数学中的推理和证明

逻辑基础与数学教学§3数学中的推理和证明一、数学中的推理1推理的意义及其结构

推理是从一个或几个已知判断作出一个新的判断的思维形式。

§3数学中的推理和证明※什么是推理？推理中常用到的逻辑联结词有：“因为……，所以……”；“由于……，因此……”；“由……，得……”等.

每一个推理都由前提和结论两部分组成。所依据的已知判断叫做推理的前提，得出的新判断叫做推理的结论。※推理的结构例1：

因为个位是0或5的整数能被5整除，275个位数字是5；所以

275能被5整除.这就是一个推理.其中前两个判断是这一推理的前提，最后得出的新的判断就是这一推理的结论.一个正确的推理，必须是推理的前提真实，推理的形式有效(能够推出，遵守推理规则).例2：因为负数大于0，-5是负数，所以-5大于0.例3：因为整数是有理数，分数是有理数，

所以整数是分数.以上两个例子都不是正确的推理.(为什么？)规则5

若“如果p，那么q”真，且“如果q，那么r”真，则“如果p，那么r”真。规则3

若“如果p，那么q”真，且非q真，则非p真。规则4

若p或q真，且非p真，则q真。2推理的规则规则1

若p且q真，则p真；若p且q真，则q真。规则2

若“如果p，那么q”真，且p真，则q真。凡是正确的推理形式，就是推理的规则.中学数学中常用的推理规则有：规则6

若集合A中的每一个元素x，都具有属性F，则集合A

的任一非空子集B中的每一个元素也具有属性F。这条规则是逻辑上的一条演绎推理规则，它是作为公理提出来的，它保证了由全称命题真可以推出相应的特称命题真.在中学数学的推理中，还有一些逻辑恒真命题，它们都可以作为推理规则使用.例如：

(1)p→p；﹁(﹁p)→p；

(2)﹁(p→q)→(p→﹁q)；

(3)(p→q)→(﹁q→﹁p)；

(4)(p→q)∧(q→p)→(pq)；

(5)﹁(p∨q)→(﹁p∧﹁q)；

(6)(p→q1)∧(p→q2)→(p→q1∧

q2)；

(7)(q1→p)∧(q2→p)→(q1∨q2→p).3推理的种类（1）归纳纳推理

归纳推理，又称归纳法，它是又特殊到一般的推理。归纳推理可分为完全归纳推理和不完全归纳推理。

①完全归纳推理：也称完全归纳法，是根据某类事物中每一对象的情况或每一子类的情况，作出关于该类事物的一般性结论的推理。

②不完全归纳推理：也称不完全归纳法，是根据某类事物中一部分对象的情况，作出关于该类事物的一般性结论的推理。归纳推理完全归纳枚举法(对象有限)数学归纳法(对象无限)不完全归纳法★枚举法举例

例4证明在圆内同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍.

证明(略)：(分三种情况进行枚举归纳，即圆心在圆周角的一条边上，圆心在圆周角内，圆心在圆周角外)(作出图形进行分析说明)★数学归纳法举例例5圆上一点至内接偶数多边形相间各边距离之积,等于该点至其余各边的距离之积.已知：是圆内接边形,圆上一点P到各个边所在直线……的距离依次记为.求证：=证明：(1)当n=2时，即可述为如下命题：从圆上一点到内接四边形ABCD各边做垂线PE、PF、PG、PH,则.(如图)易证,从而易得.即当n=2时命题成立.PP(2)设定理对于n成立,证明它对于n+1也成立.如图,由归纳假设对于2n边形有=.而对于四边形有.两式相乘约去因子p.即得求证.故,对取任意自然数命题都成立.Pp★不完全归纳举例

例6凸n边形内角和为

.（2）类比推理

类比推理，又称类比法，它是由特殊到特殊的推理，即根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理。B类事物具有性质P类比推理的一般形式是：类比推理是一中或然性的推理,它只能给人们提供线索、启发人们思考和发现问题,结论是否正确,还必须借助其他方法验证.★类比推理举例

例7在直角三角形中,有勾股定理.相应的,取空间中这样的四面体:它的三个面是直角三角形,把这四面体的这三个面看成直角三角形的直角边,而把第四面看作斜边.又把这四面体的面积看作直角三角形相应的各边长.于是猜想命题”……那三面的面积的和等于第四面的平方”

类比勾股定理（3）演绎推理

演绎推理，又称演绎法，它是一种由一般到特殊的推理，即以某类事物的一般判断为前提，作出这类事物的个别、特殊判断的思维形式。演绎推理的前提与结论间有着必然的联系，只要前提是真实的，推理符合推理规则(形式有效)，就一定能得到正确的结论.因此，它是一种论证推理，可以作为数学中严格的推理方法.演绎推理的形式多种多样，数学中运用最普遍的有三段论和关系推理，此外，还有选言推理、联言推理、假言推理等.①三段论：由两个包含着一个共同项的性质判断而推出一个新的性质判断的推理。其理论依据是“规则6”(演绎公理)，其一般形式为：因为M中的元素具有(或不具有)PS∈M所以S具有(或不具有)P三段论的结构包括大前提、小前提和结论三个性质判断

.(大前提)(小前提)(结论)大前提是反应一般原理的判断；小前提是反映个别对象与一般原理联系的判断；结论是由大前提、小前提推出的判断.例8：因为正数大于零（大前提）5是正数（小前提）所以5大于零（结论）

例9：凡矩形对角线相等，(大前提)

正方形是矩形,(小前提)

所以,正方形对角线相等.(结论)

数学中的三段论,为了叙述简便,常常略去一个前提(多半是大前提),有时甚至略去小前提只写出结论.

