课件-第三章流体动力学课件

第3章

流体动力学基础

1．教学目的和任务1）教学目的（1）掌握研究流体运动的方法，了解流体流动的基本概念；（2）掌握理想流体运动的基本规律，为后续流动阻力计算等打下基础。2）基本内容（1）正确使用流体流动的连续性方程式；（2）弄清流体流动的基本规律——伯努利方程,掌握伯努利方程的物理意义、几何意义、使用条件及其应用；（3）动量方程的应用。2．重点、难点重点：连续性方程、伯努利方程和动量方程。难点：应用三大方程联立求解工程实际问题。3.1研究流体运动的两种方法3.2研究流体运动时的一些基本概念3.3流体运动的连续性方程3.4无粘性流体的运动微分方程3.5无粘性流体运动微分方程的伯努利积分3.6粘性流体运动的微分方程及伯努利方程3.7粘性流体总流的伯努利方程3.8测量流速和流量的仪器3.9定常流动总流的动量方程及其应用流体动力学：研究流体运动规律及流体运动与力的关系

研究方法：工程流体→理想流体→实验修正→实际流体第3章流体动力学基础3.1研究流体运动的方法一、流体运动要素

研究流体的运动规律，就是要确定流体运动要素。概念：表征流体运动状态的物理量，又称流体运动参数如位移、速度、加速度、密度、压强、动量、动能等1）每一运动要素都随空间与时间而变化；2）各要素之间存在着本质联系。**流场——充满运动的连续流体的空间。

在流场中，每个流体质点均有确定的运动要素。二、研究流体运动的两种方法（1）拉格朗日法—“跟踪”法、质点系法以流场中每一流体质点为研究对象，研究每一个流体质点在运动过程中各运动要素随时间的变化规律。将所有质点运动规律综合起来，得到整个流场的运动规律。认为流体的整体运动是每一个流体质点运动的总和。质点的标识：因在每一时刻，每个质点都占有唯一确定的空间位置，故常以某时刻t＝t0各质点的空间坐标（x0=a、y0=b、z0=c

）来区分，不同质点具有不同的初始坐标值（a、b、c

）。质点的空间位置（x、y、z）是（a、b、c）和t的函数，不是独立变量：式中a、b、c、t称为拉格朗日变量（变数）。若t取定值而a、b、c取不同的值，表示在某一瞬时t所有质点在该空间区域的分布情况；反之，则表示该质点的运动轨迹。在流体力学中，通常不用拉格朗日法，而用欧拉法。

（2）欧拉法—“站岗”法以流场中每一空间位置为研究对象，不跟随个别质点。研究流体质点经过这些固定空间位置时，运动要素随时间的变化规律将每个空间点上质点的运动规律综合起来，得到整个流场的运动规律。空间位置的标识：直接用位置坐标（x、y、z）表示，不同x、y、z代表不同的空间位置。质点运动参数是时间t和空间位置（x、y、z）的函数，如式中，x、y、z、t称为欧拉变量（变数）。

任意时刻t通过某空间位置（x、y、z）的质点速度u上式中，若（x、y、z）为常数，t为变数，得到不同瞬时通过某一空间点流体质点速度的变化情况；反之，得到同一时刻通过不同空间点的流体速度的分布情况，即瞬时流速场。不同时刻，每个流体质点应有不同的空间位置，即对同一质点来说在流场中的位置（x、y、z）不是独立变量，与时间变量有关。故对任一流体质点来说，其位置变量（x、y、z）是时间t的函数，即

欧拉变数（x、y、z）与拉格朗日变数（a、b、c）不同，后者a、b、c各自独立，而前者x、y、z非独立，是随时间变化的中间变量，在欧拉法中真正独立的变量只有时间变量t。加速度是速度的全导数，根据复合函数求导1、迹线－－拉格朗日法指流体质点的运动轨迹，表示流体质点在一段时间内的运动情况。如图曲线AB就是质点M的迹线。在迹线上取一微元长度dl，表示该质点在dt时间内的位移微元，则速度

