据比较，直到1930年计算结果都相吻合，后来的误差越来越大，一个明显原因是到1960年美国实际人口已突破了过去确定最大人口。

13这个模型改进了Mslthus模型，但不易准确得到，事实上，随着生产力的发展和人们认识能力的改变，也是可以改变的。

关于人口模型这方面的内容是很丰富的，我国学者为了解决我国人口迅速增长的问题，作了大量的调查研究，建立了不少的人口模型，为我国政府指定相应的人口政策提供依据。下面仅给一个我国的人口控制离散模型：

14三、人口控制模型：

在前面讨论的两个模型中，我们只关心人口总数，不考虑人口的年龄分布。事实上在研究人口问题时，按年龄分布的人口结构情况是非常重要的。两个国家或地区，目前人口的总数一样，如果其中之一的年轻人比例高于另一个，那么二者的人口发展状况将很不一样。下面将考虑人口年龄，不同年龄的生育率及死亡率等因素来建立人口离散模型，用以预测及控制人口增长及人口老化问题。

人口发展方程：

时间以年为单位，年龄按周岁计算，

设最大年龄为m岁，

15记为第t年岁（满周岁而不到周岁）的人数，

只考虑由于生育、老化和死亡引起的人口演变，而不记迁移等社会因素的影响。

记为第t年岁人口的死亡率，即

于是：

16记为第t年岁女性生育率，即每位女性平均生育婴儿数，

[]为育龄区间,

为第t年岁人口的女性比，

则第t年的出生人数为：

记为第t年婴儿死亡率，

即第t年出生但未活到人口统计时刻的婴儿比例

17于是

对于,将（9）、（10）代入（8）得

将分解为：,其中是生育模式，

用以调整育龄妇女在不同年龄时生育率的高低，满足：

18利用（13）式对（12）式的求和得到可知表示第t年每个育龄妇女平均生育的婴儿数，

若设在t年后的一个育龄时期内各个年龄的女性生育率都不变，

那么又可表示为

即是第t年岁的每位妇女一生平均生育的婴儿数，称总和生育率，或生育胎次，它是控制人口数量的主要参数。19将（12）式代入（11）式，并记：

则（11）式写作：

制订生育政策就是确定和，通过控制生育多少，通过可以控制生育的早晚和疏密。

引入向量、矩阵记号：

2021那么（17）式和（8）式（）可以写作

这个向量形式的一阶差分方程就是人口发展方程。

说明：

(1)当初始人口分布已知时，又由统计资料确定A(t)及B(t)，并且给定了总和生育率以后，用这个方程就可以预测发展过程。

(2)在控制论中，称状态变量，

作为控制变量。

(3)在稳定的社会环境下，可以认为死亡率、生育模式和女性比不随时间变化，于是A(t),B(t)为常数矩阵，

22（21）式化为：

虽然全面地反映了人口的年龄结构及其发展过程，但是为了更简明地描述人口的特征，还需要一些指标，称为人口指数，主要有：

人口指数：

人口总数

平均年龄

23平均寿命（经过复杂计算可得）

其含义是：第t年出生的人不论活到哪一年,死亡率都用第t年的死亡率计算时,这些人的平均存活时间.我国人口的平均寿命在本世纪三十年代是35岁左右,解放初期为50岁左右(1950年北京地区),到1978年达到68.3岁.

老年化指数24它是反映人口老年化程度的指标.平均年龄R(t)越大，越大;对于R(t)相同的两个国家和地区，平均寿命S(t)大时，表示健康水平高，一个人能工作的时间在一生中占的比例大，所以老龄化指数小。<0.5时属于青壮年型社会，我国=0.3835(1978年)

.

依赖性指数其中25这里和分别是男性和女性劳动力的年龄区间，是有劳动力的人口数，于是表示每个劳动力需供养的人口数。我国(1978年)，世界平均水平为（1981年）。我国人口数的预测用模型（3.9-21）根据1978年的统计资料对我国人口总数作的预测如下，死亡率用下列公式外推：

26生育模式取分布的离散值：

性别比取统计数据的平均值0.487，在不同的总和生育率下得到1980--2080年一系列结果：1)若（七十年代中期水平），则2000年将达14.2亿，2080年达43.1亿，近于当前全世界人口总和；

