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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,若,则的取值范围是()A. B. C. D.2.设复数满足,在复平面内对应的点的坐标为则()A. B.C. D.3.已知函数,则函数的零点所在区间为()A. B. C. D.4.函数在的图象大致为A. B.C. D.5.已知集合,,则集合的真子集的个数是()A.8 B.7 C.4 D.36.()A. B. C.1 D.7.一个空间几何体的正视图是长为4,宽为的长方形,侧视图是边长为2的等边三角形,俯视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B. C. D.8.已知函数,则下列结论错误的是()A.函数的最小正周期为πB.函数的图象关于点对称C.函数在上单调递增D.函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到9.已知将函数(,)的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,若和的图象都关于对称,则的值为()A.2 B.3 C.4 D.10.已知,,,则()A. B.C. D.11.一个组合体的三视图如图所示(图中网格小正方形的边长为1),则该几何体的体积是()A. B. C. D.12.运行如图程序,则输出的S的值为()A.0 B.1 C.2018 D.2017二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若,,则___________.14.在中,,,则_________.15.已知是夹角为的两个单位向量,若,,则与的夹角为______.16.点P是△ABC所在平面内一点且在△ABC内任取一点,则此点取自△PBC内的概率是____三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知,,设函数,.(1)若,求不等式的解集;(2)若函数的最小值为1,证明:.18.(12分)已知函数f(x)=x-2a-x-a(Ⅰ)若f(1)>1,求a的取值范围;(Ⅱ)若a<0,对∀x,y∈-∞,a,都有不等式f(x)≤(y+2020)+19.(12分)为了实现中华民族伟大复兴之梦,把我国建设成为富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国,党和国家为劳动者开拓了宽广的创造性劳动的舞台.借此“东风”,某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时,为创造更大价值,提高亩产量,积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间和降低夜间温度两种不同方案.为比较两种方案下产量的区别,该农场选取了40间大棚(每间一亩),分成两组,每组20间进行试点.第一组采用延长光照时间的方案,第二组采用降低夜间温度的方案.同时种植该蔬菜一季,得到各间大棚产量数据信息如下图:(1)如果你是该农场的负责人,在只考虑亩产量的情况下,请根据图中的数据信息,对于下一季大棚蔬菜的种植,说出你的决策方案并说明理由;(2)已知种植该蔬菜每年固定的成本为6千元/亩.若采用延长光照时间的方案,光照设备每年的成本为0.22千元/亩;若采用夜间降温的方案,降温设备的每年成本为0.2千元/亩.已知该农场共有大棚100间(每间1亩),农场种植的该蔬菜每年产出两次,且该蔬菜市场的收购均价为1千元/千斤.根据题中所给数据,用样本估计总体,请计算在两种不同的方案下,种植该蔬菜一年的平均利润;(3)农场根据以往该蔬菜的种植经验,认为一间大棚亩产量超过5.25千斤为增产明显.在进行夜间降温试点的20间大棚中随机抽取3间,记增产明显的大棚间数为,求的分布列及期望.20.(12分)中的内角,,的对边分别是,,,若,.(1)求;(2)若,点为边上一点,且,求的面积.21.(12分)11月,2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办,其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮),在相同的条件下,每轮甲乙两人在同一位置,甲先投,每人投一次球,两人有1人命中,命中者得1分,未命中者得-1分;两人都命中或都未命中,两人均得0分,设甲每次投球命中的概率为,乙每次投球命中的概率为,且各次投球互不影响.(1)经过1轮投球,记甲的得分为,求的分布列;(2)若经过轮投球,用表示经过第轮投球,累计得分,甲的得分高于乙的得分的概率.①求;②规定,经过计算机计算可估计得,请根据①中的值分别写出a,c关于b的表达式,并由此求出数列的通项公式.22.(10分)已知数列和,前项和为,且,是各项均为正数的等比数列,且,.(1)求数列和的通项公式;(2)求数列的前项和.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
