晶体缺陷+位错的弹性性质

第5章位错的弹性性质晶体中存在位错时，位错线附近的原子偏离了正常位置，引起点阵畸变，从而产生应力场。本节讨论：位错的应力场位错的弹性能和线张力作用于位错上的力位错与位错间的交互作用位错的起动力——派-纳力应力内力：当固体受外力作用时，外力将传递到固体的各部分，因而固体的一部分对相邻的另一部分就会产生(或传递)作用力，这种力是内力，它作用在两部分物体的界面上。应力：作用在单位面积上的力

σ＝F/A某部分物体受的作用力是沿物体表面(界面)的外法线方向，则此力为拉力，它力图使该部分物体伸长。它所产生的应力就是拉应力。如果作用力和物体表面的外法线方向相反，则此力为压力，它力图使该部分物体缩短，它所产生的应力就是压应力。拉应力和压应力都和作用面垂直，统称为正应力。正应力用σ表示，并规定拉应力为正，压应力为负。正应力如果作用力平行于作用面，则此力称为切力，单位面积上的切力就称为切应力。它力图改变物体的形状，而不改变体积。在一般情形下，作用力和作用面既不垂直，也不平行。此时它所引起的应力便可分解为正应力和剪应力两个分量。切应力应力状态：通过某一点的所有平面上的应力分布为了表示一点的应力状态，通过该点作一个无穷小的平行六面体(单元体)，标出相邻的3个互垂面上的应力应力状态单元体每个表面上的应力代表该面外法线方向所指的材料对单元体的作用。①首先定位常用方法②取单元体直角坐标极坐标zyxP点处取一个微小的平行六面体θrP(x,y,z)zyx0P(r,θ,z)应力表示③取3个面上的9个应力分量zzszytzxtyztyysyxtxztxytxxsçççèæçççèæxyzxyz该分量的指向所在面的法向两脚标相同——正应力两脚标不同——切应力切应力用τ表示，并规定使单元体有顺时针旋转趋势的r为正，逆时针则为负。柱坐标dθzθrθrP(r,θ,z)zyx0zyxsyy

szz

txz

txy

tyz

tyx

tzy

tzx

sxxxy平衡状态，有切应力互等定律。否则六面体将发生转动。独立可变的应力分量只有六个，可唯一确定该点应力状态。应变分量的表示虎克定律：zyxtyx

baθ应变正应变：在正六面单元体中，三条相互垂直的棱边的长度在变形前后的改变量与原长之比ε，伸长为正，缩短为负。切应变：单元体的两条相互垂直的棱边，在变形后的直角改变量γ，直角减少为正，反之为负采用“弹性连续介质”模型进行简化计算。该模型对晶体作以下假设：

a.

完全弹性体

b.

各向同性

c.

没有空隙，由连续介质组成因此晶体中的应力应变是连续的可用连续函数表示。位错的应力场一、螺位错的应力场弹性体模型：圆柱体的应力场与位错线在z轴，柏氏矢量为b，滑移面为xoz的螺型位错周围的应力场相似：对圆柱体上各点产生两种切应力，即θLr0bzxyLbz过P点取平面展开rPP从这个圆柱体中取一个半径为r的薄壁圆筒展开，便能看出在离开中心r处的切应变为由于圆筒只在z轴方向有位移，在xy方向都没有位移，所以其他分量都为0：σrr=σθθ=σzz=σrθ=σθr=σrz=σzr=0采用直角坐标：只有切应力分量（τθz、τzθ），而无正应力。螺位错产生的切应力大小只与r的大小有关，即只与离位错线的距离成反比，而与θ、z无关。其应力场关于位错线是对称的。螺位错应力场的特点：弹性体模型：取各向同性的圆柱体，在其中心挖一个半径为r0的小洞;沿xoz平面从外部切通至中心;在切开的两面上加外力，使其沿x轴作相对位移b；再把切开的面胶合起来。此时，圆柱体内的应力场=刃位错的应力场。二、刃位错的应力场xyzbP直角坐标表示：正应力与切应力同时存在;对称于多余半原子面;滑移面上无正应力，只有切应力，且其切应力最大。正刃型位错的滑移面上侧，在x方向的正应力为压应力;滑移面下侧，在x方向上的正应力为拉应力半原子面或与滑移面成45°的晶面上，无切应力。刃位错应力场的特点：σxx