在各轴的分量为3.2流体流动的一些基本概念

3.2.1迹线和流线迹线的微分方程表示质点的轨迹

2、流线－－欧拉法指在流场中某一瞬间作出的一条空间曲线，使同一时刻在该曲线上各位置的流体质点所具有的流速方向与曲线在该位置的切线方向重合。流线仅表示某一瞬时，处在这一流线各位置上的各流体质点的运动情况流线不是某一流体质点的运动轨迹。故流线上的微元长度dl不表示某个流体质点的位移。流线的重要特征：同一时刻的不同流线，相互不可能相交。设某一位置的质点瞬时速度为，取该位置沿切线方向的微元长度，两者方向一致，矢量积为零其投影形式流线微分方程若已知速度分布，便可求出具体流线形状

流线与迹线区别：

流线是某一瞬时处在流线上的无数流体质点的运动情况，时间是参变量；

迹线则是一个质点在一段时间内运动的轨迹，时间是自变量。【例题3.1】有一平面流场，求t＝0时，过(-1，-1)点的迹线和流线。【解】：根据迹线方程有这里t是自变量，则有以t＝0时，x＝y＝－1代入得c1＝c2＝0，消去t得迹线方程根据流线方程有式中t为参数，积分得以t＝0时，x＝y＝－1代入得c＝0，得流线方程3.2.2定常流动和非定常流动据“质点经过流场中某一固定位置时，其运动要素是否随时间而变”1．定常流动流场中，流体质点的一切运动要素都不随时间变化，只是坐标的函数，这种流动为定常流动流体运动与时间无关，如

p=p(x,y,z)u=u(x,y,z)ρ=ρ(x,y,z)

如图容器中水位保持不变的出水孔口处的流体的稳定泄流，是定常流动，其流速和压强不随时间变化，为形状一定的射流。如离心式水泵，若其转速一定，则吸水管中流体运动是定常流动工程中大部分流体运动均可近似看作定常流动2．非定常流动流体质点的运动要素是时间和坐标的函数——非定常流动如

p=p(x,y,z,t)

u=u(x,y,z,t)

如图容器中的水位不断下降，经孔口流出的液体速度和压强等随时间而变化，其孔口出流是非定常流动。定常流动中，流线形状不随时间改变，流线与迹线重合。

非定常流动中，流线的形状随时间改变，流线与迹线不重合

3.2.3流管、流束与总流1.流管微小流束流管在流场中画一封闭曲线(不是流线)，它所包围的面积很小，经过该封闭曲线上的各点作流线，由这无数多流线所围成的管状表面，为流管。各时刻流体质点只能在流管内部或流管外部流动，不能穿出或穿入流管，即垂直于流管表面方向没有分速度。2.流束充满在流管中的全部流体，称流束。断面为无穷小的流束——微小流束，认为其断面上各点运动要素相等。当断面A→0时，微小流束变为流线。

3.总流无数微小流束的总和称总流。水管中水流的总体、风管中气流的总体均为总流。如图按周界性质：

①有压流：总流四周全部被固体边界限制。如自来水管、矿井排水管、液压管道；

②无压流：总流周界一部分为固体限制，一部分与气体接触，有自由液面。如河流、明渠；

③射流：总流四周不与固体接触。如孔口、管嘴出流。3.2.4过流断面、流速、流量1.过流断面

与微小流束或总流中各条流线相垂直的横断面，称此微小流束或总流的过流断面(又称过水断面)，过水断面有平面或曲面；如图。当流线平行时，过流断面是平面，否则是曲面2.流量

流量：单位时间内通过过流断面的流体量分体积流量Q

和质量流量M单位时间内流过过水断面的流体体积，称体积流量，简称流量，单位m3/s

或l/s。单位时间内流过过水断面的流体质量，称质量流量，单位kg/s。体积流量与质量流量的关系为Q=M/ρ微元流束的体积流量dQ

：因微元流束的过流断面与速度方向垂直，故等于过流断面面积与流速的乘积

总流的体积流量Q：等于同一过流断面上所有微小流束的流量和，即3.流速点速：流场中某一空间位置处的流体质点在单位时间内所经过的位移，称为该流体质点经过此处时的速度，简称点速用u表示严格讲，由于粘性，同一过流断面上各点的流速不等。但微元流束的过流断面很小，各点流速相差不大，一般用断面中心处的流速作为同一过流断面的流速。在总流的同一过流断面上引入断面平均流速（假想的均匀分布在过流断面上的流速）均速：体积流量与过水断面面积的比值，用v表示工程上常说的管道中流体的流速即是v。3.3流体流动的连续性方程流体连续地充满所占据的空间（流场），当流体流动时在其内部不形成空隙，这是流体运动的连续性条件。根据流体运动时应遵循质量守恒定律，将连续性条件用数学形式表示出来，即连续性方程。连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的具体表达式。3.3.1直角坐标系中的连续性方程——连续性微分方程取以点为中心的微元六面体，边长dx，dy，dz，分别平行于直角坐标轴x，y，z。O’点在t时刻的流速分量,密度ρ

