第三章-几何光学的基本原理

第3章几何光学的基本原理光的干涉、衍射现象，说明光是一种电磁波；光的传播过程就是无穷次波的相干迭加；光的行为可用其时空周期性——波长、振幅和位相来描述。因此，波动光学从光的本性出发，精确地描述了光现象。事实上，在很多情况下，不考虑光的波动性，不用光的时空周期性，而代之以简单的几何方法，就可得到与实际基本相符的结论（如光的反射、折射成像等）。

这种撇开光的波动本性，而仅以光的直线传播为基础，研究光在透明介质中有传播规律的学科称为几何光学，也称为光线光学。由于光的直线传播性对于光的实际行为只具有近似的意义，仅是波动的近似，所以，将它作为基础的几何光学，只能用于有限的范围和给出近似的结论。？？？引言在所研究的对象中，若其几何的尺寸远远大于所用光波的波长（如对一定大小的透镜或面镜，研究由它们成像的物距和像距等），则由几何光学可以获得与实际基本相符的结果；反之，当其几何尺寸可以跟波长相比拟，此时需撇开光的直线传播的概念，而采用以光的波动性质为基础的波动光学来研究。即：几何光学所研究的是波动光学在障碍物尺寸远大于波长时的极限情况。第3章几何光学的基本原理主要内容以光的直线传播为基础，用光线、波面的概念和几何方法来近似描述光的传播行为；利用费马原理和新笛卡尔符号法则，研究光在平面、球面介面上的成像规律。教学目的：1.牢固掌握新笛卡尔符号法则、高斯公式、牛顿公式；2.掌握光具组基点基面的物理意义和作用；3.能正确运用物象公式和作图求象法求解成象问题；4.理解虚物、实象、虚象概念及其性质。

第3章几何光学的基本原理§3.1基本概念及基本实验定律一、光线与波面1.光线：形象表示光的传播方向的几何线。说明：①同力学中的质点一样，光线仅是一种抽象的数学模型。它具有光能，有长度，有起点、终点，但无粗细之分，仅代表光的传播方向。任何想从实际装置（如无限小的孔）中得到“光线”的想法均是徒劳的。②光束：无数光线构成光束。③光沿光线方向传播时，位相不断改变。2.波面：光传播中，位相相同的空间点所构成的平面或曲面。说明：①波面即等相面，也是一种抽象的数学模型。波面为平面的光波称为平面光波（如平行光束）；为球面的称为球面光波（如点光源所发光波）；为柱面的称为柱面光波（如缝光源所发光波）3.光线与波面的关系在各向同性介质中，光线总是与波面法线方向重合。即光线与波面总是垂直的。平面波球面波柱面波二、几何光学的基本实验定律1.直线传播定律：在均匀介质中，光总是沿直线传播的。（小孔成像，物体的影子）即：在均匀介质中，光线为一直线。2.介质表面时的反射定律和折射定理：折射定律：①折射线在入射线和法线决定的平面内；（三者一面）②折射线、入射线分居法线两侧；③3.独立传播定律：4.光路可逆原理：自不同方向或不同物体发出的光线相交时，对每一光线的传播不发生影响。即各自保持自己原有的特性，沿原方向继续传播，互不影响。在几何光学中，任何光路都是可逆的。①反射线在入射线和法线决定的平面内；②反射线、入射线分居法线两侧；③反射定律：由此，我们借助光线的概念，应用某些基本的实验定律及几何规律，来研究光的直线传播和成像问题§3.2费马原理光在均匀介质中总是沿直线传播的，光在非均匀介质中又是怎样传播的？费马借助光程的概念，回答了该问题。一、费马原理（1657年提出）1、表述：

光在空间两定点间传播时，实际光程为一特定的极值。即：光沿光程为最小值、最大值或恒定值的路程传播。2、表达式：nBAds3.说明：①意义：费马原理是几何光学的基本原理，用以描绘光在空间两定点间的传播规律。

②用途：A.可以推证反射定律、折射定律等实验定律。由此反证了费马原理的正确性.

