圆锥曲线题型归类总结辅导专用

典型例题题型一：定义的应用例1、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。例2、方程 表示的曲线是题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：1、椭圆：由 , 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。2、双曲线：由 , 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。典型例题例1、已知方程x2y2m121表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是m例2、k为何值时,方程x2y21的曲线：(1)是椭圆;(2)是双曲线.9k5k题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题1、椭圆焦点三角形面积Sb2tan；双曲线焦点三角形面积Sb2cot222、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解3、mn,mn,mn,m2n2四者的关系在圆锥曲线中的应用；典型例题例1、椭圆x2y21(ab0)上一点P与两个焦点F1，F2的张角∠F1PF2，a2b2求证：△F1PF2的面积为b2tan 。2例2、已知双曲线的离心率为 2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点， 且 ，1．求该双曲线的标准方程题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的范围；3、注重数形结合思想不等式解法 ;典型例题x2y21（a0,b0）的两焦点，以线段F1F2为边作正例1、已知F1、F2是双曲线2b2a三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是例2、双曲线x2y21（a＞0,b＞0）的两个焦点为121|=2|PF2a2b2F、F,若P为其上一点，且|PF|,则双曲线离心率的取值范围为例3、椭圆G：x2y21(ab0)的两焦点为F1(c,0),F2(c,0)，椭圆上存在a2b2点M使F1MF2M0.求椭圆离心率e的取值范围；例4、已知双曲线x2y21(a0,b0)的右焦点为FF且倾斜角为60的直线与双a2b2，若过点曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是题型五：点、直线与圆锥的位置关系判断1、点与椭圆的位置关系2点在椭圆内x2y21；点在椭圆上x2y21；a2b2a2b2点在椭圆外x2y21;a2b22、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：>0 相交=0 相切 （需要注意二次项系数为 0的情况）<0 相离3、弦长公式：AB1k2x1x21k2(x1x2)1k2aAB11y1y211(y1y2)11k2k2k2a4、圆锥曲线的中点弦问题：1、韦达定理：2、点差法：1）带点进圆锥曲线方程，做差化简2）得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系典型例题例1、双曲线x2-4y2=4的弦AB被点M(3,-1)平分,求直线AB的方程.例2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线 L:x+y=1交于A,B两点，C是AB的中点，若|AB|=2 2，O为坐标原点，OC的斜率为 2/2，求椭圆的方程。题型六：动点轨迹方程：1、求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；32、求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立 之间的关系 ；例1、已知动点P到定点F(1,0)和直线 的距离之和等于4，求P的轨迹方程．2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。例2、如线段AB过x轴正半轴上一点 M（m，0） ，端点A、B到x轴距离之积为 2m，以 x轴为对称轴，过 A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；例3、由动点P向圆0作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60，则动点P的轨迹方程为例4、点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______例5、一动圆与两圆⊙M：和⊙N：都外切，则动圆圆心的轨迹为(4)代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程:例6、如动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分所成的比为2，则M的轨迹方程为__________(5)参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。4例7、过抛物线 的焦点F作直线 交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是直线与圆锥曲线的常规解题方法总结：一、设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为 y=kx+b与x=my+n的区别）二、设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它 ,即“设而不求”）三、联立方程组；四、消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）五、根据条件重转化； 常有以下类型：①“以弦 AB为直径的圆过点 0”（提醒：需讨论K是否存在）OA OB K1 K2 1 OAOB 0 x1x2 y1y2 0②“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于 0问题”x1x2 y1y2>0；③“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（K1 K2 0或K1 K2）；④“共线问题”（如：AQ QB 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法） ；（如：A、O、B三点共线 直线OA与OB斜率相等）；⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题” 坐标与弦长公式问题（ 提醒：注意两个面积公式的合理选择） ；六、化简与计算；七、细节问题不忽略：①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.直线与圆锥曲线的基本解题思想总结：1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法： ⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结5果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。4、处理定点问题的方法： ⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；7、思路问题：大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。典例1、已知点F0,1，直线l：y1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且QPQFFPFQ．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）已知圆M过定点D0,2，圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设DAl1，DBl2，求l1l2的最大值．l2l1例2、如图半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设DM=λ，求λ的取值范围.DN6x2y21(ab0)的左右焦点。例3、设F1、F2分别是椭圆C：22ab（1）设椭圆C上点(3,3)到点F1、F2距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；2（2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程；（3）设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，试探究kPMKPN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。例4、已知椭圆C的中心在坐标原点， 焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l:y kx m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆 C的右顶点，求证：直线 l过定点，并求出该定点的坐标．例5、已知椭圆两焦点F1、F2在y轴上，短轴长为22，离心率为2，P是椭圆在第一2象限弧上一点，且PF1PF21，过P作关于直线1PA、PB分别交椭圆FP对称的两条直线于A、B两点。（1）求P点坐标；（2）求证直线 AB的斜率为定值；7典型例题：例1、由①、②解得，xa2．不妨设Aa2,0，Ba2,0，∴l1∴l1l2l12l222a216l2l1l1l2a464③当a0时，由③得，l1l221l2l1

