中世纪的中国数学

中世纪的中国数学之一《周髀算经》和《九章算术》希腊几何的演绎精神，随着希腊文明的衰微而在整个中世纪的欧洲湮没不彰。数学史上继希腊几何兴盛时期之后是一个漫长的东方时期。除了埃及外，河谷地区再次成为数学活跃的舞台。中世纪（公元5-17世纪）数学的主角，是中国、印度与阿拉伯地区的数学。与希腊数学相比，中世纪的东方数学表现出猛烈的算法精神，特殊是中国与印度数学，着重算法的概括，不讲究命题的数学推导。所谓“算法”，不只是单纯的计算，而是为了解决一整类实际或科学问题而概括出来的、带一般性的计算方法。算法倾向原来是古代河谷文明的传统，但在中世纪却有了质的提高。这一时期中国与印度的数学家们创建的大量结构困难、应用广泛的算法，很难再仅仅被看作是简洁的阅历法则，它们是一种归纳思维实力的产物。这种实力与欧几里得几何的演绎风格迥然不同却又相辅相成。东方数学在文艺复兴以前通过阿拉伯人传播到欧洲，与希腊式的数学交汇结合，孕育了近代数学的诞生。本章介绍中世纪的中国数学史，分三次课。就旺盛时期而言，中国数学在上述三个地区是持续最长的。从公元前后至公元14世纪，先后阅历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期以及宋元时期，其中宋元时期达到了中国古典数学的顶峰。本小节介绍——1）先秦时期：中国古代数学的萌芽，2）汉唐时期：中国传统数学体系的形成（介绍《周髀算经》和《九章算术》）数学是中国古代最为发达的学科之一，通常称为“算术”即“算数之术”。也就是说，古代中国的术语“算术”相当于英文单词中的mathematics，而不是arithmetic，所探讨的内容大体上是今日数学教科书中的算术、代数、几何、三角等方面的内容。注：arithmetic（名词）1.

算术2.

计算3.

算术运算；四则运算后来，算术又称为算学、算法，宋元时期起先运用“数学”一词。此后算学、数学两词并用。1939年6月，经中国数学名词审查委员会确定用“数学”而不再用“算学”。一、先秦时期—中国古代数学的萌芽数学作为中国文化的重要组成部分，它的起源可以追溯到遥远的古代。依据古籍记载、考古发觉以及其他文字资料推想，至少在公元前3000年左右，在中华古老的土地上就有了数学的萌芽。一般认为，这一时期的数学成就主要有以下几点：◎结绳记事和规则的运用◎十进位值制记数法、分数的应用及筹算◎精湛的几何思想◎数学教化的起先结绳记事和规则的运用中国古代记数方法的起源是很早的。据《易·系辞传》称：“上古结绳而治。”《易·九家义》明确地说明白这种方法：“事大，大结其绳；事小，小结其绳。结之多少，随物众寡。”这种结绳记事的方法是很古老的。据《史记》记载：“伏羲始画八卦，造书契，以代结绳之治。”这表明，在伏羲这一位中国神话中的人类始祖之前，结绳记事这种方法就已特殊流行，并且在他的的时代已起先用“八卦”和“书契”等方法来代替“结绳记事”了。注：书契，始指刻痕，后渐渐代以符号、文字。规则是中国传统的几何工具。至于它的用途，《周礼》、《荀子》、《淮南子》、《庄子》等古籍都有明确的记载：“圆者中规，方者中矩。”说明它们分别用于圆和方的问题。注：中(zhòng)，符合确定的标准。它们的起源也是很早的，据《史记》记载，夏禹在治水时就“左准绳，右规则，载四时，以开九州，通九道”。汉武梁祠中有“伏羲手执矩，女娲(wa)手执规”的浮雕像，将这两种工具的最早运用归功于传闻中的伏羲和女娲。规和矩的运用，对于后来几何学的产生和发展有着重要的意义，中国传统几何学大部分内容都是围绕圆和勾股形绽开的，这与古代中国人擅长运用规和矩的关系是特殊亲密的。十进位值制记数法、分数的应用及筹算商代，甲骨文已发展成熟。河南安阳发掘的殷墟甲骨文及周代金文的考古证明，中国当时已接受了“十进位值制记数法”，并有十、百、千、万等专用的大数名称。除了整数以外，中国古代对分数概念的相识也很早，分数的概念及其应用，在《管子》、《墨子》(mo)、《商君书》、《考工记》等春秋战国时代的书籍中都有明确的记载。到春秋战国时代，算术四则运算已经成熟。据汉代燕人韩婴所撰的《韩诗外传》介绍，标记着乘除法运算法则成熟的“九九歌”在春秋时代已相当普及。《吕氏春秋》里的一则故事