2)若（约1980年水平），则2000年将达12.9亿，2080年为21.2亿；

3)若（大约是保持人口长期稳定的水平），则2000年为12.2亿，72年后达到最大值，此后略有下降；

274)若，则在2007年达到最大值，到2080年将降至7.8亿(1968年的水平)；

5)若，即全国严格执行一对夫妇只生一个孩子的政策，则在2004年达到最大值10.6亿，50年后降至9.5亿（1978年水平）。

282.作战模型问题：两军对阵，现甲军有个士兵，乙军有个士兵，试讨论战斗过程中双方的伤亡情况以及最后的结局。

一、正规战争模型令表示t时刻甲军人数，

表示t时刻乙军人数。

在以上假设下，显然甲军人数越多，乙军伤亡越大，反之亦然，所以有甲军人数的减员率与乙军人数成正比；

乙军人数的减员率与甲军人数成正比。

29所以正规战争模型为其中均为常数，

a(或b)越大，表示乙军（或甲军）战斗力越强。

记E＝称为甲军与乙军的交换比，

联立方程(10-1)求解得分离变量并积分得

30若初始条件为

(3)式就是“兰彻斯特平方定律”，它在xoy平面上是一族双曲线，如图

31图上箭头表示兵力随时间而变化的方向。

由图可知若，乙军胜，且当y减少到时，x将为零；

若，平局，且当y减少到零时，x也减少到零；

若，甲军胜，且当x减少到时，y将为零。

32对于乙军来说，为了保持取胜的战斗态势，当然希望，即

所以要想取胜，要么士兵多，要么增加士兵的战斗力；因此，如果士兵的战斗力强，当然可以以少胜多。另一方面，(5)式可写成(6)式说明双方初始兵力之比以平方关系影响着战争的结局。

33例如，若乙方兵力增加到原来的两倍（甲方不变），则影响战争结局的能力增加到4倍；或者说，若甲方的战斗力增加到原来的4倍，那么为了与此相抗衡，乙方只需将初始兵力增加到原来的2倍，由于这个原因，正规战争模型又称为平方律模型。

例如：如果战争开始时甲军为6000人，乙军为3000人。当交换比E＝1时，即两军的装备和战斗力差不多时，由(10-4)式可确定从而得微分方程特解

由于交换比为1，而甲军人数占优势，故乙军失败。

34当乙军被消灭光时，即y＝0

甲军还剩下的人数

即甲军损失人数为6000－5200＝800人可见，中国古代凭战争经验总结出来的“杀人三千，自损八百”确实存在数学上的理论根据。

如果交换比E=得

甲军胜当y＝0时，

所以甲军损失：

356000－3000＝3000人，

即杀人3000自损3000。如果交换比E＝

所以当乙军被消灭,即y＝0时，x＝0，即双方“同归于尽”。

如果交换比E＝得

乙军胜当x＝0时，

这说明虽然乙军人少，但能以一当五最后战胜甲军，而只损失了1660人。

36可见，战争胜负的决定性的因素是“交换比”，即装备和战斗力（包括将帅的指挥和官兵的素质及勇气），而不仅是人数，人数只是我们决定战斗的形式，例如人多势大可以用来分割围攻、打进攻战；人少势弱只能回避锐利、打防守战、游击战。总之，在未来的战争中，要想取胜，不能抱着人多势重的思想，而应大力进行国防现代化的建设，以提高我军对敌作战的交换比。37问题：如果两军作战时有增援，其作战模型如何？令f(t)和g(t)分别表示甲军和乙军t时刻的增援率，

则正规战争模型为

J.H.Engel用二次大战末期美日硫黄岛战役中的美军战地记录，对正规战争模型进行了验证，发现模型结果于实际数据吻合得很好。38

硫黄岛位于东京以南660英里的海面上，是日军的重要空军基地，美军在1945年2月19日开始进攻，激烈的战斗持续了一个月，双方伤亡惨重，日军守军21500人全部阵亡或被浮，美军投入兵力73000人，伤亡20265人，战斗进行到28天时美军宣布占领该岛，实际战斗到36天才停止。美军的战地记录有按天统计的战斗减员和增援情况，日军没有后援。根据实际战地记录，由正规战争模型得到的美军伤亡的理论曲线与实际伤亡曲线相当吻合。

39二、混合战争模型记表示t时刻游击队人数；

表示t时刻正规军人数。

假设：

(1)游击队的战斗减员率与及的乘积成正比，因为越大，目标越大，被敌方子弹命中的可能性越大，另一方面，越大，火力越强，的伤亡人数也就越大。(2)正规军的战斗减员率与游击队人数成正比。

(3)游击队和正规军的增援率分别为f(t),g(t)。

40则混合战争模型：

其中为常数。

称为正规军的战斗有效系数；称为游击队的战斗有效系数；

战斗中，若双方都无增援，即f(t)＝g(t)＝0，

则(10-7)变为41由(10-8)得积分

若初始条件为

(10-9)式在xoy平面上是一族抛物线，如图

42图中箭头表示兵力随时间而变化的方向。

由图知：

若M>0，乙军胜，且当y减少到时，x将为零；

若M＝0，平局，且当y减少到零时，x也将为零；

若M<0，甲军胜，且当x减少到时，y将为零。

43因此对于正规军来说，为了保证取胜的战斗态势，必须M>0，即所以正规军取胜的条件：由于分别表示正规军与游击队的战斗有效系数，所以可将它们表示为其中是正规军的射击率（每个士兵单位时间射击次数），

44是正规军每次射击的命中率；

是游击队的射击率（每个士兵单位时间射击次数），

是游击队每次射击的命中率。

但在战斗过程中，可假定正规军在游击队的火力之内且游击队每次射击是有目标的，而游击队虽然在正规军的火力之内，但活动范围大且是隐蔽的，所以正规军每次命中率与游击队活动范围及每次射击的打击面有关，

