数理方程课件第一章典型方程与定解条件

汤燕斌华中科技大学数学与统计学院tangyb@数学物理方程与特殊函数2/3/20231数学物理方程与特殊函数☆

数学和物理的关系☆

课程的主要内容数学和物理从来是没有分开过的☆

数学物理方程的定义用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。三种方程、四种求解方法、二个特殊函数分离变量法行波法积分变换法格林函数法波动方程热传导拉普拉斯方程贝塞尔函数勒让德函数2/3/20232哈密尔顿算子或梯度算子，读作nabla

拉普拉斯算子微积分知识回顾与梯度算子有关的场论运算平面上的拉普拉斯算子常微分方程的求解：常见的一阶方程、可降阶高阶方程、二阶线性方程傅里叶级数理论：傅里叶级数及其系数、正弦级数、余弦级数2/3/20233☆拉普拉斯方程：☆热传导方程：☆波动方程：三类偏微分方程

两种特殊函数

贝塞尔方程勒让德方程琴弦的振动；杆、膜、液体、气体等的振动；电磁场的振荡等热传导中的温度分布；流体的扩散、粘性液体的流动空间的静电场分布；静磁场分布；稳定温度场分布的解：贝塞尔函数的解：勒让德函数2/3/20234一、基本方程的建立第一章一些典型方程和定解条件的推导二、定解条件的推导三、定解问题的概念2/3/20235常见数学物理方程的导出确定所要研究的物理量u，比如位移、场强、温度根据物理规律建立微分方程通过合理的数学近似对方程进行化简数学物理方程定解问题的提法泛定方程（波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程）定解问题：定解条件（初始条件，边界条件）2/3/20236一、基本方程的建立条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近作微小横振动。不受外力影响。例1、弦的振动研究对象：线上某点在t时刻沿纵向的位移。2/3/20237弦振动的相关模拟2/3/20238弦振动的相关模拟2/3/20239弦振动的相关模拟2/3/202310弦振动的相关模拟2/3/202311波的传播的相关模拟2/3/202312弦振动的相关模拟2/3/202313简化假设：(2)横向振幅极小，

张力与水平方向的夹角很小。(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。牛顿运动定律：横向：纵向：其中：其中：2/3/202314其中：………一维波动方程令：------非齐次方程自由项--齐次方程忽略重力作用：2/3/202315从麦克斯韦方程出发：在自由空间：例2、时变电磁场2/3/202316对第一方程两边取旋度，根据矢量运算：由此得：得：即：同理可得：——电场的三维波动方程——磁场的三维波动方程2/3/202317例3、热传导所要研究的物理量：温度根据热学中的傅立叶试验定律在dt时间内从dS流入V的热量为：从时刻t1到t2通过S流入V的热量为高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分）热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有热量从高温处流向低温处。热场2/3/202318流入的热量导致V内的温度发生变化流入的热量：温度发生变化需要的热量为：热传导方程热场如果物体内有热源，则温度满足非齐次热传导方程2/3/202319例4、静电场电势u确定所要研究的物理量：根据物理规律建立微分方程：对方程进行化简：拉普拉斯方程

泊松方程2/3/202320同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件。二、定解条件的推导其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。2/3/202321初始时刻的温度分布：B、热传导方程的初始条件C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件不含初始条件，只含边界条件条件A、

波动方程的初始条件1、初始条件——描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初速度2/3/202322(2)自由端：x=a

端既不固定，又不受位移方向力的作用。2、边界条件——描述系统在边界上的状况A、波动方程的边界条件(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：或：(3)弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k的弹簧的支承。或第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件2/3/202323B、热传导方程的边界条件(1)给定温度在边界上的值(S为给定区域v的边界)(2)绝热状态(3)热交换状态牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。交换系数；周围介质的温度,第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件C、拉普拉斯方程的边界条件2/3/2023241、定解问题三、定解问题的概念(1)初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；(2)边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；(3)混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。2、定解问题的适定性

解的存在性：定解问题是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的稳定性：定解条件微小变动时，解是否有相应的微小变动。2/3/202325(4)

按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分方程；(5)按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程3、微分方程一般分类

(1)按自变量的个数，分为二元和多元方程；(2)按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和非线性微分方程；(3)按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶和高阶微分方程；2/3/202326线性方程的解具有叠加特性4、叠加原理

几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果的累加。(物理上)判断下列方程的类型思考2/3/2023275、微分方程的解

古典解：如果将某个函数u代入偏微分方程中，能使方程成为恒等式，且方程中出现的偏导数都连续，则这个连续函数就是该偏微分方程的古典解。通解：解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同的任意常数的解。特解：通过定解条件确定了解中的任意常数后得到的解。形式解：未经过严格数学理论验证的解为形式解。6、求解方法分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法2/3/202328四、两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类

两个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式(1.4.1)其中，都是区域上的实函数，并假定它们是连续可微的。

若在区域上某点处满足则称方程(1.4.1)在点处是