应力场xy681020

20

10

8

6

2

442位错的弹性能由于位错附近的原子离开平衡位置，使点阵发生畸变，因而晶体的能量增加，增加的能量就成为应变能E总=E中心+E外E中心：位错中心区(r<r0)由于原子严重错排引起的畸变能E外：中心区以外区域由于原子的微小位移引起的弹性能这里仅讨论E外，原因：弹性力学对r<r0时不适用位错在运动或与其他缺陷交互作用时，只有E外发生变化，从而影响位错的力学行为。FF一、螺位错的弹性能一截面积A0，长L0的棒，进行单轴拉伸，外力F，棒长L。LAFdLL0A0若外力再增加dF，棒再伸长dL，则棒中储存的应变能增量：总应变能：单位体积应变能：对于切应变有：εσε螺位错r处的切应变：zxyLr0rθdr单位长度螺位错的弹性应变能为：r0——核心半径，一般为2～3b若取r0＝2b，R＝2000b（亚晶尺寸），则Fe：G=0.7×1011N/m2，b＝3×10－10m，U螺≈3×10－9J/m二、刃位错的弹性能制造刃位错所作功=刃位错的弹性应变能（取υ＝1/3）>U螺3、混合位错的弹性能其中：k=1-v/(1-vcos2θ)，0.5≤α≤1ln)1(402rRGbU刃up-=（1）总应变能

UT=U0+Uel

Uel∝lnR/r0长程,可忽略。（2）UT∝b2，晶体中具有最小b的位错最稳定b大的位错有可能分解成b小的位错，以降低系统的能量（3）W螺/W刃=1-v，常用金属材料的v=1/3，故W

螺/W刃=2/3。所以螺位错比刃位错易形成。结论（5）从热力学考虑：ΔG=ΔU-TΔS，由于位错的存在，ΔU可上升几个以上电子伏特，而组态熵ΔS小，TΔS只有十分之几的电子伏特，所以位错的产生,ΔG>0，不稳定。相反空位等点缺陷是热力学稳定的缺陷。（4）两点间直线位错的总应变能低于弯曲位错，即直线位错更稳定。位错有尽量变直和缩短其长度的趋势。试计算铜晶体内单位长度位错线的应变能。试计算严重变形铜晶体单位体积内存储的位错应变能。已知铜晶体切边模量G＝4×1010N/m2，b＝2.5×10-10m，严重变形金属，晶体中位错密度可达1011m/cm3，铜的密度8.9g/cm31）单位长度位错线的应变能U为：

U＝αGb2

取值中限0.75

＝0.75×4×1010×（2.5×10-10）2

＝18.75×10－10J/m2）严重变形金属，单位体积（cm3）内位错应变能为：

U＝18.75×10－10×1011

＝187.5J/cm3换算成单位质量（g）铜晶体内位错的应变能为：

U＝（187.5/8.9）J/g

=21.07J/g例题位错的弹性能正比于它的长度，因此位错线力图缩短其长度，以达到最低的能量状态。为了描述其缩短趋势，引入位错线张力概念。二、位错的线张力定义：位错线增加单位长度时引起的弹性能增加。TT保持位错弯曲所需切应力与曲率半径成反比外力作用在晶体上时，晶体中的位错将沿其法线方向运动，通过位错运动产生塑性变形。为了研究问题的方便，把位错线假设为物质实体线，把位错的滑移运动看作是受一个垂直于位错线的法向力作用的结果，这个法向力称为作用在位错上的力。它是虚设的、驱使位错滑移的力，它必然与位错线运动方向一致，即处处与位错线垂直，指向未滑移区。5.4作用于位错上的力1.引起位错滑移的力外切应力作功切应力使晶体滑移所作之功：虚功原理：外力使晶体变形所做的功=位错运动所作的功F—位错线所受组态力┴┴lds┴┴ττF┴┴┴┴虚功原理图比较两式得：(1)刃位错

①f—单位长度位错线受力，方向，②只有作用于滑移面，且平行于位错b的切应力分量，才对滑移力有贡献。如图τ1，τ2均不能使位错运动，因此对滑移力无贡献。小结：┴┴ττ大小为，指向未滑移区。f利用虚功同样处理大小：方向：(2)螺型位错

