菱形的性质及其判定

乐恩特教育个性化教学辅导教案校区：百花授课教师学生

王 日期延泽 年级

2014.8初三

时间科目

8：00~10:00数学课 题

菱形的性质及其判定教学目标要 求教学重难点分 析

重点是菱形的性质和判定定理。 菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是 “有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程中应给予足够重视教

学

过

程知识回顾1．菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质， ?还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且四边相等．②角的性质：邻角互补，对角相等．③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．讲授新课1、 叫菱形2、菱形的性质边2）角3）对角线4）对称性1、探究菱形的面积计算方法：练一练：1、菱形的周长为 12cm，相邻两角之比为 5∶1,那么菱形对边间的距离是（ ）A.6cm C.3cm 在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（ ）A.75° B.60 ° C.45 ° D.30 °3、菱形的边长是 2cm，一条对角线的长是 2 3cm,则另一条对角线的长是（ ）A.4cm B. 3cm C.2cm D.2 3cm精讲精练例1、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=16cm，BD=12cm，求菱形ABCD的高DH.变式：菱形 ABCD的周长为20cm，两条对角线的比为 3∶4，求菱形的面积 .例2：（09）如图，在菱形 ABCD中，P是AB上的一个动点（不与 A、B重合），连接DP交对角线AC于E，连接EB。（1）求证：APDEBC;(2)若DAB60,试问：P点运动到什么位置时，VADP的面积等于菱形ABCD面积的1？为什么？4例3：如图，在菱形 ABCD中，AB=4a，E在BC上，BE=2a， BAD 120,P点在BD上，求PE+PC的最小值。三、用中学习1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A.对角相等B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线相等2.菱形ABCD中，AC、BD相交于O点，若∠OBC=1∠BAC，则菱形的四个角的度数为_______.23、.若菱形的两条对角线的比为3∶4，且周长为20cm,则它的一组对边的距离等于__________cm,它的面积等于________cm2.4.菱形的周长为100cm，一条对角线长为14cm，它的面积是（）A.168cm2B.336cm2C.672cm2D.84cm25.菱形的周长为16，两邻角度数的比为1∶2，此菱形的面积为（）A.43B.83C.103D.1236.下列语句中，错误的是（ ）菱形是轴对称图形，它有两条对称轴菱形的两组对边可以通过平移而相互得到C.菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D.菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到7.菱形的面积为 8 3平方厘米，两条对角线的比为 1∶ 3,那么菱形的边长为 _______.8、如图，将两长为 8，宽为2的矩形纸片交叉，使重叠部分是一个菱形，则菱形周长的最小值是 ，最大值是 。9、如图，在菱形ABCD中， A 110，E、F分别是边AB和BC的中点，EP CD于点P，求FPC的度数。1、根据菱形的定义，你怎样判定一个四边形是菱形？2、用几何语言叙述：【探究二】菱形的判定方法二：1、若一个四边形的四边相等，你能判定它为菱形吗？说说你的理由。2、归纳：3、用几何语言叙述：【探究三】菱形的判定方法三：1、如图，在 YABCD中，AC BD于O，则四边形ABCD为菱形吗？请证明。2、归纳：3、用几何语言叙述：小结：菱形的判定方法，判定时要注意的问题。练一练：1、下列命题是真命题的有A.两组邻边分别相等的四边形是菱形

.

B.

一角为

60°的平行四边形是菱形

. C.

对角线互相垂直的四边形是菱形

.

D.