在春秋战国时代的齐国，齐桓公执政的时候，有一个人熟背“九九歌”，便向齐桓公毛遂自荐，齐桓公问他：“莫非仅仅因为你精通九九之术，我便要重用你吗？”这个人答道：“假如君王对我这样一个仅会九九歌的人都能礼遇重用，还怕真正有才能的人不来为君主效力吗？”齐桓公是否厚待此人不得而知，但这至少从一个侧面说明白在当时九九歌已被人们广泛地应用了。算筹是中国古代的计算工具。筹，筹算。从春秋战国时期始终到元代末年，算筹在我国沿用了两千多年。1983年陕西出土的西汉象牙算筹运筹帷幄《史记·太史公自序》：“运筹帷幄之中，制胜于无形，子房(张良，刘邦的谋臣)计谋其事，无知名，无勇功，图难于易，为大于细。”《史记·留侯世家》、《汉书·张良传》：刘邦曾赞“运筹帷幄之中，决胜于千里之外，子房功也。”张良坐在军帐中运用计谋，就能确定千里之外战斗的成功。这说明张良心计多，善用脑，善用兵。后来人们就用“运筹帷幄”表示擅长策划用兵，指挥斗争。“凡算之法，先识其位。一(个)纵十横，百立千僵。千十相望，百万相当。”(《孙子算经》)用筹算表示数有纵横两种摆法：纵式用来表示个位、百位、万位……，横式用来表示十位、千位、十万位……，犬牙交织，零则用空位。记数时与十进位值制相协作，接受从左到右（或从上到下）纵横相间的摆法。如6724表示为；如遇零时则空出一格，如76031，表示为。精湛的几何思想战国时期的诸子百家，理论数学的萌芽。《墨经》记载了很多几何概念，如“平，同高也”；“中，同长也”；“圆，一中同长也”；……这些都是中国古代学者试图用形式逻辑的方法定义几何概念的明证。在这部著作中甚至还涉及到有穷和无穷的概念，称“或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也。”关于此条，注家的说明众说纷纭。一般认为钱宝琮(cong.中国数学史探讨的奠基人，校点《算经十书》等)的说明最为精当：“用尺来度量路程，假如量到前面只剩不到一尺的余地，那末，这路程是‘有穷’的。假如接着量前面总是长于一尺，那末，这路程是‘无穷’的”。名家——先秦时期以辩论名实问题为中心的一个思想派别,重视“名”(概念)和“实”(事)的关系的探讨——以善辩著称，对无穷的概念有着更深刻的相识。《庄子》，惠施：“至大无外谓之大一，至小无内谓之小一”。“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；“飞鸟之影，未尝动也；镞矢之疾，而有不行不止时”；……这些可以说与古希腊的芝诺悖论具有异曲同工之妙，也是世界数学史早期最光辉的数学思想之一。春秋战国时代的人们还对数的起源问题提出了一些看法，事实上数与物质的关系是涉及到数学的一个重要哲学问题。《老子》：“道生一，一生二，二生三，三生万物”。《老子》中所说的这种观点与古希腊的毕达哥拉斯学派所提倡的数为万物之源说，即把数看做是万物的本源，从本质上来说倒是一样的。数学教化的起先我国的甲骨文中早就有了关于教化的记载。而记载周代教化制度的古老典籍《周礼·地官》中保氏一节称：“保氏掌谏王恶(e)，而养国子以道。乃教之六艺：一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五御，五曰六书，六曰九数。”