前表面中心点M质点x方向的分速度为

后表面N点x方向的分速度为所取六面体无限小，认为在各表面上的流速均匀分布，则

单位时间内沿x轴方向流入六面体的质量

流出六面体的质量单位时间内在x方向流出与流入六面体的质量差，即净流出量为同理，单位时间内沿y，z方向净流出量分别为

由连续介质假设，根据质量守恒原理：单位时间内流出与流入六面体的质量差的总和应等于六面体在单位时间内所减少的质量。则有整理得此式为连续性微分方程的一般形式，表达了任何可能存在的流体运动所必须满足的连续性条件，即质量守恒条件。适用于定常流及非定常流可压缩流体三维流动的欧拉连续性方程

对于定常流动的连续性方程为

对于均质不可压缩流体（ρ为常数），则不论定常流或非定常流均有方程说明通过一固定空间点流体的流速分量ux、uy、uz

沿其轴向的变化率是互相约束的，表明对于不可压缩流体其体积是守恒的。不可压缩流体二维定常流动的连续性方程为上述方程对于理想流体和实际流体均适用。不可压缩流体三维流动的连续性方程

定常流动流体的连续性方程

课前复习：（1）拉格朗日法—“跟踪”法、质点系法以流场中每一流体质点为研究对象，研究每一流体质点在运动过程中各运动要素随时间的变化规律。质点空间位置（x、y、z）不是独立变量，是（a、b、c）和t的函数：若t取定值而a、b、c取不同的值，表示在某一瞬时t各个质点在该空间区域的分布情况；反之，则表示该质点的运动轨迹。

（2）欧拉法—“站岗”法以流场中每一空间位置为研究对象，不跟随个别质点。研究流体质点经过这些固定的空间位置时，运动要素随时间的变化规律流体质点的运动参数是时间t和空间位置（x、y、z）的函数

不同时刻，每个流体质点应有不同的空间位置，即对同一质点来说位置（x、y、z）不是独立变量，与时间变量有关：可见，欧拉变数（x、y、z）非独立变量，拉格朗日变数（a、b、c）独立变量。

迹线表示一个质点在一段时间内运动的轨迹时间t是自变量。流线是某一瞬时处在流线上的无数流体质点的运动情况时间t是参变量，在积分时将其作为常数。定常流动和非定常流动流体质点经过流场中某一固定位置时，其运动要素是否随时间而变

复习迹线和流线的区别1.流管由无数流线所围成的管状封闭表面，为流管。各时刻流体质点只能在流管内部或流管外部流动。2.流束充满在流管中的全部流体，为流束，即流管内所有流线的总和；断面无穷小的流束，为微小流束，认为其断面上各点运动要素相等。当断面A→0时，微小流束变为流线。3.总流无数微小流束的总和称为总流，即封闭曲线取在流场周界上。过流断面与微小流束或总流中各条流线相垂直的横断面，称为此微小流束或总流的过流断面(又称过水断面)一般来说，过流断面上各点的运动要素是不等的；但对于微元流束的同一过流断面上各点的运动要素在同一时刻可认为相等。课前复习课前复习

流量：单位时间内通过过流断面的流体量体积流量

质量流量Q=M/ρ微元流束的体积流量dQ

：过流断面面积与流速的乘积

总流的体积流量Q：同一过流断面上所有微小流束的流量和流速：点速、均速均速：体积流量与过水断面面积的比值上述方程对于理想流体和实际流体均适用。不可压缩流体三维流动的连续性方程，适于定常流和非定常流，体积守恒定常流动流体的连续性方程

可压缩流体三维流动的欧拉连续性方程。表达任何可能存在的流体运动所必须满足的连续性条件，即质量守恒条件课前复习【例题3.2】在三元不可压缩流动中，已知求uz的表达式。