例10(如图)D是线段BC的中点,过D引射线,A是射线上任一点.求证:∠ACB,∠ABC的大小顺序不变,与A的位置无关.

(以下对证明过程进行剖析)证明：不妨设∠ACB

＞∠ABC,在射线DA上任意取一,即需证明

.因为∠ACB＞∠ABC

所以,AB＞AC(三角形中大角对大边)

则∠ADB＞∠ADC(两三角形若有两边对应相等,则第三边大者对角也大)

因而（两三角形若有两边对应相等,则夹角大者对边也大)

则（三角形大边对大角）

②关系推理：是根据对象间关系的逻辑联系（如对称、传递等）进行推演的推理形式。它的前提和结论都是关系判断。设a,b,c表示对象，R表示关系(如“相等”、“平行”、“大于”等关系).那么，两对象间的关系判断可表示为“aRb”.关系推理又可以分为直接关系推理和间接关系推理★直接关系推理——从一个关系判断推出另一个关系判断称为直接关系推理.直接关系推理常见的有对称关系推理与反对称关系推理.若一个关系R具有对称性,称为对称关系推理.即aRb

bRa.例如：“相等”、“平行”、“相似”、“垂直”等都具有对称性.若R具有反对称性，称为反对称性关系推理.即.例如：“大于”、“小于”、“整除”、“包含”等都具有反对称性.★间接关系推理——由两个或两个以上的关系判断进行的推理称为简介关系推理.简介关系推理常见的有可进行传递关系推理和可进行反传递性关系推理.若关系R具有传递性,称可进行传递关系推理,即(aRb)∧(bRc)aRc.例如：“相等”、“相似”、“平行”、“大于”、“小于”、“整除”等关系，都具有传递性.若R具有反传递性,称可进行反传递性关系推理，即(aRb)∧(bRc).

例如：“垂直”关系在平面中是反传递关系，在空间是非传递性关系.

③联言推理——根据联言命题的逻辑性质而进行推演的推理，它的前提或结论为联言命题.从联言命题p∧q的真值表易知，p∧q为真，当且仅当p、q皆真.据此，可以得到联言推理的分解式和组合式两种基本的推理形式.★联言推理的分解式——由联言命题p∧q为真，推演出它的合取项p、q为真的推理，称为联言推理的分解式.即(p∧q)p，(p∧q)q.例如：联言命题“2是偶数且2是素数”为真，可以推演出它的两个合取项“2是偶数”、“2是素数”都是真命题.★联言推理的组合式——由命题p、q全为真，推演出它们的联言命题p∧q为真的推理，称为联言推理的组合式.例如：如果已知前提“x>0”及“x<5”都真，则可推出联言命题“(x>0)∧(x<5)”为真,即“0<x<5”.为真.联言推理的分解与组合还可以推广到两个以上命题组成的联言命题的情形.

④选言推理——根据宣言命题的逻辑性质而进行推演的推理，它的前提中有一个是选言命题.从选言命题的真值表可以看出,当p∨q和﹁p皆为真时，q必真.例如：如果命题“a≥0”、“a≠0”都是真的，那么推出“a>0”为真.

⑤假言推理——根据假言命题的逻辑性质而进行推演的推理,它的前提至少有一个是假言命题.从假言命题的真值表可以看出：当p→q真且P为真时，q必真；当p→q真且﹁q真时，﹁p必真.由此得到假言推理的肯定式和否定式两种基本的推理形式.★肯定式——肯定假言命题p→q的前件p,从而肯定它的后件q的推理.例如：“若∠1和∠2是对顶角，则∠1=∠2”真，“∠1和∠2是对顶角”真，推出“∠1=∠2”真.★否定式——否定假言命题p→q的后件q，从而否定它的前件p的推理.例如：“若∠1和∠2是对顶角，则∠1=∠2”真，“∠1≠∠2”真，推出“∠1和∠2不是对顶角”真.二、数学中的证明

㈠证明的意义和结构

证明就是根据一些已经确定真实性的命题来判断某一命题真实性的思维过程。任何逻辑证明都是由论题、论据、论证三部分组成。数学中的证明与推理有何区别于联系？论题即需要证明其真性的命题；论据即被用来作为证明依据的真命题；论证就是指由论据出发进行一系列推理来确定论题真实性的过程.

㈡证明的规则

规则1

论题必须明确且保持同一.