③极值的含义：极小值，极大值，恒定值。一般情况下，实际光程大多取极小值。费马本人最初提出的也是最短光程。

B.推求理想成象公式。二、费马原理的证明1、直线传播定律：（在均匀介质中）2、折射定律：（在非均匀介质中）i2

n2

B‘

C‘’

A’

C‘

CBAn1

O’

OPMi1

XYZ如图示：Ａ点发出的光线入射到两种介质的平面分界面上，折射后到达Ｂ点。①折射线在入射线和法线决定的平面内只需证明折射点C点在交线OO’上即可.②折射线、入射线分居法线两侧i2

n2

B‘

A’

CBAn1

O’

OPMi1

XYZA、B、C点坐标如图示。沿此方向入射，必有③i2

n2

B‘

A’

CBAn1

O’

OPMi1

XYZ由于反射、折射定律是实验定律，是公认的正确的结论，所以，费马原理是正确的。同理：也可证明反射定律。§3.3单心光束实像和虚像光线在各种情况下的行进方向：成像问题是几何光学研究的主要问题之一。光学元件质量的高低是以成像质量来衡量的。为学习研究成像规律，首先介绍几个基本概念。一、单心光束、实像、虚像1、发光点：只有几何位置而没有大小的发射光束的光源。它也和光线一样，是一个抽象概念，一个理想模型，有助于描述物和像的性质。点光源就是一个发光点。若光线实际发自于某点，则称该点为实发光点；若某点为诸光线反向延长线的交点，则该点称为虚发光点。2、单心光束：有一定关系的一些光线的集合，称为光束。只有一个交点的光束，亦称同心光束。该唯一的交点称为光束的顶点。反之称为像散光束。发散单心光束会聚单心光束按照波动光学的观点，波面的法线即为光线，所以在各向同性的均匀光学介质中，单心光束与球面波相应；发光点在无限远的单心光束与平面波相应。实象：有实际光线会聚的象点。虚象：无实际光线会聚的象点。（光束反向延长线的交点）。当顶点为光束的发出点时，该顶点称为光源、物点。3、像、物实物点：发散的入射单心光束的顶点（P）虚物点：会聚的入射单心光束的顶点（P）P‘

PP’

P实像虚像对能保持单心性的光束，一个物点能且只能形成一个像点，即物与像形成一一对应关系。当单心光束经折射或反射后，仍能找到一个顶点，称光束保持了其单心性。即光束的单心性没有被破话，该顶点便是发光点的像，称为象点。

实象点：会聚的出射单心光束的顶点（P‘）虚物点：发散的出射单心光束的顶点（P’）二、实物、实像、虚像的联系与区别1、成像于视网膜上的只是光束的顶点而非光束本身。光通过浑浊的空间时，尘埃微粒作为散射光束的顶点被看到，而不是看到了光束本身；宇航员看到的洁净的宇宙空间是漆黑的，是由于没有尘埃作为散射源。2、人眼以刚进入瞳孔前的光线方向判断光束顶点位置单独用人眼无法直接判断顶点是否有实际光线通过实发光点实像虚像对人眼而言，无论是物点还是像点，是实像还是虚像，都不过是发散光束的顶点，二者之间没有区别。实物、实像、虚像的区别PP‘

P’‘

A：P与P’、P‘’P各处可见；而由于透镜大小的限制，P‘和P’‘仅在光束范围内可见。B：P’与P‘’

置一白纸于P’、

P‘’处，由于有实际光线通过，P’是亮点；由于无实际光线通过，P‘’处看不到光点。

光学系统实物成虚象光学系统物空间像空间实物成实象光学系统虚物成实象a.实物成实像

b.实物成虚像

c.虚物成实像d.虚物成虚像§3.4光在平面介面上的反射和折射光学纤维保持物、像在几何形状上的相似性，是理想成像的基本要求。保持光束的单心性是保持形状相似从而实现理想成像的保证。所以，研究成像问题就归结为研究如何保持光束单心性问题。一般情况下，光在介面上反射和折射后，其单心性不再保持。但只要满足适当的条件，可以近似地得到保持。接下来的两节，主要研究在不同介面反射、折射时，光束单心性的保持情况。一、光在平面上的反射DM’

MP‘

PCBA如图示：点光源P发出单心光束，经平面镜反射后，形成一束发散光束，其反向延长线交于一点P‘，且与P点对称。显然，反射光束仍为单心光束，说明在此过程中光束保持了其单心性，是一个理想成像过程——P‘是P的虚像。∴平面镜是一个不破坏光束单心性、理想成像的完善的光学系统。并且也是唯一的一个。二、光在平面分界面上的折射1、光束单心性的破坏xB1