解：由连续性方程得积分得：3.3.2微元流束与总流的连续性方程

3.3.2.1微元流束的连续性方程如图，总流中取一微元流束，过水断面分别为dA1、dA2，相应速度u1、u2，密度ρ1、ρ2。可压缩流体定常流动：微元流束形状不随时间改变，没有流体穿入、穿出流束表面，只有断面dA1、dA2上流入和流出dt时间内，经过dA1流入的流体质量为经过dA2流出的流体质量为根据质量守恒定律，流入质量必须等于流出质量，即不可压缩流体ρ1=ρ2,有不可压缩流体定常流动微元流束连续性方程。物理意义：同一时间间隔内流过流束上任一过流断面的流量均相等可压缩流体定常流动微元流束连续性方程3.3.2.2总流的连续性方程将方程两边对应过水断面A1及A2

积分，得平均密度ρ1m、ρ2m替代ρ1、ρ2，引入整理上式得对不可压缩流体，ρ为常数，则

总流连续性方程，说明可压缩流体做定常流动时，总流质量流量保持不变不可压缩流体定常流动总流的连续性方程物理意义：不可压缩流体做定常流动时，总流的体积流量保持不变；各过水断面平均流速与过水断面面积成反比，即过水断面面积↑处，流速↓；过水断面面积↓处，流速↑。总流的连续性方程是在流量沿程不变的条件下导出的。若沿程有流量流入或流出，总流的连续性方程仍然适用，只是形式有所不同。

流量的汇入和流出【例题3.3】如教材图3.10，一旋风除尘器，入口处为矩形断面，面积为A2=100mm×20mm，进风管为圆形断面，直径为100mm。求当入口流速为v2=12m/s时，进风管中的流速。解：根据连续性方程可知故：3.4理想流体（无粘性）的运动微分方程表面力只有垂直于受力面的流体动压力（动压强引起）流体动压强只是坐标和时间的函数X轴向上所受表面力为X轴向上所受质量力为根据牛顿第二定律，X轴向上的表面力和质量力之和应等于六面体内流体的质量与x轴向上的加速度的乘积，即理想流体运动微分方程，又称欧拉运动微分方程，表明理想流体所受外力与加速度间的关系，对可压缩和不可压缩性流体都适用欧拉平衡微分方程是它的特例位变加速度：流体质点因空间位置变化（位移dx,dy,dz）而引起的速度分量的变化率时变加速度：流体质点速度分量随时间的变化率3.5理想流体运动微分方程的伯努利积分

无粘性流体运动微分方程在特定条件下的积分，伯努利积分

特定条件：（1）流体是均质不可压缩，即（2）质量力有势，则势函数W=W（x、y、z）的全微分为（3）定常流动，即

此时迹线与流线重合，流线则符合条件

将欧拉运动微分方程的三式分别乘以dx、dy、dz然后相加根据上述特定条件，得因ρ为常数，有沿同一流线积分

理想流体运动微分方程的伯努利积分表明：对于不可压缩理想流体，有势质量力作用作定常流动时，处于同一流线上的所有流体质点，其积分函数值均相同。对于不同流线上的流体质点来说，其积分函数值一般不等。如图同一流线上任取两点a、b：

质量力只有重力的情况

代入有

对于同一流线上任意两点，有

对单位重量流体不可压缩无粘性流动的伯努利方程。微元流束适用，又称不可压缩无粘性流体微元流束伯努利方程。流体静力学基本方程是其特例3.6粘性流体运动的微分方程及伯努利方程

3.6.1粘性流体运动的微分方程

实际流体，除受表面压力、质量力外，还受切应力作用纳维——斯托克斯方程（N-S方程）

与理想流体运动微分方程相比，N-S方程增加粘性项，表示单位质量粘性流体所受的切向应力

单位质量粘性流体所受切向应力在各轴投影3.6.2粘性流体运动的伯努利方程

积分条件：有势质量力、定常流动、不可压缩N-S方程变为

上式各乘dx、dy、dz后相加，得第二项为切向应力在流线微元长度dl上所作的功，为负功

wR为阻力功

沿流线积分，得表明在有势质量力作用下，粘性流体定常流动时，函数值沿流线不变。在同一流线上任取1、2两点，有

若质量力只有重力，取垂直向上为z轴，有粘性流体定常流动微分方程的伯努利积分

表示单位质量粘性流体沿流线从点1到点2过程中内摩擦力作功的增量。令

hl‘表示单位重量粘性流体沿流线从点1到点2的路程上所接受的摩阻功。

表明单位重量粘性流体沿流线运动时，其有关值（与z、p、u有关的函数值）的总和沿流向逐渐减少。可推广到微元流束，得到粘性流体微元流束伯努利方程。粘性流体运动的伯努利方程3.6.3伯努利方程的能量意义和几何意义一、物理意义（能量意义）

