北师大版 八年级数学 分式的基本性质

分式的基本性质课前测试【题目】课前测试在，，，﹣0.7xy+y3，，中，分式有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．在，，，﹣0.7xy+y3，，中，﹣0.7xy+y3不是的形式；，分母中不含字母；所以分式有，，，一共3个，故选B．总结：本题主要考查分式的定义，分母中含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【难度】2【题目】课前测试若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍，A、B、，错误；，错误；C、D、，错误；，正确；故选D．总结：本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，计算时一定要细心，遇到乘方运算不能忘了带着扩大的倍数一起计算．再与原式比较，最终得出结论．【难度】3【题目】课前测试（1）约分：；（2）通分：，．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）首先将分子与分母分解因式，进而找出公因式，约分即可；==；（2）先把分母因式分解，再找最简公分母，通分即可；∵a2﹣９＝（a﹣3）（a+3），a2﹣６a+９=（a﹣3）2，∴最简公分母：（a﹣3）2（a+3），=，=．总结：此题考查了分式的约分和通分，正确分解因式，找到公因式或最简公分母是解题关键．【难度】3知识定位适用范围：北师大版，初二年级，成绩中等以及中等偏下知识点概述：分式是继整式之后对代数式的学习，是整式的一种补充，与整式一样，分式也是解决问题的常用工具．本节课的内容是分式中较为重要的一课，是今后学习分式运算和解分式方程的前提，因此它起着承上启下的作用．适用对象：成绩中等以及中等偏下注意事项：大部分学生试听这个内容主要想听利用分式的基本性质进行化简求值或通分运算．重点选讲：①分式的概念②分式的基本性质③分式的约分与通分知识梳理知识梳理1：分式的概念分式的值为零的条件：分子等于零，分母不等于零．二者缺一不可．分式有意义的条件：分母不等于零；分式无意义的条件：分母等于零．1.分式的概念一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．1、形如的式子；2、A，B为整式；3、分母B中含有字母．2.分式的意义知识梳理2：分式的基本性质分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变.知识梳理3：分式的约分与通分v1.分式的约分约分的实质是将一个分式化成最简分式，关键是确定分式的分子与分母的公因式．（1）分子、分母是单项式，则取分子、分母系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积为公因式，直接根据分式基本性质进行约分；（2）分子、分母中含有多项式，为使约分更加直接，一般应先将能分解的多项式分解因式，使之转化为分子与分母都不能再分解的因式积的形式，再根据分式基本性质进行约分．利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，这样的变形叫做分式的约分.分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式．v2.分式的通分通分的关键是确定各分式的最简公分母．（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；（2）如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，把异分母的分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.异分母的分式通分时，一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母．例题精讲【题目】题型1：分式的概念已知分式，试问：（1）当m为何值时，分式有意义？（2）当m为何值时，分式值为0？【答案】（1）m≠1且m≠3；（2）m=-2．【解析】（1）根据分式有意义的条件是分母不等于零，列出不等式计算即可；（m-1）（m-3）≠0，解得m≠1且m≠3；（2）根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，列式计算；（m﹣1）（m+2）=0①，（m-1）（m-3）≠0②，解①得m=1或m=-2；解②得m≠1且m≠3；则当m=-2时，此分式的值为零．总结：本题考查是的是分式有意义和分式为0的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零、分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．【难度】4【题目】题型1变式练习1：分式的概念在式子中，分式的个数有（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．分式有：，，9x+，共3个，故选B．总结：本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以【难度】2不是分式，是整式．【题目】题型1变式练习2：分式的概念已知分式，当x=2时，分式的值为零；当x=﹣2时，分式没有意义．求a+b的值．【答案】6【解析】根据分式的值为0，即分子等于0，分母不等于0，从而求得b的值；根据分式没有意义，即分母等于0，求得a的值，从而求得a+b的值．∵x=2时，分式的值为零，∴2﹣b=0，b=2．∵x=﹣2时，分式没有意义，∴2×（﹣2）+a=0，a=4．∴a+b=6．总结：分式的值为0，则分子等于0，分母不等于0；分式无意义，则分母等于0．【难度】3【题目】题型1变式练习3：分式的概念x取何值时，下列分式有意义：（1）（2）；；（3）．【答案】（1）x≠；（2）x≠±12；（3）x取任意实数．【解析】根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案．（1）要使有意义，则2x﹣3≠0．解得x≠，当x≠时，有意义；（2）要使有意义，则|x|﹣12≠0．解得x≠±12，当x≠±12时，有意义；（3）要使有意义，则x2+1≠0．x取任意实数，总有x2+1＞0，所以有意义．总结：本题考查了分式有意义，分式的分母不为零时分式有意义，由此列一次方程或简单的绝对值、二次方程解出x的值得到答案．【难度】3【题目】题型2：分式的基本性质下列各式中，正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据分式的基本性质，对四个选项一一计算，然后作出判断与选择．