文稿教程讲稿_第1页
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文档简介

5.4积b定积分fxdx的定义要求(1)积分区间a,b有限,(2)被积afx有界,突破上述限制的积分称为反常积分,或者广义积分.注.本节的函数,除了的奇点外,均假设为连续函数.一.无穷限的反常积分例.考exdx,它的几何意义是曲yexx正半轴间区 AAlimexdxlim1et1exdx0t

0定义

fxdx存在,则称反常积分

fxdx收敛,其积 fxdxlimfxdx;反之,称fxdx发散 类似地fxdxlimfxdxfxdxfxdxfxdx

fxdxF a

fxdxFx例.讨1

1dx的敛散性 x1p解.当p1时, ;当p1时,p

,故当p1时1

1p x,当p1时

p 注.对xlnpxdxupdu,有相同的结果 1313 1313 例x22x4x123

3

3333

1d1x2

,发散例1

2 1

2 1 例.

dx xx1

x1x 1x ln2 1 例. dsec

2x2sec4x2

cos3tdt1

tdsint3 32t x1t

133333221

tdt11t

1xdx11

dx xx1

x1 1

u 2 22u222

2

2 2 1 2 1 2x 12 例. dx 0 dx 2 2 ln

1 lnx

11例.x2dxlnxdxx 1

xdx0

二 函数的反常积x1 x例.考虑0

dx,它的几何意义是曲线y 和y正半轴间区域1面积,而A

1dxlim2x1x1

t2,故

1dx2t0t

tx0x定义.若在Uc内fx ,则称c为间断点(瑕点bt定义.设fxCa,b,xa为 间断点,若limfxdxtt t则称反常积fxdx收敛,其积分值fxdxlimfxt tb 间断点,则fxdx f tb 若ca,b为fx 间断点,则fxdxfxdxfxdxc c注.设为 间断点

,则 f

xa

Fx fxdxFxc,fxdxFbFaFxc 1x例.讨论pdx的敛散性x01 1 x1p解.当p1时

;当p1 1

,故当p1时 1 1 xpdx1p,当p1时xpdx 1 1 1

例

dx

例. 2 2 2sec3t2costdt2 xxxx2

ut4 u 11例. 2 2

u242arctan24x2t x2tt

xxx2 14xxx2 14x 2 1 x2 x2arcsin2x11lnxx2

ln2 3 1 11 0 1例 2

02dx0

dx

x

,发散 例1lnxdxxlnx11xdlnx0limxlnx1

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