第三章流体运动学

第三章流体运动学

在连续介质假设下，从几何学的角度研究流体的运动参数(如速度、加速度等)随空间位置和时间的变化规律。第一节研究流体运动的两种方法第二节基本概念第三节连续性方程第四节流体微团的运动分解第五节势函数和流函数第六节平面势流及叠加1第一节研究流体运动的两种方法

流场：充满运动流体的空间。研究流体运动的方法：拉格朗日法和欧拉法。一、拉格朗日法拉格朗日法是着眼于流体质点，先跟踪个别流体质点，研究其位移、速度、加速度等随时间的变化，然后将流场中所有质点的运动情况综合起来，就得到所有流体质点的运动。xyz用t0时刻该流体质点的空间坐标x0、y0、z0标识该流体质点，并记为a、b、c，称为拉格朗日变数。a、b、c是确定的数，是不变的。2第一节研究流体运动的两种方法

一、拉格朗日法在直角坐标系中，流体质点在x、y、z方向的坐标可描写成

x=x(a，b，c，t)ux=dx/dt=x′(a，b，c，t)

y=y(a，b，c，t)uy=dy/dt=y′(a，b，c，t)

z=z(a，b，c，t)uz

=dz/dt=z′(a，b，c，t)用t0时刻该流体质点的空间坐标x0、y0、z0标识该流体质点，并记为a、b、c，称为拉格朗日变数。a、b、c是确定的数，是不变的。3

二、欧拉法欧拉法着眼于流场中的空间点，研究流体质点经过这些空间点时，运动参数随时间的变化，并用同一时刻所有点上的运动情况来描述流体质点的运动。第一节研究流体运动的两种方法

xyz在该直角坐标系中，该空间点的坐标是用x、y、z。在t时刻某流体质点占据了该空间点。所以该流体质点的速度可表述为同时把它赋给该空间点，所以说该空间点的速度也是对流体质点来说x、y、z是t的函数，而对空间点来说x、y、z不是t的函数，而是固定值。4

二、欧拉法

第一节研究流体运动的两种方法

xyz问题：该空点的速度是求：占据该空间点的流体质点的速度？对流体质点来说x、y、z是t的函数，而对空间点来说x、y、z不是t的函数，而是固定值。5

二、欧拉法第一节研究流体运动的两种方法

流体质点的速度流体质点的加速度6第一节研究流体运动的两种方法

质

点

加

速

度时变加速度由流速

不恒定

性引起位变

加速度由流速不均匀性引起7拉格朗日法

欧拉法

着眼于流体质点，跟踪质点描述其运动历程着眼于空间点，研究质点流经空间各固定点的运动特性布哨跟踪第一节研究流体运动的两种方法

8例题已知拉格朗日描述x=aet，y=be-t

求速度及加速度的欧拉描述。解：速度及加速度的拉格朗日描述速度及加速度的欧拉描述空间点流体质点9例题已知欧拉描述ux=x，uy=-y，求速度的拉格朗日描述。解：空间点的速度流体质点的速度设：t=0时，x=a，y=b，则c1=a，c2=b10第二节基本概念一、定常流动和非定常流动流场中各点的流动参数与时间无关的流动称为定常流动。u=u(x，y，z)，p=p(x，y，z)例如，恒定流的流速场：恒定流的时变加速度为零，但位变加速度可以不为零。11第二节基本概念二、迹线与流线

1.迹线迹线就是流体质点的运动轨迹。迹线只与流体质点有关，对不同的质点，迹线的形状可能不同。但对一确定的质点而言，其迹线的形状不随时间变化。x=x(a，b，c，t)y=y(a，b，c，t)z=z(a，b，c，t)12

2.流线

流线是同一时刻流场中连续各点的速度方向线。

第二节基本概念t是参数13

2.流线流线具有以下两个特点：

①非定常流动时，流线的形状

随时间改变；定常流动时，其形状

不随时间改变。此时，流线与迹线

重合，流体质点沿流线运动。

②流线是一条光滑曲线。流线之间不能相交。如果相交，交点的速度必为零。否则，同一时刻在交点上将出现两个速度，这显然是不可能的。第二节基本概念14第二节基本概念

流线是流速场的矢量线，是某瞬时对应的流场中的一条曲线，该瞬时位于流线上的流体质点之速度矢量都和流线相切。流线是与欧拉观点相对应的概念。有了流线，流场的空间分布情况就得到了形象化的描绘。15例题已知直角坐标系中的速度场ux=x+t；

uy=-y+t；uz=0,试求t=0时过M(-1,-1)

点的流线。解：ux=x+t；uy=-y+t；uz=0(x+t)(-y+t)=Ct=0时过M(-1,-1)：C=-1

xy=1由流线的微分方程：t=0时过M(-1,-1)点的流线16例题t=0时过M(-1,-1)：C1=C2=0

已知直角坐标系中的速度场的欧拉描述ux=x+t；

uy=-y+t；uz=0,试求t=0时过M(-1,-1)

