数学思想方法归纳与数学归纳法

归纳一、归纳的特点与类型二、归纳法三、不完全归纳法与完全归纳法四、归纳与数学学习五、数学归纳法归纳大数学家拉普拉斯指出：在数学里，发现真理的主要工具是归纳和类比，通过观察、实验、等途径，人们可以获得有关数学研究对象的大量的经验材料，这是发现数学真理必要的基础，但还需要利用归纳法对经验材料进行处理，以期发现数学对象的本质和对象之间的内在联系，达到发现数学真理的目的。归纳就是从特殊的具体的认识推进到一般的抽象的认识的一种思维方式。它是科学发现的一种常用的有效的思维方式。一、归纳的特点1、归纳是依据特殊现象推断一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的内容。2、归纳是依据若干已知的不完尽的现象推断尚属未知的现象，因而结论具有猜测的性质。3、归纳的前提是单个的事实、特殊的情况，所以归纳是立足于观察、实验或经验的基础上的。二、归纳法归纳法就是通过对某类事物（数学对象）的个别或部分对象的研究得出关于该类事物的一般结论的方法，也就是由特殊到一般的推理方法，归纳法又被称为归纳推理。由一个或数个已知判断（前提）推出未知判断（结论）的思维形式叫做推理，推理一般分为演绎推理和合情推理。合情推理：同真前提或然地得出结论的推理，归纳推理属于合情推理，归纳得到的结论在未加证明之前仅是一种猜想，可能真也可能不为真。演绎推理：真前提必然地得出真结论的推理。归纳推理的原理A的一个非空子集A1中的每一个元素a都具有性质pA中每一个元素a都具有性质P思考：多面体的面数F，顶点数V，棱数E之间的关系例多面体的面数F，顶点数V，棱数E之间的关系多面体面数F顶点数V棱数E立方体6812三棱柱569五棱柱71015方锥558三棱锥446五棱锥6610分析结果得到什么结论？

分析这些特例的数据的基础上可以归纳出一个结论：F+V=E+2

尽管这时还不能认为这个结论是正确的，但是它为我们提供了一个研究方向，即根据这个结论再去证实它是符合一般多面体的情形。例2，已知函数f(x)=求f[f[...f(x)]]的值？结果你想到了吗？f[f[...f(x)]]=确定因果关系的归纳方法1、归纳法：完全归纳法和不完全归纳法2、确定因果关系的五种逻辑方法（1）求同法（2）求异法（3）求同求异法（4）共变法（5）剩余法1、求同法某种被研究的对象，在几种不同的情形下都出现，而在各种情形中只有一个条件是共同的，于是就可以认为这个条件是被研究现象产生的原因。情形各种条件被研究的现象一ABCa二ADEa三AFCa由上可以认为A是a的原因例如：伽利略观察到，摆场相等振幅不相等时，摆动一个周期的时间不变，于是肯定了摆长是周期的决定因素。2、求异法某种被研究的现象a，只在第一种情形出现，在第二中情形不出现，而一、二两种情形除一中有条件A而二中没有条件A外，其余条件都相同，可以认为A是现象a产生的原因或者部分原因。可以认为A是a产生的原因或者部分原因例如：在种子、土地、气温相同的条件下如果施用有机肥料就可以增产，若不施用有机肥料则产量低就可以说明使用有机肥是增产的原因。情形各种条件被研究的现象一ABCa二BC-3、求同求异法在一系列的情形中，凡有条件A的都有现象a出现，凡是没有条件A的则现象a不出现，则可以认为A是a的原因。这种方法比单纯的求同法或是求异法更为可靠。情形各种条件被研究的现象一ABCa二ADEa三AFGa四MN-五XY-六BCDEFG-4、共变法在一系列的情形中，其余条件保持不变，只把条件A作大小强弱的变化，如果由此也只是引起现象a的大小强弱的变化，则可以认为条件A是现象a的原因。例：共变法多用于确定两种因素之间的量的依存关系，用柱面图或曲线表示两个变量之间的关系也是共变法的一种体现。情形各种条件被研究的对象一A1BCa1二A2BCa2三A3BCa35、剩余法一组条件引起一组现象，如果出去条件A和现象a外，可以确认其余条件是其余现象的原因，就可以认为A是现象a的原因。

例：含铀的沥青矿可以发出放射线，居里夫人已经掌握了这种放射强度，一次居里夫人从含铀的沥青矿中发现了超乎寻常的放射强度，于是她推测应当有另一种放射性元素存在，经过艰苦的工作她终于发现了镭元素。情形各种条件现象一ABCabc二Bb三Cc三、不完全归纳法与完全归纳法

古代有一个笑话，财主儿子学识字，请了一位先生教他“一”是一横，“二”是二横，“三”是三横。财主的儿子一听，认为识字如此容易，就把先生辞退了。事后，他父亲让他给一个姓万的朋友写一幅请帖，等了半晌，问为什么还没有写好，他很不耐烦地说：“才写到五百了……天底下这么多姓，姓啥不好，这个人为什么偏偏姓万呢！”不完全归纳法