Z——单位重量流体流经给定点时具有的位置势能，比位能

——单位重量流体流经给定点时具有的压力势能，比压能

——单位重量流体流经给定点具有的动能，比动能

——单位重量流体在流动过程中损耗的机械能，能量损失

——单位重量流体的总势能，比势能

——单位重量流体的总机械能，总比能3.6.3伯努利方程的能量意义和几何意义一、物理意义（能量意义）

无粘性流体运动的伯努利方程表明单位重量无粘性流体沿流线自位置1到位置2时，其位能、压能、动能可能有变化，或相互转化，但其总和（总比能）不变。伯努利方程是能量守恒与转换原理在流体力学中的体现。

粘性流体运动的伯努利方程表明单位重量粘性流体沿流线自位置1到位置2时，各项能量可能有变化，或相互转化，而且其总机械能也有损失。二、几何意义Z位置水头；压强水头；测压管水头/静压水头。

——速度水头，速度头，单位重量流体流经给定点时，因其速度u向上自由喷射能够达到的高度。

——总水头。h'l

——损失水头。速度头可实验测出：毕托管(动能势能)水在管中流动时，明显测出AB测压管、CD测速管两管水面形成的高度差△h。由于水流以速度u流入CD管中到达一定高度后不再流动，形成压强而出现压强高度。不考虑任何阻力时不可压缩流体定常流动微元流束连续性方程。物理意义：同一时间间隔内流过流束上任一过流断面的流量均相等可压缩流体定常流动微元流束连续性方程总流连续性方程，说明可压缩流体定常流动时，总流质量流量保持不变不可压缩流体定常流动总流连续性方程物理意义：总流体积流量保持不变；各过水断面平均流速与过水断面面积成反比。复习若沿程有流量流入或流出，总流的连续性方程仍然适用。

流量的汇入和流出理想流体运动微分方程，欧拉运动微分方程，表明理想流体所受外力与加速度间的关系，可压缩和不可压缩流体都适用，欧拉平衡微分方程是特例位变加速度：流体质点因位移引起的速度分量的变化率时变加速度：流体质点速度分量随时间的变化率理想流体运动微分方程的伯努利积分质量力只有重力时不可压缩无粘性流动伯努利方程。微元流束适用，又称不可压缩无粘性流体微元流束伯努利方程。流体静力学基本方程是特例粘性流体运动微分方程：纳维—斯托克斯方程（N-S方程）

粘性流体运动的伯努利方程可推广到微元流束。复习伯努利方程的能量意义和几何意义

*理想流体伯努利方程的几何意义理想流体沿流线运动时，其位置水头、压强水头、速度水头可能有变化或三个水头间相互转化，但其各水头之和总是保持不变，即理想流体各过水断面上的总水头永远相等。总水头线是一条水平线，测压管水头线/静压水头线是一条随过水断面改变而起伏的曲线。曲线AB—位置水头线曲线CD—测压管水头线或静压水头线直线EF—理想流体总水头线*粘性流体伯努利方程的几何意义粘性流体在流动过程中，各水头不但可能有变化，或相互转化，而且总水头也必然沿流向降低。实际流体的总水头线沿流体的流动路程是一条下降的曲线（若微元流束的过流断面相等，则为斜直线），不象理想流体水头线是一条水平线。【例题3.4】物体绕流如图，上游无穷远处流速为u∞＝4.2m/s、压强为p∞＝0的水流受到迎面物体的阻碍后，在物体表面上的顶冲点S处的流速减至零，压强升高，求S处的压强。（S点为滞流点或驻点）解：忽略粘性，根据通过S点的流线上伯努利方程，有3.7实际流体总流的伯努利方程