论题是论证的目标和方向，必须确切清楚，避免歧义；否则，就要犯“论题不清”的逻辑错误.同时，在整个证明过程中，论题只能有一个，必须始终保持不变，这是同一律的要求；否则，就要犯“偷换论题”的逻辑错误.例11连接四边形各中点成一平行四边形.这里所犯逻辑错误就是论题不清.例12求证四边形内角和等于360°.证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A+∠B+∠C=90°+90°+90°+90°=360°所以，四边形内角和等于360°.这一证明犯了偷换论题的逻辑错误.

规则2论据必须真实、充分.论据是论题的支柱，论题靠论据来证明.因此，论据必须是已知条件、已知的公理(定义、定理)或已经证明其真实性的命题.如果论据是假的，或者未经证明，虽然不能由此断定论题必然是假的，但毕竟论题是没有得到证明的.这就犯了“虚假理由”或“预期理由”的逻辑错误；同时，论据应是论题的充足理由，否则就犯了“不能推出”的逻辑错误.例13已知和都是无理数，试证明：

也是无理数.证明：由题意，和都是无理数，而无理数与无理数的仍然是无理数，故结论成立.本例犯了“虚假理由”的逻辑错误.例14一个三角形两边和其中一边的高，同另一三角形的两边和其中一边的高对应相等，则此两个三角形全等.(这曾经是我国初中课本上的一道习题)

证题思路如下图：本例论据不充分，犯了“不能推出”的逻辑错误.

规则3论证必须遵循推理规则，不得循环论证推理规则是论证有效性的保证，在论证过程中，如果违反推理规则，那么即使论据真实，也会犯“推不出”的逻辑错误；同时，不得引用直接或间接依赖论题的命题作为论据,否则就会犯“逻辑循环”的逻辑错误.例15在Rt⊿ABC中，∠C=90°，求证：.证明：因为所以

㈢数学中常用的证明方法

1分析法与综合法

在数学证明中,如果思考推理的方向是从求证追溯到已知，即从未知到已知，这种证明的方法称为分析法；反之，如果思考推理的方向是从已知到求证，即从已知到未知，这种证明方法称为综合法。

分析法的逻辑关系——执果索因

DCBA…………(因)(果)向下找结论的充分条件综合法的逻辑关系——由因导果ABCD…………(果)(因)向下推

例16

分别用分析法和综合法证明：已知，并且，求证：.证明一：(分析法略)证明二：(综合法略)

例17为的中线上任一点，且，求证：

证明一：(用分析法)

欲证①只需证②(注意到与)只需证，③只需证，④④式显然成立.证明二：(综合法略)用分析法和综合法证明的注意事项：1.分析与综合并用；2.注意因果关系.例18正方形ABCD中,E、F分别是CD与DA的中点,连接BE、CF,它们交与P.求证：AP=AB.12

证明：

由题设容易得证：⊿DCF≌CBE，从而∠1＝∠2所以有CF⊥BE.(如图)再从欲证AP=AB进行分析.(这里分析的思路很多)

[思路一]构造全等形Ⅰ

(1)过点A作AP得垂线交CF的延长线于G，得直角三角形APG.

(2)证AF=AG.(注意到A、B、P、F共圆)

(3)证⊿ABF≌⊿APG→AB=AP.

[思路二]只需证⊿ABP为等腰三角形

注意到A、B、P、F共圆及F时中点，有∠1＝∠2＝∠3＝∠4，从而有AB=AP.

这一证法最为简单.例19已知a-b=1，求证：运用分析法证明的常见错误举例证明：因为所以即，所以，即，a-b=1.这一证明犯了“因果颠倒”的逻辑错误.

2直接证法与间接证法（1）反证法通过证明论题的否定论题不真，从而肯定原论题真实，这种证法称为反证法。在数学证明中，直接从正面证明论题真实性的方法，称为直接证法。如果不是直接证明论题的真实性，而是通过证明论题的否定论题不真，或者证明论题的等效命题成立，从而肯定论题的真实性的证明方法，称为间接证法。间接证法主要有反证法和同一法。

运用反证法证明的一般步骤是：

Ⅰ否定结论；

Ⅱ由此结合已知推出矛盾；

Ⅲ根据排中律因此原结论不能为假，只能为真。

反证法的类型：

归谬法

——结论的反面只有一款。

穷举法

——结论的反面有若干款。

例20证明不是有理数。证明：(略)本例的证明属于归谬法例21在△ABC中,已知BE,CF分别是∠B,∠C的平分线，且BE=CF.求证：AB=AC.证明：(略)本例的证明属于穷举法.运用穷举法来证明，有时还能得到与命题相关的其他命题.例22直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.已知：求证：证明：（用穷举法）

（2）同一法通过证明原命题的等价命题而间接证明原命题的方法，称为同一法。什么命题的证明适用于同一法？

如果一个命题的前提和结论所确定的对象都唯一存在，则称此命题为同一性命题.

互逆的两个命题未必等价，但是当条件和结论所确定的对象都唯一存在，它们所指的概念的外延完全相同，是同一概念时，这个命题就和他的逆命题等价.这一性质通常称为同一原理或同一法.

同一法常用于证明符合同一原理的几何命题.应用同一法证明时，一般有