a24，l2a24．22a2282116a22464a4，a64161622．≤218a2642a2当且仅当a22时，等号成立．当a0时，由③得，l1l22．l2l1故当a22时，l1l2的最大值为22．l2l1例2、解：(1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，∵|PAPBQAQB222|+||=||+||=2125＞|AB|=4.∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆.8设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=25,∴a=5,c=2,b=1.∴曲线C的方程为x2y2=1.5+ykx(2)设直线l的方程为+2,=代入x2y2=1,得(1+5k2x2kx+15=0.5+)+202k2＞2＞3由图可知DMx1=(20k)－4×15(1+5)0,得k.λ5DNx2=x1x220k15k2由韦达定理得15x1x215k2将x1=λx2代入得(1)2x22400k2(15k2)2x221155k2两式相除得(1)2400k28015(15k2)13(5k2)k23,015,5k21520,即480165k233133(k25)4(1)216,DM0,解得13①3DN3x1DM,M在D、N中间，∴λ＜1②x2DN又∵当k不存在时，显然λ=DM1DN3综合得：1/3≤λ＜1.

(此时直线l与y轴重合)3)在椭圆上，(3)2(3)2例3、解：（1）由于点(3,21得2a=4,2a2b2椭圆C的方程为x2y2，焦点坐标分别为(1,0),(1,0)⋯4分413（2）设KF1的中点为B（x,y）则点K(2x1,2y)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分9把K的坐标代入椭圆x2y21中得(2x1)2(2y)21⋯⋯⋯7分43432线段KF1的中点B的轨迹方程为 (x 1)2y 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分2 34（3）过原点的直线 L与椭圆相交的两点 M，N关于坐标原点对称设M(x0,y0)N( x0, y0), p(x,y),M,N,P在椭圆上，应满足椭圆方程，得x02y02x2y2a2b21，2b21akPMKPN=yy0yy022=b2y2y022xx0xx0xx0a故：kPMKPN的值与点P的位置无关，同时与直线L无关.例4、解：（Ⅰ）椭圆的标准方程为x2y21．43（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，ykx，m联立x2y2得(34k2)x28mkx4(m23)0，431.64m2k216(34k2)(m23)0，即34k2m20，则x1x28mk，34k2x1x24(m223).34k又y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m23(m24k2)，34k2因为以AB为直径的圆过椭圆的右焦点D(2，0)，kADkBD1，即y1y21，y1y2x1x22(x1x2)40，x12x223(m24k2)4(m23)16mk40，9m216mk4k20．34k234k234k2解得：m2k，m22k，且均满足34k2m20，17101、当m12k时，l的方程为yk(x2)，直线过定点，，与已知矛盾；(20)2、当m22k时，l的方程为ykx2，直线过定点2，．7770所以，直线l过定点，定点坐标为2，．7例5、解（1）y2x21F1(0,2),F2(0,2)，设P(x0,y0)(x00,y00)42。则PF1(x0,2y0),PF2(x0,2y0),PF1PF2x02(2y02)1点P(x0,y0)在曲线上，则x02y021.x024y02242从而42y02(2y02)1，得y02，则点P的坐标为(1,2)（2）由（1）知PF1//x轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为k(k0)，则PB的直线方程为：