其中礼、乐、射、御为大艺，书、数为小艺，前者为高校所授，后者为小学所习。并称：“六年教之数，十年学书记。”可见，早在周代，国家就已把数学列为贵族子弟的必修课艺之一，从六岁或十岁就教数数及计算了。对数学教学如此重视，且以典籍的形式规定下来，这在世界上是罕见的。二、汉唐时期——中国传统数学体系的形成从汉代起先，中国的经济文化有了进一步的发展，经济的旺盛给科学的进步供应了物质基础，特殊是从秦代起先实施的文字和度量衡的统一，铁器的运用以及大量兴修水利工程和水陆交通的工程，为人们探究大自然的奇异增加了动力，数学也有了长足的发展，其主要标记是以《九章算术》为代表的中国传统数学体系的形成。《周髀算经》和勾股定理《九章算术》刘徽的数学贡献祖氏父子的数学贡献《算经十书》后三部分下次课讲解并描述《周髀算经》和勾股定理《汉书·艺文志》所记载的《杜忠算术》与《许商算术》或许是中国有记载可考的最早的数学著作，惋惜均已失传。1984年，湖北江陵张家山出土了一部汉简《算数书》，它也是中国目前所能见到的最早的数学专著。该书以问题集的体例编纂，全书共90题，包括整数、分数的四则运算，比例问题，面积与体积等，大部分内容与《九章算术》相像。《周髀算经》和勾股定理比《九章算术》稍早且流传下来的一部重要的著作是《周髀算经》，该书原名《周髀》，大约成书于公元前2世纪的西汉时期，其很多内容甚至可以追溯到西周。唐代李淳风在为国子监明算科选定教科书时将其列入《算经十书》，并改名为《周髀算经》。严格地讲，《周髀算经》并不是一本数学专著，而是一部介绍“盖天说”宇宙模型的天文学著作，但它包含了相当深刻的数学内容，其主要成就包括分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用。天圆地方“昔者周公问于商高曰：……古者包牺(即伏羲)立周天历度，夫天不行阶而升，地不行得尺寸而度，请问数安从出？商高曰：数之法，出于圆(圆周率三)方(四方)，方出于矩(正方形源自两边相等的矩)，矩出于九九八十一(长乘宽面积计算依自九九乘法表)。故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。……故禹之所以治天下者，此数之所生也。”接着，在陈子与荣方的“师生对话”中，借陈子之口又给出了一般的勾股定理：“求邪至日者，以日下为勾，日高为股。勾股各自乘，并(和)而开方除之，得邪至日。”中国关于勾股定理的证明最早是由三国时期的数学家赵爽给出的。赵爽是中国历史上首次对《周髀》进行细致探讨和注释的学者。他的工作主要包括三个方面的内容：一为文字说明；二为较具体地数学理论推演，三是补图。其中最为精彩的是“勾股圆方图注”。在这篇500多字的注文中，赵爽首先给出勾股定理的一般证明：“按弦图又可以勾、股相乘为朱实二，倍之为朱实四。以勾股之差自相乘，为中黄实。加差实，亦成弦实。”说明：利用面积设直角三角形两直角边的边长分别为a,b,斜边长为c.《周髀算经》中的文字：既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三、四、五。