B2

n2

n1

O

y

P2

P1

PP`i1

i2

i1+△i1

i2＋△i2

A1

A2

●●z介质n1中的发光点P发出单心光束经两面界面XOZ折射后进入介质n2，现取其中一微元光束（如图示），在XOY平面内，其折射光束的反向延长线交于P‘点，并与OY轴交于P1、P2两点。

各点坐标如图示：经计算（见附录3—1）可得（折射定律和三角关系可得）xB1

B2

n2

n1

O

y

P2

P1

PP`i1

i2

i1+△i1

i2＋△i2

A1

A2

●●z为此将该图绕y轴转过一个小的角度，则顶点为P的三角形△PA1A2展成一个单心的发散光束。将PA1、PA2沿OY轴旋转一微小角度成一立体微元，则：P、P1、P2三点不动，而交点P’将画出一小圆弧（近似视为垂直于XOY平面的一小段直线）。所以，光束内任一条光线与Y轴的交点均处在直线P1P2（弧矢焦线）内，但不相交；交点P‘也处在直线P’P‘（子午焦线）上，也不相交。即：发光点经折射后，成象为两条相互垂直的焦线而不是象点，称为象散。折射后，光束的单心性已被破坏。2、象似深度由任意两条光线光源P发出的狭窄的空间光束y物距y=60cm像距y`=40cm水n1=1.5空气n2=1例：水深度为60cm处有一个青蛙，在水面上方看到的青蛙上升了多少cm?解：像方折射率物方折射率像距物距上升的高度为H=(1-n2/n1)*(水深度)三、全反射光学纤维1、全反射：xA3

n2

n1

O

y

Pi1

i2

ic

A1

A2

只有反射而无折射的现象称为全折射。玻璃到空气的临界角

特殊情况：倏逝波原理：光束在全反射时折射波的性质在入射平面（xoz）内，透射的折射波：由折射定律：全反射时：如果：

所以：

倏逝波光强与界面入射深度

dp

的关系令：

得：

代表一个沿z方向传播但振幅在x方向按指数衰减的波，这种波称为倏逝波如P122图3.22、光学纤维单根构造：内层：外层：原理：∴在顶角为2i的园锥体内的光线，均能在光纤内顺利传播。直径约为几微米至几十微米的单根或多根玻璃(或透明塑料)纤维.（低损耗透明介质）光线在光纤内发生全反射时，入射角满足的条件全反射的应用——利用全反射规律而是光线沿着弯曲路程传播的光学元件。四、棱镜EDCB1、偏向角、最小偏向角：棱镜是一种由多个平面界面组合而成的光学元件。光通过棱镜时，产生两个或两个以上界面的连续折射，传播方向发生偏折。最常用的棱镜是三棱镜（如图示）。三棱镜两折射面的夹角称三棱镜顶角A。An2

n1

出射光与入射光之间的夹角称棱镜的偏向角。如果保持入射线的方向不变，而将棱镜绕垂直于图面的轴线旋转，则偏向角将跟着改变。也就是说，当折射棱镜角给定时，偏向角随着入射角的改变而改变。EDCBAn2

n1

说明：只要测出最小偏向角，就可以确定棱柱型透明物体的折射率。之所以利用最小偏向角而不用任意偏向角，是因为它在实验中最容易精确地被测定。(2)掠入射法

BCAq

2、应用棱镜光谱：当用白光入射时，由于折射率的不同，出射光将展开成彩带即光谱。所以，三棱镜也是一种分光装置。全反射棱镜：改变光路如右图示450

450

若光线自光疏介质进入光密介质，入射角大于折射角．当光线以90角入射(掠射)时仍有光线进入光密介质，此时的折射角亦为临界角．除掠入射光线1外，其它光线如光线2在AB面上的入射角均小于90，因此经三棱镜折射，最后从AC面折射进入空气时，都在光线的左侧．由于入射角i不可能比90大，因而在三棱镜内不可能出现比临界角大的光线，即AC