3.7.1急变流和缓变流急变流——流线曲率半径r很小、流线间夹角β很大的流动。离心惯性力；内摩擦力在垂直于流线的过流断面上有分量其过流断面上有多种成因复杂的力，不宜在此过流断面列伯努利方程缓变流——流线曲率半径r很大、流线间夹角β很小的接近于平行直线的流动。忽略离心惯性力；内摩擦力在垂直于流线的过流断面上几乎没有分量图急变流与缓变流3.7实际流体总流的伯努利方程

3.7.1急变流和缓变流急变流——不宜在此过流断面列伯努利方程缓变流过流断面是平面，与流速方向垂直，其上速度分量为零过流断面上压强分布符合重力场中流体静压强分布规律同一过流断面的任一点的压强与位置间的关系：图急变流与缓变流同一过流断面C值相同即同一过流断面上测压管水头高度相同；但不同过流断面测压管水头高度可能不同伯努利方程的过流断面取在缓变流段中

3.7.2动量校正系数和动能校正系数v——均速；u——点速用v表示的流量Qv和用u表示的流量Qu相等:用v表示的流体动量Mv和用u表示的流体动量Mu不等:因n个数值平方的和总大于其算术平均值平方的n倍α0动量校正系数，直管(渠)的高速水流α0=1.02~1.05;工程计算中α0≈13.7.2动量校正系数和动能校正系数用v表示的流体动能Ev和用u表示的流体动能Eu不等:

α动能校正系数，实际流体α

=1.05~1.10;工程中α≈1思路：实际流体微小流束伯努利方程→总流缓变流断面→实际流体总流伯努利方程设不可压缩实际流体定常流动，取一微元流束，伯努利方程单位时间内流过微小流束的流体重量γdQ

，其能量关系各项沿相应过流断面对流量积分，得总流能量方程3.7.3总流的伯努利方程将上式分解三部分，第一部分等式两端的前两项，有过流断面取在缓变流段中，＝常数，则第二部分等式中的第三项，第三部分式中最后一项，表示流体质点从过流断面1-1到2-2时机械能损失之和。用hl表示单位重量流体的平均能量损失三部分结果代入，除以γQ，即单位重量流体总流的能量表达式表示单位重量实际流体作定常流动时能量的转化关系。注1：使用伯努利方程时的注意事项：A.方程中z1、z2的基准面可任选，但必须选择同一基准面，一般使z>0;b.方程中p1、p2

，即可用绝对压强，也可用相对压强，但等式两边的标准必须一致；c.当hl=0时，变为理想流体总流伯努利方程，即不可压缩实际流体重力场中定常流动时总流伯努利方程理想流体总流的伯努利方程注2：总流伯努利方程的限制条件：a.流体为不可压缩的实际流体；b.流体的运动为定常流动；c.流体所受质量力只有重力；d.所选取的两过水断面必须处在缓变流区域，但两断面间不必是缓变流段，且过流断面上所取的点不要求在同一流线上;

因在缓变流过水断面上各点存在＝常数，列伯努利方程时，可在选定的两个过流断面上任取空间点位置e.总流的流量沿程不变，即所取两过流断面间没有流量的汇入或流出；g.除hl外，总流没有能量的输入或输出。3.7.4其他几种形式的伯努利方程1、气流的伯努利方程气体流动时，重度γ是个变量,若不考虑内能的影响2、有能量输入输出的伯努利方程在两过流断面间有泵、风机或水轮机等流体机械，有能量的输入或输出时，此部分能量用±E表示泵或风机：对流体作功，输入能量，E前正号水轮机：流体对机械作功，输出能量，E前负号矿井通风属于该情况。γ变化不大，可直接使用原式3、有流量分流或汇流的伯努利方程在两过流断面间有流量的汇入在两过流断面间有流量的分出连续性方程分别为汇流情况：分流情况：3.7.5伯努利方程的应用【例3.6】某污染处理厂从一高位水池引出一条管路AB，如图。已知：流量Q＝0.04m3/s；管路直径D＝0.3m；安装在B点的压力表读数为1工程大气压，高度H＝20m，求管路AB段的水头损失。解：取水平基准面为O-O，过流断面1-1、2-2如图所示，列两断面间的伯努利方程z1＝H＝20m，z2＝0，方程两端使用相对压强，有