宋刻《周髀算经》《九章算术》标记着中国传统数学理论体系形成的是《九章算术》的成书。该书的作者和成书年头难以精确地考证，多数学者认为，它成书于西汉末东汉初，即公元1世纪初。中国的数学，经过长期的积累，到西汉时已有很丰富的内容，但这些内容之间缺乏内在的联系，以前人们曾寻求以确定的方式建立某种联系，例如墨家学派曾尝试过用逻辑方法探讨数学概念，但没有成功。或许正是这种缘由，确定了《九章算术》所特有的处理方式，并形成了中国传统的数学体系。宋刻《九章算术》书影《九章算术》全书接受问题集的形式。书中每道题皆有问有答有术，其中“术”通常是解题的思想方法、公式和法则，有的一题一术，有的多题一术，有的一题多术。全书共有246个应用题，基本上都是与生产实践、日常生活有联系的实际应用问题。这些问题分别隶属于方田、粟(sù

)米、衰(cui

)分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。对于每类问题，《九章算术》中都给出了统一的解法，它们相当于一些初等数学定理和公式，但没有证明。《九章算术》的主要内容“方田”，主要论述了各种平面图形的地亩面积算法及分数的运算法则。“粟米”章主要论述了20种粮食及其成品如稻、米、麦、面、饭等之间的兑换比率及四项比例算法。“今有术”：所求数=（全部数×所求率）/全部率。“已知麦与米的比率是3：2，现有麦子60斤，问能兑换大米多少斤？”按公式，能兑换的大米的斤数为（60×2）/3=40（斤）。第三章“衰分”主要论述配分比例算法，其中问题多与商业、手工业及社会制度有关。第一问“五人分五鹿”。第四章“少广”主要成就包括开平方、开立方的算法。第五章“商功”主要论述各种立体图形的体积算法，其中包括柱、锥、台、球体等，内容涉及筑城、修堤、开渠、粮垛等施工方面的计算问题。第六章“均输”章主要探讨较为困难的配分比例问题。其中最引人注目的是“均输术”。这是我国古代实行的“均输制”在数学上的反映，主要解决按人口多少、路途远近、谷物贵贱等条件，平均缴纳赋税或摊派徭役等实际问题，这很类似于条件极值问题。第七章“盈不足”主要论述盈亏问题的解法。盈不足的典型问题是这样的：若干人共买一物，若每人出a1钱，则多出b1钱；若每人出a2（a2＜a1）钱，则又不足b2钱，求人数与物价。《九章算术》给出的方法相当于公式：人数=物价=这一方法除了对于线性问题给出精确的解外，也为非线性问题供应了一个有效的近似解法。第八章“方程”主要探讨线性方程组的解法，其基本思想是消元。在解方程组时，将方程组的系数（包括常数）分别出来排成一个数表，相当于现在线性代数中的增广矩阵，然后通过“遍乘直除”（类似于矩阵初等变换的方法）消元，这一思想方法在数学发展史上是特殊重要的，在西方被称为“高斯消元法”。上等禾谷三捆，中等禾谷二捆，下等禾谷一捆，共出粮三十九斗；上等禾谷二捆，中等禾谷三捆，下等禾谷一捆，共出粮三十四斗；上等禾谷一捆，中等禾谷二捆，下等禾谷三捆，共出粮二十六斗。问上中下等禾谷每捆出粮各多少？设上、中、下等禾谷每捆出粮分别为x,y,z斗，则有《九章算术》给出的表示方法相当于下列矩阵123上禾232中禾311下禾263439实其解法相当于下列图示方法：“方程”章的另一个重点就是对负数的概念、运算进行了探讨。在解方程的过程中，由于无法回避被减数小于减数的状况出现，在《九章算术》提出了“以正负术入之”，即引入负数及其运算法则：“正负术曰：同名相除，异名相益，正无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”“正负术”第九章“勾股”主要探讨有关勾股问题的解法，并论及简洁的勾股测量。与欧几里得《原本》中将代数问题几何化做法相反，《九章算术》将几何问题算术化和代数化。“今有邑方不知大小，各中开门。出北门二十步有木。出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木。问邑方几何？”华师大版《数学》12.折竹抵地（源自《九章算术》）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何?意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原长竹子处3尺远．问原处还有多高的竹子?人教社版《数学》人教社版《数学》北师大版《数学》《九章算术》之体积公式刍童体积公式刍童体积公式如将《九章算术》的主要内容，按算术、代数和几何三部分来概括，则有：1.算术部分：分数，最大公约数与最小公倍数，比例算法，盈亏问题；2.代数部分：开方和开立方，二次方程问题，多元一次方程组及其解法，正负数；3.几何部分：面积计算，体积计算，勾股定理及其应用。《九章算术》《九章算术》留意实际问题和长于计算的特点，对中国传统数学的发展有着极其深刻的影响，可以说，与西方数学的演绎推理相映生辉的具有中国特色的算法体系的形成即始于《九章算术》。《九章算术》成书以后，便成为中国传统数学的经典，特殊是唐代以来，经官方认定该书成为“算经十书”中最重要的一部，成为后来的数学家们学习、探讨和著述的依据。把《九章算术》与《几何原本》相比照，就可以发觉从形式到内容都各有特色和所长，形成东、西方数学的不同风格。《几何原本》以形式逻辑方法把全部内容贯穿起来，而《九章算术》则按问题的性质和解法