面上出射的光线中，没有比φ角小的折射光线，故称φ为极限角．当用望远镜对准AC

面观察时，视场中将看到明暗两部分，其分界线就是i=90的掠入射引起的极限角方向．热光源

线光源

棱镜的色分辨本领：

第四章2003年12月21日下午18时许，乌鲁木齐市东南方向地平线处的空中，隐约“飘浮”着几幢建筑物，大约25分钟后又消失在人们的视线中

。海市蜃楼分析

经常要用!试证双镜两次反射定理：光线被交角等于q的两镜面反射时，反射光线和入射光线的交角等于两个镜面交角q

的两倍。

例:解：根据几何学外角公式，由图可知而：故：i2

i1

两镜面间的成像个数：

§3.5光在球面介面上的反射和折射一、球面的几个概念符号法则

球面顶点：O球面曲率中心：C球面曲率半径：r球面主轴：连接O、C而得的直线。主截面：通过主轴的平面。

2、符号法则：为使计算结果普遍适用，对线段和角度正负取法的规定。1、基本概念：线段长度均从顶点算起：

A、凡光线与主轴交点在顶点右方者线段长度数值为正；凡光线与主轴交点在顶点左方者线段长度数值为负；

B、物点或像点至主轴的距离在主轴上方为正，下方为负。②光线的倾角均从主轴或球面法线算起，并取小于900的角度；由主轴（或法线）转向有关光线时：

A、顺时针转动，角度为正；B、逆时针转动，角度为负。（注意：角度的正负与构成它的线段的正负无关）沿轴线段垂轴线段新笛卡尔法则r

C

O主轴研究光在球面的反射和折射，是研究一般光学系统成像的基础。③图中出现的长度和角度只用正值。例：球面反射成像各量的正负。yQ无论光线从左至右还是从右至左，无论是球面反射还是折射，以上符号法则均适用。以下的讨论假设光线从左至右进行。二、球面反射对单心性的破坏

P

ACOP’

-s’

-r

-s-u

i-i`-u’从主轴上P点发出单心光束，其中一条光线在球面上A点反射，反射光与主轴交于P’点。即P’为P的像。按符号法则，各有关线段和角度的正负如图所示。s—物距s’—象距

P

ACOP`

-s`

-r

-s-u

i-i`-u`对给定的物点，不同的入射点，对应着不同的入射线和反射线，对应着不同的。对一定的球面和发光点P（S一定），不同的入射点对应有不同的S‘。即：同一个物点所发出的不同光线经球面反射后不再交于一点。由P点所发出的单心光束经球面反射后，单心性被破坏三、近轴光线条件下球面反射的物像公式1、近轴光线条件即：对一定的反射球面（r一定），Ｓ‘和Ｓ一一对应，而与入射点无关。∴由P点所发出的单心光束，经球面反射后将交于一点P‘，光束的单心性得以保持。一个物点将有一个确定像点与之对应。光学上称：很小的区域为近轴（或傍轴）区域，此区域内的光线为近轴光线在近轴光线条件下：像点称为高斯像点；研究物像关系的内容为高斯光学。2、物像公式焦点：沿主轴方向的平行光束经球面反射后将会聚于主轴上一点，该点称为反射球面的焦点(F’)。

ACOP`

-s`

-r

-sF`焦距：焦点到球面顶点的距离（）。它同样遵守符号法则。

说明：1、它是球面反射成像的基本公式，只在近轴条件下成立；2、式中各量必须严格遵从符号法则；3、对凸球面反射同样适用；4、当光线从右至左时同样适用。例题：3-1P129[例3-3]一个点状物放在凹面镜前0.05m处，凹面镜的曲率半径为0.20m，试确定像的位置和性质.COP`

s`-r

-sP[解]：设光线从左至右最后像是处于镜后0.1米处的虚像。当光线从右至左时，可得到相同结论。说明符号法则均适用四、球面折射对光束单心性的破坏

Pn

-u-i1

A

-i2

n`

u`CP`

O

r

-s

s`设n<n’

从主轴上P点发出单心光束，其中一条光线在球面上A点折射，折射光与主轴交于P`点。即P`为P的像。

Pn

-u-i1

A

-i2

n`

u`CP`

O

r

-s

s`对给定的物点，不同的入射点，对应着不同的入射线和折射线，对应着不同的。对一定的球面和发光点P（S一定），不同的入射点对应有不同的S‘。即：同一个物点所发出的不同光线经球面折射后不再交于一点。由P点所发出的单心光束经球面折射后，单心性被破坏五、近轴光线下球面折射的物像公式1、物像公式:2、讨论：当介质和球面一定时（n,n’,r