点的迹线。解：x+y=-2由迹线的微分方程：x=-t-1

y=t-1消去t，得迹线方程：17例题迹线流线xyot=0时过M(-1,-1)点的流线和迹线示意图M(-1,-1)18三、流管、流束及总流1.流管在流场中作一条与流线不重合的封闭曲线，则通过该曲线上所有点的流线组成的管状表面就称为流管。当流管的断面很小时称为微小流管。在流管的侧面没有流体出入。流线L流管19三、流管、流束及总流2.流束流管中的所有流体称为流束。当流束的断面很小时称为微小流束。3.总流流动边界内所有流束的总和称为总流。在微小流束的截面上可以认为所有的参数是均匀分布的。20四、过流断面和水力直径

1.过流断面与总流或流束中的流线

处处垂直的断面称为过流断

面(或过流截面)。

2.湿周、水力半径、水力直径总流的过流断面上，流体与固体接触的长度称为湿周，用χ表示。总流过流断面的面积A与湿周χ之比称为水力半径R，水力半径的4倍称为水力直径。di=4A/χ=4R21五、流量及平均速度通过流场中某曲面A的流速通量称为质量流量，记为Qm，单位为kg/s.流量计算

公式中，曲面A的法线指向应予明确，指向相反，流量将反号。闭曲面的法向一般指所围区域的外法向。称为流量，记为Q，它的物理意义是单位时间穿过该曲面的流体体积，所以也称为体积流量，单位为m3/s.dAuAn22五、流量及平均速度总流过流断面上的流速与法向一致，所以穿过过流断面A的流量大小

为，其中u

为流速的大小。定义体积流量与断面面积

之比为断面平均流速，它是过水断面上不均匀流速u的一个平均值，假设过水断面上各点流速大小均等于v，方向与实际流动方向相同，则通过的流量与实际流量相等。23六、一元流动、二元流动和三元流动流量及平均速度

一维流动二维流动三维流动平面流动轴对称流动任何实际流动从本质上讲都是在三维空间内发生的，二维和一维流动是在一些特定情况下对实际流动的简化和抽象，以便分析处理。24六、一元流动、二元流动和三元流动流量及平均速度例如，以下的流动uxazyxo25六、一元流动、二元流动和三元流动流量及平均速度直角系中的平面流动：流场与某一空间坐标变量无关，且沿该坐标方向无速度分量的流动。xyoxyzou0u0大展弦比机翼绕流

二维流动26六、一元流动、二元流动和三元流动流量及平均速度柱坐标系中的轴对称流动：zro液体在圆截面管道中的流动子午面27七、系统和控制体众多流体质点的集合称为系统。系统一经确定，它所包含的流体质点都将确定。系统的大小、位置和形状是可以变化的。系统控制体是指流场中某一确定的空间。这一空间的边界称为控制面。控制体一经选定，它在某坐标系中的大小、位置和形状都不再变化。控制体28第三节连续性方程

连续性方程的物理学本质：质量不灭定律在流体力学中的反映。在拉格朗日方法体系中有：

在欧拉方法体系中有：29第三节连续性方程

一、定常总流连续性方程在欧拉方法体系中有：定常流动时有ρ=C30第三节连续性方程在有分流汇入及流出的情况下，连续方程只须作相应变化。质量的总流入=质量的总流出。一、定常总流连续性方程ρ=C31第三节连续性方程

二、直角坐标系中的连续性方程xyzodxdydzuxabcda’b’c’d’净流入前后这一对表面的流体质量为在时间段dt

里，从abcd

面流入微元体的流体质量为从a’b’c’d’面流出的流体质量为32第三节连续性方程xyzodxdydzuzabcda’b’c’d’和uy

二、直角坐标系中的连续性方程同理可知，在时间段dt

里，沿着y方向和z方向净流入左右和上下两对表面的流体质量分别为33第三节连续性方程三维流动的连续性微分方程在时间段dt

里，微元控制体内流体质量的增加根据质量不灭定律简化34第三节连续性方程

二、直角坐标系中的连续性方程ρ=C定常ρ=C35第三节连续性方程习题3-9

直径D=1.2m的水箱通过d=30mm的小孔泄流。今测得水箱的液面在1s内下降了0.8mm。求泄流量Q和小孔处的平均速度v。解：36第三节连续性方程习题3-11

大管d1=150mm和小管d2=100mm之间用一变径接头连接。若小管中的速度v2=3m/s，求流量Q和大管中的平均速度v1。解：设流体不可压，根据连续方程，有37第三节连续性方程习题3-15判断流动ux=xy；uy=-xy

是否满足不可压缩流动的连续性条件。解：因为

ux=xy；uy=-xy

与时间无关，所以流动定常，根据定常不可压微分形式连续方程，有因为（y－x）≠0，所以流动不满足不可压流动的连续条件。38第三节流体微团的运动分析考察和分析流体质点之间的相对位移和相对运动。谈及相对运动就必须把讨论问题的尺度从流体质点扩大到流体微团。给出在同一时刻流体微团中任意两点速度之间的关系。分析流体微团的运动形式。39第三节流体微团的运动分析dr40ABxyodxdyt