对分类讨论,代入解析式求出,解不等式,即可求解.【详解】函数,由得或解得.故选:B.【点睛】本题考查利用分段函数性质解不等式,属于基础题.2.B【解析】
根据共轭复数定义及复数模的求法,代入化简即可求解.【详解】在复平面内对应的点的坐标为,则,,∵,代入可得,解得.故选:B.【点睛】本题考查复数对应点坐标的几何意义,复数模的求法及共轭复数的概念,属于基础题.3.A【解析】
首先求得时,的取值范围.然后求得时,的单调性和零点,令,根据“时,的取值范围”得到,利用零点存在性定理,求得函数的零点所在区间.【详解】当时,.当时,为增函数,且,则是唯一零点.由于“当时,.”,所以令,得,因为,,所以函数的零点所在区间为.故选:A【点睛】本小题主要考查分段函数的性质,考查符合函数零点,考查零点存在性定理,考查函数的单调性,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.4.A【解析】
因为,所以排除C、D.当从负方向趋近于0时,,可得.故选A.5.D【解析】
转化条件得,利用元素个数为n的集合真子集个数为个即可得解.【详解】由题意得,,集合的真子集的个数为个.故选:D.【点睛】本题考查了集合的化简和运算,考查了集合真子集个数问题,属于基础题.6.A【解析】
利用复数的乘方和除法法则将复数化为一般形式,结合复数的模长公式可求得结果.【详解】,,因此,.故选:A.【点睛】本题考查复数模长的计算,同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用,考查计算能力,属于基础题.7.B【解析】
由三视图确定原几何体是正三棱柱,由此可求得体积.【详解】由题意原几何体是正三棱柱,.故选:B.【点睛】本题考查三视图,考查棱柱的体积.解题关键是由三视图不愿出原几何体.8.D【解析】
由可判断选项A;当时,可判断选项B;利用整体换元法可判断选项C;可判断选项D.【详解】由题知,最小正周期,所以A正确;当时,,所以B正确;当时,,所以C正确;由的图象向左平移个单位,得,所以D错误.故选:D.【点睛】本题考查余弦型函数的性质,涉及到周期性、对称性、单调性以及图象变换后的解析式等知识,是一道中档题.9.B【解析】
因为将函数(,)的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,可得,结合已知,即可求得答案.【详解】将函数(,)的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,又和的图象都关于对称,由,得,,即,又,.故选:B.【点睛】本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数,解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.10.C【解析】
利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得,即可求得结果.【详解】,所以,即.故选:C.【点睛】本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易.11.C【解析】
根据组合几何体的三视图还原出几何体,几何体是圆柱中挖去一个三棱柱,从而解得几何体的体积.【详解】由几何体的三视图可得,几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为2的圆柱中挖去一个底面腰长为的等腰直角三角形、高为2的棱柱,故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积,即,故选C.【点睛】本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题,解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体,然后根据几何体的结构求出其体积.12.D【解析】
依次运行程序框图给出的程序可得第一次:,不满足条件;第二次:,不满足条件;第三次:,不满足条件;第四次:,不满足条件;第五次:,不满足条件;第六次:,满足条件,退出循环.输出1.选D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
因为,所以,又,所以,则,所以.14.【解析】
先由题意得:,再利用向量数量积的几何意义得,可得结果.【详解】由知:,则在方向的投影为,由向量数量积的几何意义得:,∴故答案为【点睛】本题考查了投影的应用,考查了数量积的几何意义及向量的模的运算,属于基础题.15.【解析】