一定），S‘与S一一对应，即：在近轴光线条件下光束单心性得到保持。②当介质和球面一定时（n,n’,r

一定），计算时r取米为单位③物像公式对凹球面折射同样适用。物像共轭：P‘为P的像点，反之，当物点为P‘时，像点必在P点；这种物像可易性称为物像共轭。它是光路可逆原理的必然结果。其中：P、P’称为共轭点，光线PA、AP‘称为共轭光线。⑤物空间与像空间：规定：入射线在其中进行的空间——物空间；折射线（或折射线）在其中进行的空间——像空间。

Pnn`P`

O

-s

s`n`

-s`

PnP`

O

-s物空间像空间物空间像空间S‘>0:实像S‘<0:虚像虚像在物空间,但实际存在的是像空间的发散光束,故像方折射率仍为n’.

POP`

-s`

-s物空间像空间P’

Ps’

-s物空间像空间S‘<0:实像S‘>0:虚像⑥焦点、焦距F`

f`A、像方焦点F’、像方焦距B、物方焦点F、物方焦距nn`

O

-ss’

nn`

O

-ss’

F

-fC、∵“—”号表示永远异号，物、像方焦点一定位于球面两侧。⑦球面反射从数学处理上可视为球面折射的特例∵在球面反射中，物像空间重合，且入射光线与反射光线行进方向相反∴在数学处理方法上，可假设：物理上无意义六、理想成象的两个普适公式

1、高斯公式：高斯公式对任何理想成像过程均适用2、牛顿公式：

Pnn`CP`

O

r

-s

s`若将取值原点由顶点O改为物、像方焦点F、F‘，则有如下关系（如右图示）3、说明：①高斯公式、牛顿公式是近轴条件下理想成像的普适公式。只是在不同情况下，焦距的形式不同而已。牛顿公式

对任何理想成像过程均适用P133[例3.4]一个折射率为1.6的玻璃哑铃，长20cm，两端的曲率半径为

2cm。若在离哑铃左端5cm处的轴上有一物点,试求像的位置和性质。

O2

s1’

nn`

-s1

n

O1

-s2

-s2’

P1‘

P2‘

P[解]：两次折射成像问题。1、P为物对球面O1折射成像P1’

2、P1‘为物对球面O2折射成像也可用高斯公式、牛顿公式求解！§3.6光连续在几个球面上的折射虚物实际的光学系统大多由两个或两个以上的球面所构成。研究多个球面上的折射成像更具实际意义。一、共轴光具组1、定义：由两个或两个以上的球面所构成的，其曲率中心处在同一条直线上的光学系统，称为共轴光具组。该直线为共轴光具组的光轴。反之，称为非共轴光具组。2、共轴光具组的特点：①光在连续折射时，前一球面的像就是后一球面的物；通过前一球面的光束必须能全部或部分通过次一个球面，才能保证整个系统最后能够成像。——光线是近轴的。二、逐个球面成像法1、定义：依球面的顺序，应用成像公式逐个对球面求像，最后得到整个共轴光具组的像。2、方法特点及注意事项①必须在近轴光线条件下使用，才能得到最后像。②前一球面面的像是后一球面的物；前一球面的像空间是次一球面的物空间；前一球面的折射线是后一球面的入射线。（如上图所示）③必须针对每一个球面使用符号法则。对哪个球面成像就只能以它的顶点为取值原点，不能混淆。④计算次一个球面物距时要考虑两个球面间的距离。（如上图所示）三、虚物1、定义：会聚的入射光束的顶点，称为虚物。如上图中P4

发散的入射光束的顶点，称为实物。如上图中P1、P2和P3。2、说明：①实物、虚物的判断依据A、入射光束：发散——实物；会聚——虚物B、物所处空间：物空间——实物；像空间——虚物②虚物处永远没有光线通过。（实物不一定，如P1、P2有，P3