A、分子分母同时除以ab，得B、分子分母同时乘（x-y），，与选项A不等，错误；，与选项B相等，正确；C、分子分母同时除以（x-3），，与选项C不等，错误；，与选项D不等，错误；D、提出分子中的负号，故选：B．总结：本题考查了分式的基本性质，注意：分式的分子、分母及本身的符号，任意改变其中的两个，分式的值不变；若只改变其中的一个，分式的值改变．【难度】3【题目】题型2变式练习1：分式的基本性质下列分式中，与相等的是（）A．B．C．﹣D．【答案】B【解析】根据分式的基本性质逐一判断即可得．A、分式的分子乘了y，分母乘了x，分式的值改变，错误；B、分式的分子分母都乘了2x，分式的值不变，正确；C、分式的分子、分母及本身的符号，改变其中的三个，分式的值改变，错误；D、分式的分子乘了x，分母乘了2x，分式的值改变，错误；故选B．总结：本题主要考查分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．【难度】3【题目】题型2变式练习2：分式的基本性质下列式子从左到右变形一定正确的是（）A．=B．=C．=D．=【答案】D【解析】根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．A、分式的分子乘了a，分母乘了b，分式的值改变，错误；B、分式的分子分母都加上了1，分式的值改变，错误；C、分式的分子分母都减去了1，分式的值改变，错误；D、分式的分子分母都除以a，分式的值不变，正确；故选：D．总结：本题主要考查分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．【难度】2【题目】题型2变式练习3：分式的基本性质把分式中的x，y的值都扩大为原来的5倍，则分式的值（）B．扩大为原来的5倍A．不变C．扩大为原来的10倍D．缩小为原来的【答案】D【解析】x，y都扩大为原来的5倍就是分别变成原来的5倍，变成5x和5y．用5x和5y代替式子中的x和y，得=×=，则分式的值缩小为原来的．故选D．总结：本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．【难度】2【题目】题型3：分式的约分与通分（1）化简：（2）通分：；与，．【答案】（1）1；（2）．【解析】（1）将分子利用平方差公式分解因式，再进一步约分即可；原式====1；（2）先把分母因式分解，再找最简公分母，通分即可；∵x2﹣3x=x（x﹣3），x2﹣9=（x﹣3）（x+3），∴最简公分母：x（x﹣3）（x+3），∴分式==，分式==．总结：此题考查了分式的约分和通分，正确分解因式，找到公因式或最简公分母是解题关键．【难度】4【题目】题型3变式练习1：分式的约分与通分下列约分正确的是（）A．=x3B．=C．=0D．=【答案】B【解析】观察分子分母，提取公因式约分即可．A、原式=x6﹣2=x4，故本选项错误；B、原式==，故本选项正确；C、原式=1，故本选项错误；D、原式=故选：B．=，故本选项错误；总结：此题主要考查了约分，注意：找出分子分母公共因式时，常数项也不能忽略．【难度】3【题目】题型3变式练习2：分式的约分与通分通分，，．【答案】，，．【解析】先把分母因式分解，再找最简公分母，通分即可．∵x2﹣６x+９=（x﹣3）2，x2﹣9=（x﹣3）（x+3），3x-9=3（x-3），∴它们的最简公分母是3（x﹣3）2（x+3）．，，．总结：此题考查了通分，通分的关键是将分母分解因式，找出最简公分母．注意通分时分子上的数或式要乘上同乘式子的每一项，不能漏掉．【难度】3【题目】题型3变式练习3：分式的约分与通分分式、与的最简公分母是（）A．6abcB．12abcC．24abcD．48abc【答案】B【解析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母求解即可．分式、与的最简公分母是12abc；故选：B．总结：本题主要考查了最简公分母的定义与求法．凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．【难度】2【题目】兴趣篇1如果，那么的结果是．【答案】4．【解析】令=k，则a=2k、b=3k，∴原式=====4．总结：本题主要考查分式的化简求值，关键是将所求分式约分，再由分式的基本性质用k表示出a和b，代入化简后的分式求解．【难度】3【题目】兴趣篇2通常情况下，a+b不一定等于ab，观察：2+2=2×2，3+数叫做“和积数对”，已知m、n是一对“和积数对”．，4+…我们把符合a+b=ab的两个（1）当m=﹣10时，求n的值．（2）求代数式的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）把m=﹣10代入“和积数对”，得到关于n的方程10+n=10n，解得n=（2）根据“和积数对”的定义，m+n=mn．；∴===．总结：本题考查的是分式的值，熟知“和积数对”的定义是解答此题的关键．【难度】4【题目】备选试题1如果把分式中x、y的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（）A．扩大为原来的4倍B．扩大为原来的2倍C．不变D．缩小为原来的【答案】B【解析】由于把分式中的x与y都扩大为原来的2倍，则分式中的分子扩大为原来的4倍，分母扩大为原来的2倍，于是得到分式的值扩大为原来的2倍．故选B．总结：本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）一个不为0的数（或式子），分式的值不变。【难度】3【题目】备选试题2根据分式的基本性质，分式可以变形为（）A．B．﹣C．﹣D．1﹣【答案】C【解析】根据分式的基本性质即可求出答案．A、分式的分子除以了2，但分母没有整体除以2，分式的值改变，错误；B、分式的分子乘了-1，但分母没有整体乘-1，分式的值改变，错误；C、分式的分子分母都乘了-1，分式的值不变，正确；D、不符合分式的基本性质变形，错误；故选C．总结：本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．【难度】2【题目】备选试题3下列分式约分正确的是（）A．=a2B．=1C．=D．=【答案】D【解析】观察分子分母，提取公因式约分即可．A、=a3，故本选项错误；B、C、已是最简不用约分；=，故本选项错误；D、=，故本选项正确；故选：D．总结：此题主要考查了约分，注意：找出分子分母公共因式时，常数项也不能忽略．【难度】3【题目】备选试题4若将分式与分式通分后，分式的分母变为2（x﹣y）（x+y），则分式D．6x2（x+y）的分子应变为（）A．6x2（x﹣y）2【答案】CB．2（x﹣y）C．6x2【解析】因为分式所以分式与分式的最简公分母是2（x+y）（x﹣y），的分母变为2（x﹣y）（x+y），则分式的