这个笑话说明，不完全归纳法得出的结论是不可靠的，因为它是把对部分对象的认识得出的结论推广到了一般，带有很大的片面性。f(n)=n2+n+41，当n=1，2，3，…，39时，f(n)的值都是质数。而当n=40时，f(n)的值是412，显然不是质数。因此，通过不完全归纳得出f(n)对于所有的自然数都是质数的结论是不对的。不完全归纳法归纳是解决许多数学问题常用的探索过程，猜想的结论是否正确，最终还需严格证明，或通过举出反例予以否定。在很多情况下，应用不完全归纳法探索出的对某些规律性的认识，其结论往往超出了前提所包含的范围，具有某些猜测的性质。因此，不完全归纳法作为逻辑推理是不严密的。但是，不完全归纳的作用仍然不可小觑，在探索问题的过程中，这些方法能给人们提供研究的方向和线索，帮助人们比较迅速地发现事物的规律。因此，《课标》把这些“从已有的事实出发凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果”的推理形式称为合情推理。完全归纳法

完全归纳法可以作为严格的推理论证方法。因为如果考察所有各种个别情形得出的结论是真实的，那么根据这些真实结论所得到的一般性结论也毕竟是真实的，一般地，用完全归纳法进行推理时，要用分类方法对考察对象的各种特殊情形都要进行讨论，不重复也不能遗漏。例如，在证明“圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半”时要分三种情况：圆心在圆周角的边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部。但是，完全归纳法适用于那些研究对象的个体或其非空真子集是有限的情况，而对于那些是无穷无尽的情况，不可能一一枚举。因此，完全归纳法在实际应用中有很大的局限性。四、归纳与数学学习

作用和意义：整理由观察、实验得到的经验材料，是进一步进行比较、分析、抽象概括的基础。归纳是数学发现与创新的一种方法，它从经验材料推断普遍特性，所以，它有发现新知识和探索真理的作用。在学习中学数学中的一些概念、公式及定理时，归纳法更符合学生的认知特点，也符合人们从特殊到一般的认识规律。有些公式和定理，由于受学生知识结构的限制，只能让学生暂时接受其真实性，用归纳法给出而不加证明的。在解题过程中，归纳法也是探索发现解决问题的常用方法。四、归纳与数学学习

应注意的问题：一方面要让学生认识不完全归纳法既有一定的逻辑依据，又不具有充分的逻辑依据的特点，因此对归纳所得的结论必须证明才能信以为真另一方面要向学生说明，哪些结论是应该证明，也可以证明，只是目前受知识结构限制，暂时不能证明的。四、归纳与数学学习

如何对待归纳的或然性？归纳是冒风险的，对于归纳的或然性结论应该采取什么科学态度？美籍匈牙利数学家波利亚提出：

（1）我们应当随时准备修正我们的任何一个信念；

（2）如果有一种理由非使我们改变信念不可，我们就应当改变这一信念；

（3）如果没有某种充分的理由，我们不应当轻率地改变一个信念。

要做到这三点，需要有“理智上的勇气”、“理智上的诚实”和“明智的克制”。因此，波利亚认为，这是科学家应有的道德品质。五、数学归纳法

数学归纳法是一种证明与正整数n有关命题的常用方法，操作步骤简单、明确，关键有以下两个步骤：（1）证明n=1（或n的第一个可取值不是1，而是其他正整数）时，命题是正确的。（2）假设n=k时命题成立，从而能推得n=k+1时命题也正确。我们可以回想一下小时候对正整数的认识过程。首先，父母教我们数1，后来数2，有2必有3，每一个正整数后面都有一个正整数，于是我们说会数数了。事实上，数学归纳法正是基于这样一个简单的道理。利用数学归纳法证明时，上述两个步骤缺一不可。如果只有第一步而没有第二步，则属于不完全归纳法，做出的结论不一定真实；如果仅有第二步而无第一步，结论也不一定正确。

例：证明所有正整数都相等。证明：只要证明等式n=n+1(n为正整数)成立就行。以下用数学归纳法证之：设第k个正整数等于第k+1个正整数，就是k=k+1两边同加上1，得k+1=k+2，这就是说，第k+1个正整数等于第k十2个正整数，原命题得证。这就是仅有第二步而无第一步造成的错误。试验、归纳与数学归纳法

例在直角三角形ABC中，a，b为直角边，c为斜边，n为正整数，比较an+bn与cn的大小。

试验是归纳的基础，归纳才是试验本质的“飞跃”。归纳正确与否经数学归纳法证明可知，数学归纳法起保驾护航之功效。参考文献1、杨启贤.数学思想方法解读.郑州：河南大学出版社，20122、高存明.普通高中课程标准实验教科书.人民教育出版社，