F滑移力F与外加切应力τ关系刃位错在沿b方向上受正应力作用，将发生攀移运动。受拉，负攀移受压，正攀移攀移使晶体体积变化。负攀移，体积增大正攀移，体积缩小σσyxfc2.引起刃位错攀移的力σσyxdyb负攀移体积增大

dy·b·l比较上面两式：单位长度位错线受力：负号：σ为拉应力，

fC为负向下（取向上为正），作负攀移相反，作正攀移。fc设位错负攀移dy外力做功：攀移力FC

做功：结论：（1）位错线上的受力，是一种组态力，（因为位错运动只是特殊的组态传递，每个原子只运动一个b）因此它不同于位错附近原子间作用力，也区别于作用于晶体上的力.按位错运动方式不同，可分为滑移力和攀移力。（2）与外力的关系：刃位错，滑移力，攀移力螺位错（3）与的关系：滑移力且位错线各处受力相等，大小为τb，攀移力fc为-σb

。位错环，在方向上受外加应力场σ，设其中一位错元则位错线扫过的面积为，σ所作功为：虚功原理：移动了距离，3.一般情形下位错受的力任意位错EF的受力分析式中，是沿的单位向量在铜单晶的(111)面上有一个的右螺旋位错，式中a=0.36nm。今沿[001]方向拉伸，拉应力为106Pa,求作用在螺位错上的力。解：利用Peach-Koehler公式，得方向为y轴负方向练习若晶体存在一个位错，它周围便产生一个应力场，如果在其附近引入另一个位错，则前一个位错的应力场必对后一个位错有作用力。或者说两者之间有相互作用力。三、位错与位错间的交互作用1.平行螺位错间的作用力szyxs在位错线处，存在第一根位错的应力场：rP(r,θ,z)θf对组态力无贡献。∴第二根位错线所受的组态力：指向轴正向。两平行的相同的螺位错将排斥。异号位错将吸引，最后消失。2.平行刃位错间的作用力应力分量中只有正应力σxx

和切应力τyx

起作用，σxx只引起攀、移，这里并不考虑。，对组态力f没有贡献。

τyx作用在滑移面，且与平行，将引起位错的运动。zyx┴┴┴┴θrP(x,y)讨论：滑移力的方向取决于（x2－y2）项y＝0同号相斥x>yx<y

x＝0和x＝

y，但前者稳定，x>y区，刃位错将被推开

x<y区，刃位错向x＝0运动，达到稳定。形成小角度晶界。

位错墙xyfx＝0后者介稳。qD异号滑移力同号刃型位错易于沿垂直线排列同号滑移力异号刃型位错易于沿45°线排列第五节位错间的作用力同号异号同号排斥攀移力:同号吸引3、垂直螺位错间的作用力在(0,0)和(x,y)有平行Z轴的螺位错A及平行X轴的螺位错B位错A的应力场为B在此应力场中受力：同号相吸，异号相斥四、位错的起动力——派纳力位错中心存在极大的畸变，当位错扫过晶体时，必定伴随点阵原子重新排列，需要克服晶格阻力，派尔斯和纳巴罗，计算了单位长度位错线运动时的晶格阻力，即派纳力(Peirls-Nabarrostress)位错线//Z，b//X，滑移面⊥Y位错沿X轴方向滑移受到晶格的阻力。这项阻力等于使位错滑移必须加的切应力σyx，这个切应力被定义为晶格阻力，又叫派-纳力σP-N计算τP：→位错的形成模型→计算滑移面上部(A)和下部(B)之间的错排能εAB(也就是A一B层原子间的势能)以及位错线发生位移时εAB的变化→εAB对位错的位移求导1.P-N模型（简单立方）第一步：插入原子面,上下两个原子面相对移动b/2：注意，这一步操作并不产生应力。(1)模型建立AB注意：1、是错排面上任意两个同号原子之间的相对位移。2、是错排面上下两块晶体滑移面上原子的位移。这一步是原子之间相互吸引产生应变，也就有ux