依题意可得,再根据求模,求数量积,最后根据夹角公式计算可得;【详解】解:因为是夹角为的两个单位向量所以,又,所以,,所以,因为所以;故答案为:【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算律,以及夹角的计算,属于基础题.16.【解析】
设是中点,根据已知条件判断出三点共线且是线段靠近的三等分点,由此求得,结合几何概型求得点取自三角形的概率.【详解】设是中点,因为,所以,所以三点共线且点是线段靠近的三等分点,故,所以此点取自内的概率是.故答案为:【点睛】本小题主要考查三点共线的向量表示,考查几何概型概率计算,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)证明见解析【解析】
(1)利用零点分段法,求出各段的取值范围然后取并集可得结果.(2)利用绝对值三角不等式可得,然后使用柯西不等式可得结果.【详解】(1)由,所以由当时,则所以当时,则当时,则综上所述:(2)由当且仅当时取等号所以由,所以所以令根据柯西不等式,则当且仅当,即取等号由故,又则【点睛】本题考查使用零点分段法求解绝对值不等式以及柯西不等式的应用,属基础题.18.(Ⅰ)(-∞,-1)∪(1,+∞);(Ⅱ)-1010,0.【解析】
(Ⅰ)由题意不等式化为|1-2a|-|1-a|>1,利用分类讨论法去掉绝对值求出不等式的解集即可;(Ⅱ)由题意把问题转化为[f(x)]max≤[|y+2020|+|y-a|]min,分别求出【详解】(Ⅰ)由题意知,f(1)=|1-2a|-|1-a|>1,若a≤12,则不等式化为1-2a-1+a>1,解得若12<a<1,则不等式化为2a-1-(1-a)>1,解得若a≥1,则不等式化为2a-1+1-a>1,解得a>1,综上所述,a的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞);(Ⅱ)由题意知,要使得不等式f(x)≤|(y+2020)|+|y-a|恒成立,只需[f(x)]max当x∈(-∞,a]时,|x-2a|-|x-a|≤-a,[f(x)]max因为|y+2020|+|y-a|≥|a+2020|,所以当(y+2020)(y-a)≤0时,[|y+2020|+|y-a|]min即-a≤|a+2020|,解得a≥-1010,结合a<0,所以a的取值范围是[-1010,0).【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解问题,含有绝对值的不等式恒成立应用问题,以及绝对值三角不等式的应用,考查了分类讨论思想,是中档题.含有绝对值的不等式恒成立应用问题,关键是等价转化为最值问题,再通过绝对值三角不等式求解最值,从而建立不等关系,求出参数范围.19.(1)见解析;(2)(i)该农场若采用延长光照时间的方法,预计每年的利润为426千元;(ii)若采用降低夜间温度的方法,预计每年的利润为424千元;(3)分布列见解析,.【解析】
(1)估计第一组数据平均数和第二组数据平均数来选择.(2)对于两种方法,先计算出每亩平均产量,再算农场一年的利润.(3)估计频率分布直方图可知,增产明显的大棚间数为5间,由题意可知,的可能取值有0,1,2,3,再算出相应的概率,写出分布列,再求期望.【详解】(1)第一组数据平均数为千斤/亩,第二组数据平均数为千斤/亩,可知第一组方法较好,所以采用延长光照时间的方法;((2)(i)对于采用延长光照时间的方法:每亩平均产量为千斤.∴该农场一年的利润为千元.(ii)对于采用降低夜间温度的方法:每亩平均产量为千斤,∴该农场一年的利润为千元.因此,该农场若采用延长光照时间的方法,预计每年的利润为426千元;若采用降低夜间温度的方法,预计每年的利润为424千元.(3)由图可知,增产明显的大棚间数为5间,由题意可知,的可能取值有0,1,2,3,;;;.所以的分布列为0123所以.【点睛】本题主要考查样本估计总体和离散型随机变量的分布列,还考查了数据处理和运算求解的能力,属于中档题.20.(1)(2)10【解析】
(1)由二倍角的正弦公式以及正弦定理,可得,再根据二倍角的余弦公式计算即可;(2)由已知可得,利用余弦定理解出,由已知计算出与,再根据三角形的面积公式求出结果即可.【详解】(1),,在中,由正弦定理得,,又,,,(2),,,由余弦定理得,,则,化简得,,解得或(负值舍去),,,,,,的面积.【点睛】本题考查了三角形面积公式以及正弦定理、余弦定理的应用,考查了二倍角公式的应用,考查了运算能力,属于基础题.21.(1)分布列见解析;(2)①;②,.【解析】
(1)经过1轮投球,甲的得分的取值为,记一轮投球,甲投中为事件,乙投中为事件,相互独立,计算概率后可得分布列;(2)由(1)得,由两轮的得分可
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