因此又可表示为表示游击队的活动范围；

表示正规军每次射击有效面积。45所以将(10-12)代入(10-11)得正规军取胜的条件：

假定正规军的作战火力比游击队作战火力强，

不妨设；

游击队的作战兵力＝100人，

命中率＝0.1，

46活动范围＝0.1平方千米，

正规军每次射击的有效面积＝1平方米，

则由(6-13)式，正规军取胜的条件为即正规军必须10倍于游击队的兵力才能取胜。

47

美国人曾用这个模型分析越南战争（甲方为越南，乙方为美国）。根据类似于上面的计算以及四五十年代发生在马来西亚、菲律宾、印尼、老挝等地的混合战争的实际情况估计出，正规军一方要想取胜必须至少投入8倍于游击队一方的兵力。而美国最多只能派出6倍于越南的兵力。越南战争的结局是美国不得不接受和谈并撤军，越南人民取得最后胜利。

三、游击战争模型483.发射卫星为什么用三级火箭一、为什么不能用一级火箭发射卫星？1、卫星进入轨道，火箭所需的最低速度。将问题理想化，假设:

(a)、卫星轨道为过地球中心某一平面上的圆，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕

地球作平面圆周运动（如图)49(b)、地球是固定于空间的均匀球体，其他星球对卫星的引力忽略不计。设地球半径为R，中心为O，地球质量看成集中于球心（根据地球为均匀球体的假设），曲线C为地球表面，为卫星轨道，其半径为r，卫星质量为m，

根据牛顿定理，地球对卫星的引力为其中G为引力常数，可由卫星在地面的重量算出，即

50

代入(11-1)式得

由假设(a)，卫星所受到的引力既它作匀速圆周运动的向心力，故又有

故有从而速度为

51取g=9.81m/,R=6400km,可算出卫星离地面高度为h公里处的速度如下表

离地面高度h(km)1002004006008001000卫星速度v(km/s)7.867.807.697.587.477.37

2、火箭推进力及速度的分析假设火箭在喷气推动下作直线运动，火箭重力及空气阻力不计。

52设在t时刻火箭质量为m(t)，速度为v(t)，均为t的连续可微函数。

由泰勒展式有在t到t+时间内火箭的质量减少量为这个质量的减少，是由于燃料燃烧喷出气体所致。

设喷出气体相对于火箭的速度为u(就一种燃料而言为常数)，则气体相对于地球运动速度为v(t).

53根据动量守恒定律知

t时刻火箭动量=（t+t)时刻火箭动量

+（t+t)时刻转换到气体的能量

所以从而有上式两端同除以，并令得54(11-2)式又端表示火箭所受的推力，由此解得此处

(11-2)式表明火箭所受的推力等于燃料消耗速度与气体相对于火箭运动速度的乘积

(11-3)式表明,在和一定的条件下,v(t)由喷发速度(相对于火箭)u及质量比决定.

这为提高火箭速度找到了正确的途径:提高u(从燃料上想法),减少m(t)(从结构上想法).完全合乎实际.

553、一级火箭末速度上限(目前技术条件下)火箭—卫星系统的质量可分为三部分:

(有效负载,如卫星),

,(燃料质量),

(结构质量,如外壳,燃料容器及推进器).在发射一级火箭运载卫星时,最终(燃料耗尽)质量为,

由式(3)知末速度为一般来说,结构质量在中应占一定的比例,

56在现有的技术条件下,要使燃料仓和发动机的质量之和小于所载燃料的或是很难做到的.

其中为常数,

为初始总质量,即结构质量为燃料和结构质量和的倍,

代入(4)式得

由此可以得出一个重要结论:57对于给定的u值,当净栽质量时(即假设火箭不携带任何东西).火箭所能达到的最大速度为我们已知目前的火箭燃料其u=3km/s,如果取则上式可得前面已推出,即使要把卫星送入600公里高的圆形轨道,火箭的末速度应为7.58km/s,而刚才我们推导火箭速度是在假定忽略空气阻力,重力,不携带任何东西的情况下，最大速度才达7km/s.由此得出,如上的单级火箭是不能用于发射卫星的.

58我们回过头来检查上面的设计中有那些地方不合理,以便加以改进.我们发现,火箭的推进力在加速着整个火箭,其实际效率越来越低,最后几乎是在加速着最终毫无用处的结构质量(包括空油箱).所以应改进火箭的设计.

二、理想的火箭模型理想的火箭模型应该是随着燃料燃烧随时抛弃无用的结构。

假设在t到时间内，丢掉的总质量为1个单位（包括结构质量和燃料燃烧质量），其中丢掉结构质量为<<1），烧掉的质量为1。

59当然，不可能制造这样的理想火箭，但是我们把实际情况理想化以后，使得问题变得比较简单，在此基础上建立相应的数学模型，从而可获得一些我们需要的信息，通过一些修正，我们就可以把理想过程还原到实际过程。建模由动量守恒定律：

代入上式得

60化简整理，令，可得解得比较(11-5)、(11-6)两式可知，理想火箭与一级火箭的最大区别在于：

当燃料燃烧完，结构质量也被逐渐抛掉，仅仅剩下（卫星），即，

61从而最终速度为(11-7)式表明：当足够大便可使卫