CD以oxy平面上的运动为例，分析流体微团的运动。A’B’C’D’第三节流体微团的运动分析t+dtA’B’C’D’41ABxyodxdyt

CD以oxy平面上的运动为例，分析流体微团的运动。第三节流体微团的运动分析42A’B’C’D’第三节流体微团的运动分析－线变形43第三节流体微团的运动分析－旋转和角变形44第三节流体微团的运动分析－旋转和角变形ABxyodxdyt

CD45第三节流体微团的运动分析－旋转和角变形46第三节流体微团的运动分析－有旋和无旋唯一的标准是看流速场是否满足，写成分量形式为：

判别：

有旋流动和无旋流动

无旋流动有旋流动这个分类是

很重要的47第一节研究流体运动的两种方法

一、拉格朗日法在直角坐标系中，流体质点在x、y、z方向的坐标可描写成

x=x(a，b，c，t)ux=dx/dt=x′(a，b，c，t)

y=y(a，b，c，t)uy=dy/dt=y′(a，b，c，t)

z=z(a，b，c，t)uz

=dz/dt=z′(a，b，c，t)48上次课主要内容回顾

二、欧拉法第一节研究流体运动的两种方法

49上次课主要内容回顾第一节研究流体运动的两种方法

质

点

加

速

度时变加速度由流速

不恒定

性引起位变

加速度由流速不均匀性引起50上次课主要内容回顾第二节基本概念一、定常流动和非定常流动流场中各点的流动参数与时间无关的流动称为定常流动。u=u(x，y，z)，p=p(x，y，z)51上次课主要内容回顾第二节基本概念二、迹线与流线

1.迹线迹线就是流体质点的运动轨迹。迹线只与流体质点有关，对不同的质点，迹线的形状可能不同。但对一确定的质点而言，其迹线的形状不随时间变化。x=x(a，b，c，t)y=y(a，b，c，t)z=z(a，b，c，t)52上次课主要内容回顾

2.流线

流线是同一时刻流场中连续各点的速度方向线。

第二节基本概念t是参数53上次课主要内容回顾

2.流线流线具有以下两个特点：

①非定常流动时，流线的形状

随时间改变；定常流动时，其形状

不随时间改变。此时，流线与迹线

重合，流体质点沿流线运动。

②流线是一条光滑曲线。流线之间不能相交。如果相交，交点的速度必为零。否则，同一时刻在交点上将出现两个速度，这显然是不可能的。第二节基本概念54上次课主要内容回顾三、流管、流束及总流1.流管流线L流管55上次课主要内容回顾三、流管、流束及总流2.流束

3.总流流动边界内所有流束的总和称为总流。56上次课主要内容回顾四、过流断面和水力直径

1.过流断面与总流或流束中的流线

处处垂直的断面称为过流断

面(或过流截面)。

2.湿周、水力半径、水力直径总流的过流断面上，流体与固体接触的长度称为湿周，用χ表示。总流过流断面的面积A与湿周χ之比称为水力半径R，水力半径的4倍称为水力直径。di=4A/χ=4R57上次课主要内容回顾五、流量及平均速度dAuAn58上次课主要内容回顾七、系统和控制体众多流体质点的集合称为系统。系统一经确定，它所包含的流体质点都将确定。系统的大小、位置和形状是可以变化的。系统控制体是指流场中某一确定的空间。这一空间的边界称为控制面。控制体一经选定，它在某坐标系中的大小、位置和形状都不再变化。控制体59上次课主要内容回顾第三节连续性方程

连续性方程的物理学本质：质量不灭定律在流体力学中的反映。在拉格朗日方法体系中有：在欧拉方法体系中有：60上次课主要内容回顾第三节连续性方程一、定常总流连续性方程ρ=C61上次课主要内容回顾第三节连续性方程

二、直角坐标系中的连续性方程ρ=C定常ρ=C62上次课主要内容回顾第三节流体微团的运动分析dr63上次课主要内容回顾ABxyodxdyt

CDA’B’C’D’第三节流体微团的运动分析t+dtA’B’C’D’64上次课主要内容回顾第三节流体微团的运动分析－线变形65上次课主要内容回顾第三节流体微团的运动分析－旋转和角变形66上次课主要内容回顾第三节流体微团的运动分析－有旋和无旋唯一的标准是看流速场是否满足，写成分量形式为：

判别：

有旋流动和无旋流动

无旋流动有旋流动这个分类是

很重要的67上次课主要内容回顾第五节势函数和流函数可以证明：当流动为无旋(即有势)时，函数φ(x，y，z)必存在，且上式一定成立。一、势函数68第五节势函数和流函数二、流函数等流函数ψ(x，y)＝C是流线。可以证明：当流动为不可压时，函数ψ(x,y)必存在，且上式一定成立。69第六节平面势流及其迭加一、几种简单的平面势流

1.平行流

oαxyψ2ψ1ψ4φ2ψ3ψ5φ3φ4φ5φ170第六节平面势流及其迭加一、几种简单的平面势流

2.点源和点汇设平面上有一涌出流体的源泉点O(称为源点)。单位时间内流出体积为Q的流体。如果流体只在相