【例题】如图为测量风机流量的常用集流器装置的示意图，集流器入口为圆弧或圆锥形，直管内径D＝0.3m，气体重度γa＝12.6N/m3，在距入口直管段D/2处（过水断面2－2位置）安装静压测压管，测得Δh＝0.25m。试计算风机的风量Q。解：取O-O为水平基准面在入口前方稍远处取过水断面1-1，由于过水断面1-1远远大于集流器断面，近似取v1＝0；过水断面1-1上的压强p1＝pa过水断面2-2的流速为v2，压强不计能量损失，看作理想流体，在1-1和2-2断面列总流伯努利方程

【例题3.8】如图，为水泵管路系统。已知吸水管和排水管直径D均为200mm，管中流量Q＝0.06m3/s，排水池与吸水池高差H＝25m，设管路A-B-C的水头损失为5m，求水泵向系统输入的能量E。解：取吸水池水面为水平基准面O-O及过水断面1-1，排水池水面为过流断面2-2，列两断面间的伯努利方程工程中E称为水泵的扬程，用来提高水位和克服管路中阻力损失。【例题】如图，用一根直径d＝200mm的管道从水箱中引水，若水箱中水位保持恒定，所需流量50l/s，水流的总水头损失为3.5m。试求水箱中液面与管道出口断面中心的高差H。解：3.8测量流速与流量的仪表

3.8.1毕托管毕托管是将流体动能转化为压能、通过测压计测定流速的仪器优点：可靠度高、成本低、耐用性好、使用方便。如右图，沿一水平微元流束或流线取非常近的两点1、2装两测压管，对两点列伯努利方程：流经两点的总水头相等。若在2点处安装一90º的弯管，右下图，弯头正对水流，待弯管内流体上升的液柱稳定后，2点处流体停止运动，速度为0，为驻点。驻点处的压强p2*为液体在弯管内上升的高度h测压管测速管驻点上式只表明理想情况，若考虑实际流体粘性、能量转换损失、毕托管对流体运动的干扰、弯管的加工精度等影响，则对实际流速进行修正c为毕托管的流速系数，一般c＝0.97～0.99；若毕托管制作精密，头部、尾柄对流动扰动不大，近似取1。毕托管常与差压计组合，用以测量水管、风管、渠道和矿井巷道中任一点的流速。【例题3.5】如图，带水银压差计的毕托管测管轴心流速，D=150mm，管中水流均速v为管轴处流速u的0.84倍。求水管中的流量。解：取管轴水平面为基准面O-O，过水断面1-1、2-2经过1、2两点且垂直于流向，列出1、2两点间的伯努利方程3.8.2文丘里流量计测量管路中流量，如图,由渐缩管、喉管和渐扩管三部分组成。渐缩管断面急速变小，渐扩管断面渐大到主管断面，断面最小段为喉管。主管和喉管上各装一测压管，由两处压强差求流量。设理想流体定常流动，流量计倾斜放置（也可水平），暂不考虑能量损失k为仪器常数，固定尺寸流量计k为定值实际流量

理想情况流量

μ流量计流量系数，值与管子材料、尺寸、加工精度、安装质量、流体的粘性及流速等有关，只能通过实验确定。一般，μ约为0.95～0.98。为测得的流量值更接近实际，使用时应注意：1）喉管中压强不能过低，否则会产生汽化现象，破坏流体连续性，无法正常工作；2）为保证流体定常流动，流量计前15倍管径D长度内，不安装阀门、弯管、或其它局部装置，否则影响μ值；3）测量前排掉测压管内气泡。还有孔板流量计和喷嘴流量计，都属于节流式流量计。【例题3.9】用文丘里流量计测流量，已知管径D＝100mm，d＝50mm，测压管高度，流量系数μ＝0.98。求管路中的流量Q。解：两测压管高差流体动量方程是动量守恒定律在流体运动中的具体表达式，反映了流体动量变化与作用力间的关系。（1）流体作用于弯管上的力（2）射流作用在平板上的冲击力（3）射流的反推力3.9定常流动总流的动量方程及其应用