无）④虚物仍遵从符号法则。（如上图中S4>0）③虚物处像空间，但对应的却是物空间的会聚光束，故折射率就取物方折射率。（与虚像类似。如上图中P4：物方折射率为n4

§3.7薄透镜一、透镜1、定义：用玻璃或其它透明介质研磨抛光为两个球面或一个球面一个平面所形成的薄片。通常做成园形。2、分类：按表面形状分①凸透镜：中间部分比边缘厚的透镜。②凹透镜：中间部分比边缘薄的透镜。弯凸平凸双凸双凹平凹弯凹3、有关透镜的几个概念：主轴：两球面曲率中心的连线。——主截面：包含主轴的任一平面。有无穷个。注意：由于透镜为园形，主轴为其对称轴，所以各主截面内光线分布均相同，只需研究一个面内的成像就行了。孔径：垂直于主轴方向透镜的直径。厚度：两球面在主轴上的间距。——当透镜厚度与其曲率半径相比可以忽略不计时，称为薄透镜；当透镜厚度与其曲率半径相比不可忽略不计时，称为厚透镜。二、近轴条件下薄透镜的物像公式第一个球面：在近轴光线条件下，对透镜两面的折射过程分别应用球面折射成象公式（逐个球面成像法）：1、物像公式第二个球面面：对薄透镜，，略去后，两式相加得：薄透镜物像公式2、讨论：对薄透镜重合为一点，称为光心，它是薄透镜中所有长度量的取值原点。

②当光线从左至右时：当光线从右至左时，成像公式同样成立：③薄透镜的会聚和发散，不仅与其形状有关，还与两侧的介质有关：空气中的薄透镜④高斯公式⑥薄透镜简化模型⑤牛顿公式仍成立。凸透镜凹透镜1、定义：在近轴光线和近轴物的条件下，像的横向大小与物的横向大小之比。三、横向放大率2、说明：对处于同种介质中的薄透镜，像的性质判断：四、薄透镜作图求像法1、主轴外的近轴物点作图求象法是利用透镜光心、焦点、焦平面的性质，通过作图来确定象的位置或光的传播方向。在近轴条件下适用。

方法：利用如图所示的三条特殊光线中的两条，其折射后的交点即为所求像点。①②①②●③●③2、主轴上的物点物方焦平面：在近轴条件，过物方焦点F且与主轴垂直的平面。像方焦平面：在近轴条件，过像方焦点F‘且与主轴垂直的平面。付轴：焦平面上任一点与光心O的连线。有无穷条。焦平面的性质：OF`P`OP`F`OPFOPF物方焦平面像方焦平面利用物方焦平面第一条第二条付轴：P’

OPFP‘

BA利用像方焦平面OPF’P’

BAOPFP‘

BAOPFBA§3.8近轴物点近轴光线成像条件前几节研究了在近轴光线条件下，主轴上的发光物点的反射和折射成像规律。实际的物体总有一定的大小，它可以看成由无数个发光物点构成。这些发光物点有的在主轴上，有的在主轴外。因此，研究具有一定大小的物体的成像，就归结为研究主轴外的发光物点的反射、折射成像。一、费马原理的推论PQ

y-xAOh

P`Q`-y`费马原理：光在空间两定点间传播时，光程总是取极值。两点一定，其极值为一个确定值。无论这两点间有多少条实际光路，每条光路（即光线）的光程都必须且只能等于这个确定值。要使物体上的任一点Q（定点）理想成像于Q‘（另一定点），即从Q点发出的所有光线经反射或折射后均会聚于Q’，必须满足：从Q点发出的所有光线到达Q‘时，光程均相等。——费马原理的推论等光程成像原理，适用于所有理想成像过程二、近轴物近轴光线球面反射成像PQ

y-xAOh

P`Q`-y`A’

1、物像公式由近轴物点Q发出的光线，一条在球面顶点O处反射，另一条在球面任意位置A点处反射，两反射光交于Q`点。

由图可求得从Q点到Q`点的光程为：当反射点A的位置不同时，h值将不同，因而会得到不同的光程值。若要使Q点理想成像于Q‘点，由费马原理的推论，光程必须为唯一定值，即其光程与h无关。为此令上式中所有含h的项的系数为0，有：2、说明⑴上述①式实为，即主轴外任一物点经球面反射的成像公式，由于Q点的任意性，垂直于主轴的近轴物体亦满足此公式。⑵此公式是一般公式，对主轴外、主轴上的物点均适用。⑶当轴上物点P和近轴物点Q具有同一物距s值时，轴上象点P`和近轴象点Q`必有同一象距s`值，物和象具有几何相似性，即近轴光条件下近轴物可实现理想成象。