位移。第二步：假设每个原子移动ux，则相邻原子相对应动2ux则同号原子之间相对位移：①

模型建立处，位错的影响消失，滑移面上下同号原子对齐，所以求的解：第一节P-N模型与P-N力

由于在※这就是必须满足的边界条件。②

边界条件第一节P-N模型与P-N力（1）假设是相对位移的正弦函数（周期为b）：当很小时，根据虎克定律：（2）把上下两块晶体视作连续弹性介质，则可以把位错线视作连续分布的小位错。在处范围内的柏氏矢量为：小位错在x处产生的切应力为：将其积分可以求出滑移面上的切应力：③μx表达式的求解第一节P-N模型与P-N力比较（1）和（2）两式可以得到积分方程：－位错的半宽度：；；第一节P-N模型与P-N力④

应力场求解进一步可以求出：注意：当时，该位错的应力场与连续介质中应力场相同。因此，P-N模型消除了连续介质模型在位错中心的奇异点。其中，——P-N位垒，用以表示位错周期势能。通过计算任意一对原子的错排能再通过求和得到整个滑移面的错排能；然后再利用傅立叶求和公式，求出位错在任意位置的错排能（刃型位错）：如果位错偏离对称位置时（的分数），则：

如果位错恰好在对称位置时，可以近似地认为原子的位置为：①

Peierls

位错的能量2.晶格阻力与P-N力是一个很重要的参数，用以表示位错周期势能，是晶体的一个性质。不同点阵类型的不同当位错从一个平衡位置移动到另一个平衡位置时，必须翻越这个能峰。所以，的大小会影响到位错的可动性。，FCC的低。BCC的高，第一节P-N模型与P-N力②

晶格阻力晶格阻力在数值上等于：晶格阻力表达式的特点：作用在单位长度位错线上的晶格阻力周期力。当时，F达到极大值:③P-N力晶格阻力用切应力来表达克服晶格阻力所施加的临界切应力称之为P-N应力：a:滑移面间距b:柏氏矢量(滑移方向上的原子间距)位错宽度与位错移动性关系(a)w大;(b)w小;(c)位错移动性与W的关系规定：位错中心向两边延伸至原子偏离原来自身平衡位置1/4b

时为止的宽度位错宽度晶体中已滑移部分和未滑移部分间的过度区对派纳力公式的理解1.一般情况下，a≈b，v≈0.3，可得τP-N＝10-3~10-4G，比理想晶体的屈服强度(约G/30)小得多，接近实验值。2.当a取值最大，即在晶体密排面滑移，b取值最小，即在密排方向滑移，τP-N最小，与晶体滑移系机制相符。3.ω越窄，τP-N越大，位错越难进行滑移。塑形晶体中的位错宽度ω很大，可达10个原子间距脆性晶体中的位错宽度ω很小位错与溶质原子的交互作用溶质原子引起周围晶体发生弹性畸变而产生应力场。溶质原子通过应力场与位错发生弹性交互作用，使体系能量U降低。U0——点缺陷的应变能Ue

——位错的应变能UID——当溶质原子移近位错时，体系能量的改变值U=U0+Ue+UID假想在连续弹性介质中挖一球形孔洞，半径为r0(溶剂或间隙半径)，然后填入一个半径为r1(溶质半径)的小球。若无位错，该过程只反抗周围介质做功，该能量为U0，有位错时，除U0外，该过程还需反抗位错应力场σij做功，该能量即弹性交互作用能UID。因为点缺陷引起球形对称畸变，位移始终垂直于球面，故应力场中σij在球面上产生的切应力做功为0。（∵没有切应变），只有σrr对溶质原子做功。r1r0στyxθr1r0γσrr＝1/3（σxx＋σθθ＋σzz）在位移Δr=r1－r0

过程中，孔洞周围体积改变ΔV，反抗位错应力场做功：

ΔW＝σrrΔV则位错与点缺陷的交互作用能UID=ΔW将刃位错应力场代入得：r1r0στ-讨论：要使溶质原子处在晶体中稳定位置，必须使UID为负。大原子置换间隙原子①当ΔV>0（即r1>r0)时，在y<0处UID为负，表明比基体原子大的置换或间隙原子，倾向处于刃位错下侧。③置换原子，间隙原子,④螺位错由于不产生正应力，

②当ΔV<0

（即r1<r0)时，在

y>0处UID为负，表示比基体原子小的置换原子，倾向于处在正刃型位错的上侧。Umax＝0.05~0.1evε＝1～4％，

弱强ε＝6～20％，Umax＝0.2~0.5ev与球形对称的点缺陷无交互作用。讨论：小置换原子2、柯氏气团无位错时，