菱形的对角线互相垂直平分

.2.下列条件中，不能判定四边形

ABCD是菱形的是（

）A．YABCD中，AB=BC

B ．YABCD中，AC⊥BDC．YABCD中，AC=BD3、四边形ABCD的对角线

D．YABCD中，AC平分∠BADAC、BD于点O，下列各组条件不能判定四边形

ABCD是菱形的是（

）A．AB=CD，AD=BC，AC=BD

B ．∠A=∠C，∠B=∠D，∠OAB=∠OADC．OA=OC，OB=OD，AC⊥BD

D．AB=BC=CD=DA精讲精练例1：AD是VABC的角平分线， DE//AC，DF//AB。求证：四边形 AEDF是菱形。例2：（2007）将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．（1）求证：△ABE≌△AD′F；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论VABC D′A F DB E C例3：变式.□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F，四边形AFCE是否是菱形？为什么？三、 用中学习1、若一条对角线平分平行四边形的一组对角，且一边长为 a时，如图，其他三边长为 ________；周长为________.2、E、F、G、H分别是矩形 ABCD四边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形 EFGH是菱形。3、如图，VABC中，AB=AC，AD是 A的平分线，E为AD延长线上一点，CF//BE且交AD于F，连接BF、CE。求证：四边形 BECF是菱形。、（2009）如图，边长为1的菱形ABCD中，DAB60°．连结对角线AC，以AC为边4作第二个菱形ACC1D1，使D1AC60°；连结AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使D2AC160°n个菱形的边长为___________．；⋯⋯，按此规律所作的第C2D2 C1D1CAB归纳小结课后作业1下列四边形中不一定为菱形的是（ ）A．对角线相等的平行四边形 B．每条对角线平分一组对角的四边形C．对角线互相垂直的平行四边形D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形2下列命题中错误的是（）．．Ａ．平行四边形的对边相等Ｂ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形Ｃ．矩形的对角线相等Ｄ．对角线相等的四边形是矩AD形3如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（）BC①ACBD②BAD90o③ABBC④ACBDA．①③B．②③C．③④D．①②③4菱形的周长为32cm，一个角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（）A．8cm和43cmB．4cm和83cmC．8cm和83cmD．4cm和43cm5如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、ECD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（）A．23B．33ADOC．43D．3BC6如上图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E，则下列式子不成立的是（）DC．．．A.DADEB.BDCEC.EAC90°D.OABC2EAEB如上图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且OE a，则菱形ABCD的周长为（ ）A．16a B．12a C．8a D．4a8如图，菱形

ABCD的边长为

2，

ABC

45o，则点

D的坐标为

．yAADBDO(B)CxEC9菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB4cm．那么，菱形ABCD的面积是，对角线BD的长是．10已知菱形ABCD的面积是12cm2，对角线AC4cm，则菱形的边长是cm11如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连接CE，则CE的长________.GDACEFB12如图，矩形ABCD的两条线段交于点 O，过点O作AC的垂线EF,分别交AD、BC于点E、F，连接

CE,已知

CDE的周长为

24cm，则矩形

ABCD

的周长是

cm13如图所示，两个全等菱形的边长为

1厘米，一只蚂蚁由

A点开始按

ABCDEFCGA

的顺序沿菱形的边循环运动，行走

2008厘米后停下，则这只蚂蚁停在

点．如图，菱形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，AB5cm，AO4cm，则BDcm．如图所示，已知□ABCD，AC，BD相交于点O，?添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）15题图 16题图如图2所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可）菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD：?∠ABC=?1：?2，?则BD=?_____，?菱形的面积是______．在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，则BD=_____，AC=_____．请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上．（保留作图痕迹）20如图所示，在四边形 ABCD中，AB∥CD，AB=CD=BC，四边形 ABCD是菱形吗？?说明理由．21如图，四边形 ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于 E，DF⊥BC，交BC的延长线于 F。请你猜想 DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．求证：四边形AEDF是菱形．A23如图，矩形 ABCD的对角线相交于点 O，PD∥AC，PC∥BD，

12E FPD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试说明理由．3B CD24已知：如图所示，菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF．（1）试说明：AE=AF；（2）若∠B=60°，点E，F分别为BC和CD的中点，试说明：△ AEF为等边三角形．如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于E，F．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）当EF与AC满足什么关系时，以 A，E，C，F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．FA DOB CE26如图，四边形 ABCD中，AB∥CD，AC平分 BAD，CE∥AD交AB于E．1）求证：四边形AECD是菱形