⑷上述②式反映了物与像的大小关系，可由图中几何关系直接得到。⑸从公式推导中可看出：主轴外物点要理想成像，必须满足近轴条件：

A、光线必须是近轴的；B、物点必须是近轴的。三、近轴物近轴光线球面折射成像1、物像公式

PQ

yOA

h+x

-s

s`P`Q`-y`

n

n`近轴物点Q发出的两条光线分别在球面的O点和A点发生折射，折射光交于Q`点。在近轴光线和近轴物点条件下，用二项式定理展开并略去高次项得：当折射点A的位置不同时，h值将不同，因而会得到不同的光程值。若要使Q点理想成像于Q‘点，由费马原理的推论，光程必须为唯一定值，即其光程与h无关。为此令上式中所有含h的项的系数为0，有：2、说明：⑴上述②式实为，即主轴外任一物点经球面折射的成像公式，由于Q点的任意性，垂直于主轴的近轴物体亦满足此公式。所以，它是一般公式，对主轴外、主轴上的物点均适用。

⑵由上述公式可知：若近轴线状物垂直于主轴，则其像为线状也垂直于主轴，满足理想成像条件。⑶上述①式反映了物与像的大小关系：例题3-3用一个焦距为20cm的凸透镜与一个平面镜组成共轴光具组，平面镜位于透镜右边10cm处，今置高为1cm的物体于透镜左方10cm处（系统处于空气中），（1）求最后成像的大小和性质；（2）作出准确的光路图。[解]：此题属三次成像问题。如图示。y1

y3

y2

y

F1

O1

F1'

O2

（1）物y对凸透镜s1=-10cmf1'=20cm∴由高斯公式有：

β1=s1'/s1=(-20)/(-10)=2y1=β1y=2×1=2cm（2）y1对平面镜s2=-10-20=-30cm∴s2'=-s2=30cmβ2=1y2=2cm（3）y2对凸透镜s3=30+10=40cmf3'=-20cm∴有β3=s3'/s3=(-40)/40=-1y3=β3y2=(-1)×2=-2cm∴最后成像在凸透镜左方40cm处，为放大、倒立的实像。光路图如下：y

y1

y3

y2

F1

O1

F1'

O2

§3.9理想光具组的基点基面对由多个球面组成的共轴光具组，在近轴条件下，可采用逐个球面成像法，应用单个球面的成像公式依次求解，得到最后像。事实上，实际共轴光具组由众多的球面所构成且球面与球面间相对位置关系并不知道，逐个球面成像法用起来并非简单、有效。能有更简单有效的处理方法吗？由薄透镜成像的计算法和作图法可知：只要知道了其几个基本位置（取值原点—光心、焦点），就可相当简单地求出像的位置和性质。这为求解多球面的共轴光具组问题，给予了启示。将复杂共轴光具组简单化，找出其类似于薄透镜光心和焦点的基本位置，用类似于薄透镜求像的方法，在根本不考虑光一其内部实际的传播路径的情况下，解决复杂共轴光具组求像问题。这是以下几节在解决的问题。为解决这一问题高斯提出了理想光具组的模型，建立了光具组的一般理论。一、理想光具组1、定义：能保持光束单心性，保持像和物在几何上的相似性的光具组，即能理想成像的光具组。2、说明：在高斯理想光具组中，物方的任一点、线、面，在像方均存在与其共轭的点、线、面。高斯理想光具组理论就是建立点与点、直线与直线、平面与平面之间的共轭关系的纯几何理论。理想光具组的近轴成像理论称为高斯光学；几何光学原理称为高斯光学原理。3、共轴光具组与理想光具组：在近轴区域内，实际光具组可看成理想光具组。在高斯理论中，除满足近轴条件外，并不要求光具组是“薄”的。研究光具组的成像问题，只需建立一系列的基点和基面（如主点、焦点、主平面和焦平面），利用它们就可描述光具组的主要光学特性，而不用去考虑光具组中的实际光路，使问题大大简化。由两个球面所构成的厚透镜是最简单的共轴光具组。由构成它的单球面的基点可求出整个光具组的基点基面位置。同样，采用逐个球面成像的思想，可求出任意多个球面所构成的共轴光具组的基点位置。二、空气中的厚透镜如图示，F、F’为厚透镜的焦点，Q‘为Q经厚透镜所成的像。在近轴条件下使用逐个球面成像法求解。研究发现，只要选择适当