3.9.1定常流动总流的动量方程

动量定律：物体运动过程中，动量对时间t的变化率，等于作用在物体上全部外力的矢量和

应用到流体定常流动中：在弯管总流中任取一微元流束段1-2，经dt时间后，流束段1-2将沿流线运动到1‘-2’段位置，流束段的动量发生变化MM将其推广到总流根据动量校正系数的概念，引入均速不可压缩流体定常流动总流的动量方程，通常用来确定运动流体与固体壁面间的相互作用力物理意义外力矢量和等于单位时间内流出与流入的动量差MM3.9.2动量方程的应用

3.9.2.1流体对管壁的作用力图a所示渐缩弯管：取控制体：取断面1-1、2-2间流体分析受力：流体重力G、弯管对流体作用力R，过流断面上外界流体对控制体压力p1A1、p2A2列方程：取图中坐标系，列x轴、z轴方向动量方程求分力：求合力：

合力大小：

合力方向：zz对弯管作用力F与R是一对作用力和反作用力3.9.2.2射流在平板的冲击力流体从管嘴喷射出，形成射流。如图，水平射流射向一个与之成θ角的固定光滑平板

取控制体：取射流为控制体分析受力：射流四周及转向后流体表面受大气压力，若忽略空气阻力、板面阻力和重力，则作用在流体上的力只有平板对射流的阻力R，它与射流对平面的冲击力构成一对作用力和反作用力列方程：取如图坐标系，列动量方程求分力：求合力：射流对固定平板的冲击力F，大小与R相等，方向相反。xy若θ＝90º，即射流沿平板法线方向射去时，射流对平板的冲击力为：若平板不固定，沿射流方向以速度u运动，则射流对移动平板的冲击力为xy烟花、火箭、喷气式飞机、喷水船等都是借助这种反推力而工作。3.9.2.3射流的反推力装有液体的容器，侧壁开一小孔，流体从小孔流出形成射流设流速很小，很短时间内可看作定常流动，则射流速度流体沿水平方向（x轴）的动量对时间变化率为

该量为容器对流体作用力在x轴的投影射流给容器的反推力，大小与其相等方向相反容器在Fx作用下朝射流的反方向运动－－射流的反推力h为容器液面与孔口高差【例题3.10】在直径为D＝100mm的水平管路末端，接上一个出口直径为d＝50mm的喷嘴，如图示，已知管中流量为Q＝1m/min求水流沿x轴作用于喷嘴的力。解：由连续性方程可知取管轴线为水平基准面O-O，列伯努利方程由于z1＝z2，p2＝0，故设喷嘴作用于流体上的力沿x轴的分力为Fx，列射流动量方程水流沿x轴作用于喷嘴的力的方向向右。

用动量方程求解流体对固体边界的作用力时，以下步骤可供参考：1.分析流体运动，找出过流断面，取分离体。建立坐标，规定正方向。2.分析作用在分离体上所有外力，设定固体边界对流体作用力R的方向。3.建立动量方程。若动量方程中的未知数多于一个，则应联合能量方程式或（和）连续性方程，求解边界对流体的作用力R。4.根据作用力与反作用力大小相等、方向相反的原则，确定流体对固体边界的作用力。复习：（1）拉格朗日法—“跟踪”法、质点系法以流场中每一流体质点为研究对象，研究每一流体质点在运动过程中各运动要素随时间的变化规律。质点空间位置（x、y、z）不是独立变量，是（a、b、c）和t的函数：

（2）欧拉法—“站岗”法以流场中每一空间位置为研究对象，不跟随个别质点。运动参数是时间t和空间位置（x、y、z）的函数

对同一质点来说位置（x、y、z）不是独立变量，与时间变量有关：欧拉变数（x、y、z）非独立变量，拉格朗日变数（a、b、c）独立变量。

迹线表示一个质点在一段时间内运动的轨迹时间t是自变量，x、y、z是t的因变量。流线是某一瞬时处在流线上的无数流体质点的运动情况时间t是参变量，在积分时将其作为常数。定常流动和非定常流动流体质点经过流场中某一固定位置时，其运动要素是否随时间而变

迹线和流线的区别上述方程对于理想流体和实际流体均适用。不可压缩流体三维流动的连续性方程，适于定常流和非定常流，体积守恒定常流动流体的连续性方程

可压缩流体三维流动欧拉连续性方程。表达任何流体运动所必须满足的连续性条件，质量守恒条件复习实际流体总流的伯努利方程急变流：流线曲率半径很小、流线间夹角很大的流动缓变流：流线曲率半径很大、