矢量场,标量场,散度,梯度,旋度的理解

1•梯度gradient时间：2021.03.09创作：欧阳法设体系中某处的物理参数（如温度、速度、浓度等）为w,在与其垂直距离的dv处该参数为w+dw,则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被成为梯度。在二元函数的情形，设函数z二F(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)€D,都可以定出一个向量(8f/x)*i+(8f/y)*j这向量称为函数z二F(x,y)在点、P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y)类似的对三元函数也可以定义一个：(8f/x)*i+(8f/y)*j+(8f/z)*k记为grad[f(x,y,z)]2•散度气象学中指：散度指流体运动时单位体积的改变率。简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。表示辐合、辐散的物理量为散度。微积分学一多元微积分―多元函数积分中：设某量场由A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x.y,z)j+R(x,y,z)k给出，其中P、Q、R具有一阶连续偏导数，刀是场内一有向曲面，n是刀在点、(x,y,z)处的单位法向量，则f/A-ndS叫做向量场A通过曲面E向着指定侧的通量，而8P/8x+8Q/8y+6R/82叫做向量场A的散度，记作divA,即divA二8P/8x+8Q/8v+8R/82©上述式子中的§为偏微分(partialderivative)符号。3旋度表示曲线、流体等旋转程度的量4.矢量和标量场假设有一个三维空间，显然空间的每一个点都能用坐标(X,V,2)唯一地标识出来。假如给空间的每一个点都赋予一个数字，那么整个空间就充满了数字。此时，这个充满数字的三维空间在数学上就叫做“场”。上述的场叫做标量场，因为单纯的一个数字叫做“标量(scalar)"。如果我们给空间的每一个点、都赋予一个矢量(vector),即一个既有大小，又有方向的东西，那么整个空间就变成充满了矢量，这个空间就叫做矢量场。矢量场中的每一点都对应于一个矢量，而矢量能够根据规则进行各种运算，例如加、减和乘等(数学上没有矢量的除法）。显然，我们可以对整个矢量场中的每一个矢量同时进行某种运算，例如同时将它们乘以一个数，或加上一个数等。但是我们可以对整个矢量场进行一些更复杂的运算，其中散度就咼其中一种。三维空间中的一个矢量可以沿x、y和z方向分解，现假设空间的某一点被赋予的矢量能够沿着这3个方向分解为大小为P、Q和R的三个分量，表示为（P,Q,R）o注意，由于空间中每个点被赋予的矢量一般来说是不同的，所以P、Q和R的大小在空间的不同的点一般有不同的值，也就是说P、Q和R中每一个都是x、y和z的函数。对三维矢量场来说，我们可以对其中一个点的矢量，假设为（P,Q,R）进行以下操作：1、 求出dP/dx+dQ/dy+dR/dz的值,其中dP/dx表示求P对x的一阶偏导数，其余雷同；2、 将这个值赋予这个点对整个矢量场的每个点均进行以上运算，就等于给整个三维空间的每个点都赋予了一个值，于是我们就得出了一个新的标量场，这个标量场就叫做原来的矢量场的散度(divergence),这种运算就叫做“对矢量场取散度”o除了散度运算以外，我们还可以对矢量场进行其它的运算，例如旋度